Projekt 1: Aksjomat wyboru a bazy Hamela.

[Spektralny]

Elementarne zastosowanie lematu Kuratowskiego-Zorna (a więc, aksjomatu wyboru w przebraniu) pozwala udowodnić, że każda przestrzeń liniowa nad dowolnym ciałem ma bazę Hamela (zbiór wektorów w danej przestrzeni pozwalający na zapisanie dowolnego wektora tej przestrzeni jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów z tego zbioru).

Andreas Blass udowodnił, że istnienie bazy Hamela dla przestrzeni liniowych nad dowolnym ciałem pociąga aksjomat wyboru:

A. Blass, Existence of bases implies the axiom of choice. Contemp. Math. 31, 31-33.

Rzeczywiście, w dowodzie wychodzi on od dowolnego zbioru niepustego \(\displaystyle{ X}\) i rozważa ciało funkcji wymiernych nad pierścieniem wielomianów zmiennych formalnych będących elementami zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Rodzi się naturalne pytanie. Czy możemy ustalić ciało \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\) i rozważać tylko przestrzenie liniowe nad tym ciałem? Dokładniej,

Pytanie 1 (wersja szalona): Niech \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\) będzie ustalonym ciałem. Czy z faktu, że każda przestrzeń liniowa nad ciałem \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\) ma bazę Hamela wynika pewnik wyboru?

To sformułowanie wydaje mi się jednak zbyt ogólne (i zapewne trudne do zaatakowania). Wydaje się, że nawet szczególne przypadki ciał byłyby równie interesujące.

Pytanie 2 (wersja szczegółowa). Co się stanie gdy w Pytaniu 1 rozważymy \(\displaystyle{ \mathsf{k}=\mathbb{Z}_2}\), \(\displaystyle{ \mathsf{k}=\mathbb{Q}}\) bądź \(\displaystyle{ \mathsf{k}=\mathbb{R}}\)?

Dla \(\displaystyle{ \mathsf{k}=\mathbb{Z}_2}\) istnieje wynik częściowy (ale jego teza jest ciągle słabsza niż to co chcemy udowodnić). Źródło wrzucę później. Ten przypadek wydaje się bardzo naturalny ponieważ, na przykład, zbiór potęgowy ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2}\).

Cel projektu: Odpowiedzieć na pytanie 2, a jak Bóg da, to i na Pytanie 1.

Możliwa strategia. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem niepustym. Z twierdzenia Hartogsa (ZF) wynika, że istnieje taka liczba porządkowa \(\displaystyle{ \gamma}\), że nie istnieje funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ f\colon\gamma \to X}\). Czy rozważanie przestrzeni przekształceń \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\)-liniowych

\(\displaystyle{ \mathcal{L}(c_{00}(X), c_{00}(\gamma))}\)

i bazy Hamela w niej może nas do czegoś doprowadzić?

Przez \(\displaystyle{ c_{00}(X)}\) rozumiem wolną przestrzeń liniową (nad ciałem \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\)) generowaną przez zbiór \(\displaystyle{ X}\). Techniczne, to zbiór wszystkich funkcji \(\displaystyle{ \varphi\colon X\to \mathsf{k}}\) o skończonym nośniku.

Żeby dowód przeprowadzić do końca tą metodą "wystarczy" znaleźć funkcję różnowartościową

\(\displaystyle{ f\colon X\to \gamma}\)

(tw. Zermelo).

Edycja 1. Może się okazać, że moje przypuszczenie nie jest prawdziwe. Czy dałoby się wyciągnąć z powyższego jakąś słabszą wersję Aksjomatu Wyboru (np.Boolean prime ideal theorem - możliwość rozszerzenia dowolnego filtru w algebrze Boole'a do ultrafiltru albo twierdzenie Hahna-Banacha)?

Wiele ciekawych, i zapewne potrzebnych nam faktów można odnelźć tu:

[lukasz.przontka]

Czy jeśli \(\displaystyle{ f \colon \gamma \to X}\) będzie funkcją taką, że \(\displaystyle{ f(\gamma) = X}\). To funkcja \(\displaystyle{ g \colon X \to \gamma}\) zdefiniowana następująco \(\displaystyle{ g(x) = \min\{\alpha \in \gamma | f(\alpha) = x\}}\) nie będzie szukaną funkcją?

[Spektralny]

lukasz.przontka, nie mamy do dyspozycji pewnika wyboru (innymi słowy, nie potrafimy porównywać mocy). Nie mamy zatem gwarancji, że istnieje wskazana przez Ciebie suriekcja.

Gdyby Twoje podejście działało, to udowodniłbyś AC na gruncie ZF, co jak wiemy, nie jest możliwe.

Edycja 2. Inną drogą może być zaatakowanie baz Hamela w przestrzeniach (Banacha) \(\displaystyle{ \ell_1(X), \ell_1(\gamma)}\).

[lukasz.przontka]

Spektralny, jako że zbliża się sesja, to bardzo bym Cię prosił o wskazanie materiałów, które mogą być pomocne do rozgryzienia tego problemu. W szczególności:
- wyniki częściowe, o których już wcześniej wspominałeś,
- coś o wolnych przestrzeniach generowanych przez dany zbiór,
- coś o przestrzeniach Banacha,
- coś o przekształceniach \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\)-liniowych.

[Spektralny]

- wyniki częściowe, o których już wcześniej wspominałeś,

Praca Keremedisa o przypadku \(\displaystyle{ \mathsf{k}=\mathbb{Z}_2}\)
... 3305-9.pdf

- coś o wolnych przestrzeniach generowanych przez dany zbiór,

\(\displaystyle{ c_{00}(X)=\{f\colon X\to \mathsf{k}\colon |\{x\in X\colon f(x)\neq 0\}|<\aleph_0\}}\),

gdzie \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\) jest rozważanym ciałem. Te przestrzenie mają zawsze jawnie daną bazę Hamela \(\displaystyle{ \{e_i\colon i\in X\}}\), gdzie \(\displaystyle{ e_i(x)=\delta_{i,x}}\) (delta Kroneckera).

- coś o przekształceniach \(\displaystyle{ \mathsf{k}}\)-liniowych.

Rozumiem przez to zwykłe przekształcenia liniowe. Dodaję w nazwie "\(\displaystyle{ \mathsf{k}-}\)" by zaznaczyć nad jakim ciałem są rozważane przestrzenie liniowe.