Trzy porządki (nieliniowe) na liniowych porządkach, supremum łańcuchów

Projekty i prace naukowe i badawcze. Nowatorskie idee matematyczne. Literatura specjalistyczna.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Trzy porządki (nieliniowe) na liniowych porządkach, supremum łańcuchów

Post autor: Jakub Gurak »

Udało mi się udowodnić, że w rodzinie wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), relacja taka, że liniowy porządek jest większy od danego gdy jest jego rozszerzeniem przez dodanie elementów mniejszych, taka relacja jest relacją porządku, i w tym zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jeśli wezmę łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\) to \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest jego supremum. Myślę, że to ciekawe. Jednak dowód przeprowadziłem w oparciu o fakt, że na tej samej rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) relacja taka, że liniowy porządek jest większy od danego gdy jest jego rozszerzeniem przez dodanie elementów większych, taka relacja jest relacją porządku, i na podstawie tego, że w takim zbiorze uporządkowanym każdy niepusty łańcuch posiada supremum. Udowodniłem to chyba w ostatnie wakacje, ale za mało dokładnie, skąd zrodziły mi się wątpliwości.. Trzeba będzie się poprawić i zrobić to lepiej w sposób pewny i ścisły.

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X} \right),\left( Y, \le _{Y} \right) }\) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Wtedy porządek \(\displaystyle{ \le _{Y}}\) jest rozszerzeniem porządku \(\displaystyle{ \le _{X},}\) gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b \in X}\) zachodzi warunek:

\(\displaystyle{ a\le _{X}b \Longrightarrow a\le _{Y}b.}\)

Tzn., jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest mniejszy (lub równy) od \(\displaystyle{ b}\) względem danego porządku (na \(\displaystyle{ X}\)), to tym bardziej \(\displaystyle{ a}\) musi być mniejsze od \(\displaystyle{ b}\) względem porządku rozszerzającego.

Inaczej mówiąc \(\displaystyle{ \left( \le _{X}\right) \subseteq \left( \le _{Y} \right)}\), czyli po prostu porządek rozszerzający \(\displaystyle{ \le _{Y}}\) jest nadzbiorem danego porządku \(\displaystyle{ \le _{X}}\). Dla liniowych porządków ma to wymowną ilustrację- porządek rozszerzający jest szerszy, zobacz ilustrację:

Przypomnę powszechny fakt: jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ S}\) rodziną liniowych porządków( samych relacji) określonych na pewnych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w \(\displaystyle{ S}\) jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy dla relacji \(\displaystyle{ \bigcup S}\), zachodzi \(\displaystyle{ \left( \bigcup S\right) _{L}=\left( \bigcup S\right) _{P}}\) i \(\displaystyle{ \bigcup S}\) jest liniowym porządkiem na tym zbiorze.''

Tzn. suma rodziny liniowych porządków na podzbiorach \(\displaystyle{ X}\), i jeśli wiemy, że dla dowolnych dwóch takich liniowych porządków jeden jest rozszerzeniem drugiego, to wtedy suma rodziny takich liniowych porządków jest liniowym porządkiem na swoim polu.
WERSJA PROSTSZA- DWA LINIOWE PORZĄDKI:    
Przypomnę teraz fakt, że
FAKT 0:    
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem. Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\). Możemy taką rodzinę utworzyć gdyż możemy utworzyć rodzinę wszystkich relacji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ X}\),
RODZINA WSZYSTKICH RELACJI Z X DO Y:    
Zatem w szczególności możemy mówić o rodzinie wszystkich relacji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ X}\), i wybrać z niej te relacje które są relacjami liniowego porządku na pewnych zbiorach \(\displaystyle{ Y\subset X}\). Oznaczmy ta rodzinę liniowych porządków jako \(\displaystyle{ \mathbb{B}.}\)
Ukryta treść:    
Łatwo więc będzie pokazać, że w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}, \subset\right)}\) każdy łańcuch posiada supremum.

