Wyznaczyć zbiory:
a) \(\displaystyle{ \overline{\{ \sin 2^n: n=1,2,\ldots \}},}\)
b) \(\displaystyle{ \overline{\{ \cos 2^n: n=1,2,\ldots \}},}\)
c) \(\displaystyle{ \overline{\{ \sin n!: n=1,2,\ldots \}},}\)
d) \(\displaystyle{ \overline{\{ \cos n!: n=1,2,\ldots \}}.}\)
Komentarz:
Podejrzewam, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sin 2^n=0, \lim_{n\to \infty} \cos 2^n=1}\) bo tak mówi wolfram Co do podpunktu c) to ciąg \(\displaystyle{ \sin n!}\) jest prawdopodobnie rozbieżny, tutaj była dyskusja na ten temat.
[Analiza] Domknięcia sinusów
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
[Analiza] Domknięcia sinusów
Coś nie tak z tym komentarzem. Chyba, że \(\displaystyle{ n\to-\infty}\) Dlatego nie korzystam z Wolframa.
Można pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \{\sin n:n\in\NN\}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Przedstawionego zadania nigdy nie rozwiązywałem, więc nie znam odpowiedzi, sądzę jednak, że wzięcie podciągów niewiele tu zmieni, toteż wszystkie domknięcia będą przedziałem \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Oczywiście mogę być w grubym błędzie, ale najpierw testowałbym tę hipotezę.
No chyba, że topologia jest dyskretna, wtedy domknięcie nie da niczego nowego.
Można pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \{\sin n:n\in\NN\}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Przedstawionego zadania nigdy nie rozwiązywałem, więc nie znam odpowiedzi, sądzę jednak, że wzięcie podciągów niewiele tu zmieni, toteż wszystkie domknięcia będą przedziałem \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Oczywiście mogę być w grubym błędzie, ale najpierw testowałbym tę hipotezę.
No chyba, że topologia jest dyskretna, wtedy domknięcie nie da niczego nowego.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
[Analiza] Domknięcia sinusów
Pytasz w gruncie rzeczy o gęstość zbiorów typu \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \frac{2^n}{\pi} \right\} :n \right\} \subseteq \left[ 0,1 \right]}\). Z tego co mi wiadomo jest to problem otwarty. Polecam zainteresować się pojęciem "equidistribution modulo 1", a później zajrzeć na prace Koksmy.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
[Analiza] Domknięcia sinusów
Ta dyskusja jest niewiele warta.fon_nojman pisze:Co do podpunktu c) to ciąg \(\displaystyle{ \sin n!}\) jest prawdopodobnie rozbieżny, tutaj była dyskusja na ten temat.
W sedno problemu trafił Zordon.