[Analiza] Domknięcia sinusów

[fon_nojman]

Wyznaczyć zbiory:

a) \(\displaystyle{ \overline{\{ \sin 2^n: n=1,2,\ldots \}},}\)

b) \(\displaystyle{ \overline{\{ \cos 2^n: n=1,2,\ldots \}},}\)

c) \(\displaystyle{ \overline{\{ \sin n!: n=1,2,\ldots \}},}\)

d) \(\displaystyle{ \overline{\{ \cos n!: n=1,2,\ldots \}}.}\)

Komentarz:
Podejrzewam, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sin 2^n=0, \lim_{n\to \infty} \cos 2^n=1}\) bo tak mówi wolfram Co do podpunktu c) to ciąg \(\displaystyle{ \sin n!}\) jest prawdopodobnie rozbieżny, tutaj była dyskusja na ten temat.

[szw1710]

Coś nie tak z tym komentarzem. Chyba, że \(\displaystyle{ n\to-\infty}\) Dlatego nie korzystam z Wolframa.

Można pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \{\sin n:n\in\NN\}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Przedstawionego zadania nigdy nie rozwiązywałem, więc nie znam odpowiedzi, sądzę jednak, że wzięcie podciągów niewiele tu zmieni, toteż wszystkie domknięcia będą przedziałem \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Oczywiście mogę być w grubym błędzie, ale najpierw testowałbym tę hipotezę.

No chyba, że topologia jest dyskretna, wtedy domknięcie nie da niczego nowego.

[Zordon]

Pytasz w gruncie rzeczy o gęstość zbiorów typu \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \frac{2^n}{\pi} \right\} :n \right\} \subseteq \left[ 0,1 \right]}\). Z tego co mi wiadomo jest to problem otwarty. Polecam zainteresować się pojęciem "equidistribution modulo 1", a później zajrzeć na prace Koksmy.

[Dasio11]

Co do podpunktu c) to ciąg \(\displaystyle{ \sin n!}\) jest prawdopodobnie rozbieżny, tutaj była dyskusja na ten temat.

Ta dyskusja jest niewiele warta.

W sedno problemu trafił Zordon.