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset\mathbb{B}}\) będzie łańcuchem. Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest zbiorem złożonym z liniowych porządków, i jeśli mamy dwa elementy \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) to są one liniowymi porządkami na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), i ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem to są porównywalne( jeden mniejszy drugi większy), wtedy większy jest rozszerzeniem mniejszego. Otrzymujemy zatem, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jeden jest rozszerzeniem drugiego, a zatem ten fakt o sumie liniowych porządków daje, że \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\) jest liniowym porządkiem na swoim polu, czyli na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\). A zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}\in\mathbb{B}}\), a zatem na mocy faktu 0: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}= \bigvee \mathbb{D}.\square }\)

Warunek ten mówi, że jeśli weźmiemy dowolny łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset\mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D} }\) jest jego supremum. Warunek ten da się narysować :lol: Oto ilustracja:

Jednak jest też oczywiste, że ten porządek na liniowych porządkach nie musi być liniowy. Wystarczy rozważyć np. \(\displaystyle{ X=\RR}\), na zbiorze \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) naturalny porządek (liniowy) oznaczmy go jako \(\displaystyle{ R}\), a na zbiorze \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2},2 \right]}\) naturalny porządek (liniowy) \(\displaystyle{ S}\), wtedy \(\displaystyle{ R}\) nie rozszerza \(\displaystyle{ S}\), ani \(\displaystyle{ S}\) nie rozszerza \(\displaystyle{ R}\). Zatem tutaj \(\displaystyle{ \subset}\) nie jest porządkiem liniowym.


Rozważmy teraz znowu tą samą rodzinę liniowych porządków \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Przyjmijmy oznaczenia, że jeśli \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\), to przez \(\displaystyle{ X _{R}}\) będziemy oznaczać zbiór na którym jest określony liniowy porządek \(\displaystyle{ R}\). Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ R}\) jest relacją zwrotną w \(\displaystyle{ X_R}\), zatem \(\displaystyle{ R _{L}=X_R=R_P. }\) W efekcie \(\displaystyle{ R_L \cup R_P=X_R}\), zatem polem relacji \(\displaystyle{ R}\) jest cały zbiór \(\displaystyle{ X_R.}\)

Rozważmy relację \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) na elementach \(\displaystyle{ \mathbb{B}:}\)

\(\displaystyle{ \left( \le_{1}\right) \sqsubseteq \left( \le_{2}\right) \Longleftrightarrow\left( \le_{2} \hbox{ rozszerza } \le_{1}\right) \wedge \Bigl ( x \in X _{ \le _{1} },y \in X _{ \le _{2} } \setminus X _{ \le _{1} } \Longrightarrow x \le _{2}y\Bigr) .}\)

Czyli jeden liniowy porządek \(\displaystyle{ \le _{1}}\) na podzbiorze \(\displaystyle{ X}\) jest mniejszy od drugiego liniowego porządku \(\displaystyle{ \le _{2}}\), gdy \(\displaystyle{ \le _{2}}\) jest rozszerzeniem \(\displaystyle{ \le _{1}}\), i to przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych, co przedstawia ilustracja:

Wykażemy teraz jeszcze raz, że jest to relacja porządku, a potem, że jeśli weźmiemy dowolny niepusty łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D} \subset \mathbb{B}}\) to zbiór \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {D}}\) jest liniowym porządkiem na podzbiorze \(\displaystyle{ X}\), i jest to supremum dla rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) takich liniowych porządków. Warunek ten da się narysować. Oto ilustracja.

Niemniej musimy ten ciekawy fakt udowodnić, a najpierw wykazać, że jest to relacja porządku.

Jeśli chcemy być dokładni to udowodnijmy krótko, że porządek rozszerzający względem porządku danego jest określony na nadzbiorze zbioru na którym określony jest dany porządek.
Ukryta treść:    
Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) jest relacją porządku na \(\displaystyle{ \mathbb{B}.}\)
Ukryta treść:    
Jednak ten porządek nie jest liniowy. Wystarczy rozważyć ten sam kontrprzykład co poprzedni kontrprzykład na liniowość w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\subset\right) }\). Ponieważ porządek \(\displaystyle{ \subset}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\)- rozszerzenie- nie jest liniowy, więc porządek \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\)- rozszerzenie przez dodanie elementów większych- tym bardziej nie jest liniowy.

Spróbuję wykazać, że w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\sqsubseteq\right)}\) każdy niepusty łańcuch posiada supremum, a bardziej wymownie chodzi o to, że jeśli weźmiemy dowolny łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D} \subset \mathbb{B}}\) złożony z liniowych porządków, to chodzi o pokazanie, że relacja \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {D}}\) jest liniowym porządkiem na podzbiorze \(\displaystyle{ X}\), i jest supremum dla rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) takich liniowych porządków. Udało się mi to pokazać.

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb {D} \subset \mathbb {B}}\) będzie dowolnym niepustym łańcuchem. Wtedy jeśli \(\displaystyle{ S _{1},S _{2}}\) są elementami \(\displaystyle{ \mathbb {D}}\), to \(\displaystyle{ S _{1},S _{2}}\) są liniowymi porządkami, i ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb {D}}\) jest łańcuchem, więc \(\displaystyle{ S_1, S_2}\) są porównywalne względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) , więc \(\displaystyle{ S _{1}\sqsubseteq S_2}\) lub \(\displaystyle{ S _{2}\sqsubseteq S_1}\), więc z definicji \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ S_2}\) jest rozszerzeniem \(\displaystyle{ S _{1}}\) lub \(\displaystyle{ S _{1}}\) jest rozszerzeniem \(\displaystyle{ S _{2}}\), otrzymujemy zatem, że dla dowolnych dwóch liniowych porządków w \(\displaystyle{ \mathbb {D}}\) jeden jest rozszerzeniem drugiego, a zatem ten powszechny fakt gwarantuje, że relacja \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {D}}\) jest liniowym porządkiem na swoim polu, czyli na pewnym podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X.}\) Zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D} \in \mathbb{B}}\). Wykażemy teraz, że jest to supremum rodziny takich liniowych porządków.

Należy najpierw pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb {D}}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb {D}}\). W tym celu: Niech \(\displaystyle{ S \in\mathbb {D}.}\) Pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ S\sqsubseteq \bigcup \mathbb {D}.}\) Z własności sumy \(\displaystyle{ S\subset \bigcup \mathbb {D},}\) zatem liniowy porządek \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb {D}}\) rozszerza liniowy porządek \(\displaystyle{ S}\). Wykażemy teraz punkt drugi odnośnie warunku, że \(\displaystyle{ S \sqsubseteq\bigcup\mathbb{D}.}\) Wykażemy najpierw lemat, że \(\displaystyle{ X _{ \bigcup D} = \bigcup_{C \in\mathbb {D}}X _{C}, }\) czyli, że zbiór na którym jest określony liniowy porządek, którym jest \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb {D}}\) jest sumą zbiorów na których są określone te liniowe porządki z \(\displaystyle{ \mathbb {D}.}\) Będzie on nam potrzebny nie raz, więc warto go wpierw udowodnić, niż wprowadzać niezręczności.
Lemat 1:    
Niech teraz \(\displaystyle{ x\in X _{S},y \in X_{ \bigcup D} \setminus X_{S}.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x\left( \bigcup\mathbb {D}\right) y,}\) czyli, że \(\displaystyle{ (x,y)\in \bigcup \mathbb{D}}\). Mamy \(\displaystyle{ x \in X _{S},y \in X _{ \bigcup D}, y \not\in X _{S}.}\) mamy \(\displaystyle{ y \in X_{ \bigcup D},}\) więc \(\displaystyle{ y \in X _{S _{0} },}\) dla pewnego \(\displaystyle{ S _{0} \in\mathbb {D}.}\) (gdyby (a wiemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest niepusta, więc istotnie działają prawa zaprzeczania kwantyfikatorom, w rodzinie pustej nie działają), gdyby \(\displaystyle{ y \not\in X _{C}}\) dla żadnego \(\displaystyle{ C \in \mathbb {D}}\), to również \(\displaystyle{ y\not\in \bigcup_{C \in \mathbb {D} }X _{C},}\) a \(\displaystyle{ y \in X_{ \bigcup D} = \bigcup_{C \in \mathbb {D}} X _{C}.}\) na mocy udowodnionego lematu. Zasada równości zbiorów daje więc sprzeczność.) Zatem ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{D} \neq \left\{ \right\}}\), to (stosując prawo zaprzeczania kwantyfikatorowi ogólnemu) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ y\in X_{S_0}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ S_0\in\mathbb{D}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ S_0,S\in\mathbb{D}}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{D} }\)jest łańcuchem, to \(\displaystyle{ S_0\sqsubseteq S}\) lub \(\displaystyle{ S\sqsubseteq S_0.}\) Jeśli byłoby \(\displaystyle{ S_0\sqsubseteq S}\), to porządek \(\displaystyle{ S}\) rozszerzałby porządek \(\displaystyle{ S_0}\), a zatem również \(\displaystyle{ X_S\supset X_{S_0}}\), ponieważ \(\displaystyle{ y\in X_{S_0}}\), to \(\displaystyle{ y\in X_S}\)-sprzeczność. Zatem pozostaje możliwość \(\displaystyle{ S\sqsubseteq S_0}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ x\in X_S,y\in X_{S_0} \setminus X_S}\), więc stosując definicję \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x(S_0)y}\), innymi słowy \(\displaystyle{ (x,y)\in S_0}\), ponieważ \(\displaystyle{ S_0\in\mathbb{D}}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ (x,y)\in \bigcup\mathbb{D}}\). Zatem jest spełniony rownież punkt drugi, a zatem \(\displaystyle{ S\sqsubseteq \bigcup\mathbb{D}}\), i z dowolności \(\displaystyle{ S\in\mathbb{D}}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{D}. }\)

Pozostaje pokazać, że jest to najmniejsze ograniczenie górne dla \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\). Niech \(\displaystyle{ S\in\mathbb{B}}\) będzie ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}\sqsubseteq S.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ S}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\), więc \(\displaystyle{ A\sqsubseteq S}\), dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A\in\mathbb{D}}\). Jeśli więc \(\displaystyle{ A\in\mathbb{D}}\), to oczywiście \(\displaystyle{ A\sqsubseteq S}\), a zatem z definicji porządku \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ S}\) jest rozszerzeniem \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ S\supset A}\), czyli \(\displaystyle{ A\subset S}\). Pokażaliśmy, w ten oto prosty sposób, że jeśli \(\displaystyle{ A\in \mathbb{D} }\) to \(\displaystyle{ A\subset S}\). Zatem każdy zbiór z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ S}\), więc również ich unia ( suma ) jest podzbiorem \(\displaystyle{ S}\)- \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}\subset S.}\) A zatem liniowy porządek \(\displaystyle{ S}\) rozszerza liniowy porządek, którym jest \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\). Pozostaje pokazać punkt drugi, że to jest rozszerzenie przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych. Aby to pokazać, to niech \(\displaystyle{ x\in X_{ \bigcup D} , y\in X_ S\setminus X_{\bigcup \mathbb{D} }. }\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x(S)y.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x\in X_{\bigcup D}}\), to \(\displaystyle{ x\in X_A}\) dla pewnego \(\displaystyle{ A\in \mathbb{D}.}\) Uzasadnienie takie jak wcześniej, mamy \(\displaystyle{ \mathbb{D} \neq \left\{ \right\}}\) (więc działa prawo zaprzeczania kwantyfikatorowi ogólnemu), więc gdyby byłoby \(\displaystyle{ x\not\in X_A}\), dla żadnego zbioru \(\displaystyle{ A\in\mathbb{D}}\) to również \(\displaystyle{ x\not\in \bigcup_{A\in\mathbb{D}} X_A}\), natomiast \(\displaystyle{ x\in X_{ \bigcup D}= \bigcup_{A\in \mathbb{D}} X_A}\), zasada równości zbiorów daje więc sprzeczność. Więc ponieważ również \(\displaystyle{ \mathbb{D} \neq \left\{ \right\}}\), więc \(\displaystyle{ x\in X_A}\), dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ A\in\mathbb{D}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ y\not\in X _{ \bigcup D}}\), to \(\displaystyle{ y\not\in X_C}\) dla żadnego \(\displaystyle{ C \in \mathbb{D}}\) (tzn. \(\displaystyle{ y}\) do żadnego z tych zbiorów nie nalezy), znowu, nie jest to wbrew pozorom oczywiste, tylko uzasadniamy to naszym lematem: gdyby było \(\displaystyle{ y\not\in X_C}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in \mathbb{D},}\) to tym bardziej byłoby \(\displaystyle{ y\in \bigcup_{C\in\mathbb{D}} X_C= X _{ \bigcup D}}\), na mocy naszego lematu, a zatem \(\displaystyle{ y\in X _{ \bigcup D}}\)- sprzeczność. A zatem rzeczywiście \(\displaystyle{ y}\) nie należy do żadnego ze zbiorów \(\displaystyle{ X_C}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{D}}\), więc w szczególności \(\displaystyle{ y\not\in X_A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A\in \mathbb{D}}\), to \(\displaystyle{ A\sqsubseteq S}\) (gdyż \(\displaystyle{ S}\) jako ograniczenie górne dla \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest większe od każdego zbioru z \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\)), mamy \(\displaystyle{ y\in X_S, y\not\in X_A , x\in X_A}\), to stosując definicję \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) do relacji \(\displaystyle{ A\sqsubseteq S}\), i do tych elementów wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x(S)y}\), co należało pokazać. A zatem jest spelniony również punkt drugi w definicji \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}\sqsubseteq S}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) było dowolnym ograniczenie górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{D}.}\)

Otrzymujemy zatem, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}= \bigvee\mathbb{D}. \square }\) :lol:


Rozważmy ostatni trzeci porządek na rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), tzn. taki porządek, że liniowy porządek jest większy od danego, gdy jest jego rozszerzeniem przez dodanie elementów mniejszych tym razem od wszystkich zastanych, formalnie definiujemy porzadek \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) na rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb{B}:}\)

\(\displaystyle{ R\succcurlyeq S \Longleftrightarrow S\hbox { rozszerza } R \hbox{ i } \left( x\in X_R, y\in X_S \setminus X_R \rightarrow y(S)x \right). }\)

Wykażemy, że ta relacja jest relacją porządku, a następnie, że jeśli weźmiemy niepusty łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\) to zbiór \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}}\) jest liniowym porządkiem, i jest to supremum tej rodziny liniowych porządków.

Aby to zrobić to:


Przede wszystkim rozważmy nową rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\)( łatwo potem pokażemy, że to ta sama rodzina tylko inaczej zapisana):

\(\displaystyle{ \mathbb{D}=\left\{ R ^{-1}\Bigl| \ \ R\in\mathbb{B} \right\}}\), złożoną z porządków odwrotnych do porządków liniowych z \(\displaystyle{ \mathbb{B}.}\)

I proszę teraz zauważyć, że ( dla \(\displaystyle{ R,S \in \mathbb{B}}\)) jeśli między \(\displaystyle{ R}\) a \(\displaystyle{ S }\) mamy rozszerzenie przez dodanie elementów mniejszych, to na odpowiadających porządkach odwrotnych mamy rozszerzenie przez dodanie elementów większych. Intuicyjnie jest to zupełnie oczywiste, ale formalnie chyba nie, formalnie, należy pokazać równoważność (dla \(\displaystyle{ R,S\in\mathbb{B}}\)):

\(\displaystyle{ R\succcurlyeq S\Longleftrightarrow R ^{-1} \sqsubseteq S ^{-1}.}\)

Dowód tej oczywistej zależności przedstawiłem tutaj I my wielokrotnie z tej równoważności będziemy korzystać.
(D=B):    
Aby wykazać, że relacja \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) jest relacją porządku będziemy potrzebowali pewnego ogólnego lematu.
Lemat 2:    
Łatwo zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{B} \rightarrow \mathbb{B}}\) określona \(\displaystyle{ f(R)=R ^{-1}}\) Jest bijekcją. Jest różnowartościowa, gdyż jeśli \(\displaystyle{ f(R)=f(S)}\), to \(\displaystyle{ R^{-1}=S^{-1}}\), zatem \(\displaystyle{ R= \left( R^{-1} \right) ^{-1}= \left( S ^{-1}\right) ^{-1}=S}\), więc \(\displaystyle{ R=S}\). Więc jest różnowartościowa, i oczywiście jest 'na'. Zatem jest bijekcją.


Ponieważ \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\sqsubseteq\right) }\) jest zbiorem uporządkowanym, a \(\displaystyle{ f:\mathbb{B} \rightarrow \mathbb{B}}\) jest bijekcją, to na mocy lematu 2 relacja \(\displaystyle{ \le _{\mathbb{B} }}\) na rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\):

\(\displaystyle{ R \le _{\mathbb{B} } S \Longleftrightarrow R ^{-1}=f( R) \sqsubseteq f \left( S \right)=S ^{-1} }\) jest relacją porządku.

Ponieważ jednak mamy prawo \(\displaystyle{ R^{-1}\sqsubseteq S ^{-1}\Longleftrightarrow R\succcurlyeq S
}\)
, więc to oznacza, że również \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) jest (jako ta sama relacja co \(\displaystyle{ \le _{\mathbb{B} }}\) ) jest relacją porządku na \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), a więc \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\succcurlyeq\right) }\) jest zbiorem uporządkowanym.

Oh, czystej logiki to chyba nie lubię. Ten porządek również nie jest liniowy. Ponieważ \(\displaystyle{ \subset}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), rozszerzenie, nie jest porządkiem liniowym, więc porzadek \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\)- rozszerzenie przez dodanie elementów mniejszych, tym bardziej nie jest liniowy.


Możemy zatem sprawdzić czy w tym zbiorze uporządkowanym każdy niepusty łańcuch posiada supremum (czyli jeśli weźmiemy łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset \left( \mathbb{B}, \succcurlyeq\right) }\) to \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest jego supremum). Aby wykazać ten ciekawy fakt to: niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\), będzie niepustym łańcuchem (względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\)). Za supremum kładziemy jak zwykle \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}}\). Wpierw jednak musimy zapewnić, że \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}\in\mathbb{B}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) zatem fakt o sumie liniowych porządków daje, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest liniowym porządkiem na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} \in \mathbb{B}.}\)

Rozważmy nową rodzinę zbiorów: \(\displaystyle{ \mathbb{A} ^{'}=\left\{ R ^{-1}\Bigl| \ \ R\in\mathbb{A} \right\} }\) złożoną z porządków odwrotnych do porządków z łańcucha \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\). Niewątpliwie \(\displaystyle{ \mathbb{A}'\subset\mathbb{B}}\), i ponieważ łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest niepusty, to zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\) również. Należy pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\). Wynika to łatwo stąd, że \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) (i naszej równoważności między tymi porządkami).
Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), oraz \(\displaystyle{ \mathbb{A}' \neq \left\{ \right\}}\) a wiemy, że w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\sqsubseteq\right)}\) , każdy niepusty łańcuch posiada supremum (którym dla łańcucha \(\displaystyle{ \mathbb{S}\subset\mathbb{B}}\) jest \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{S}}\)), więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}'}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}'.}\) Musimy natomiast wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}'= \bigcup_{R\in\mathbb{A}} R ^{-1}= \left( \bigcup\mathbb{A}\right) ^{-1},}\)
Ukryta treść:    
A zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}'= \left( \bigcup\mathbb{A}\right) ^{-1}.}\)

Aby pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\), to niech \(\displaystyle{ R\in \mathbb{A}}\). Pokażemy że \(\displaystyle{ R \succcurlyeq \bigcup\mathbb{A}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ R\in \mathbb{A}}\), to \(\displaystyle{ R^{-1}\in \mathbb{A}'}\), ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}'}\) jest supremum \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\) względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), to jest jego ograniczeniem gornym, skąd \(\displaystyle{ R^{-1}\sqsubseteq\bigcup \mathbb{A}'= \left( \bigcup\mathbb{A}\right) ^{-1}}\), co oznacza, na mocy naszej równoważności, że \(\displaystyle{ R \succcurlyeq \bigcup\mathbb{\mathbb{A} }}\), co należało pokazać. Zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}.}\)

Pozostaje pokazać, że jest to najmniejsze ograniczenie górne dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\). Nim to zrobimy będziemy potrzebowali prostego faktu, że jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) , to \(\displaystyle{ S^{-1}}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\) względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\). Łatwo ten fakt udowodnić, na mocy naszej równoważności między tymi porządkami. W takim razie jesteśmy gotowi udowodnić, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq.}\)

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}\succcurlyeq S.}\) Relacja ta zachodzi, wtedy i tylko wtedy, (na mocy naszej równoważności) gdy \(\displaystyle{ \left( \bigcup \mathbb{A}\right) ^{-1}\sqsubseteq S ^{-1},}\) lewa strona tej nierówności jest równa \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}'}\), więc to znaczy to samo co \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}'\sqsubseteq S ^{-1}, }\) ponieważ \(\displaystyle{ S}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\), więc \(\displaystyle{ S^{-1}}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\) względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\). Poniewaz \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}'}\) jest supremum \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\) względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\). czyli najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}'}\), więc \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}'\sqsubseteq S ^{-1}}\), co należało stwierdzić.

Otrzymujemy zatem, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\), a więc suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest supremum rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\)- \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}= \bigvee \mathbb{A}. \square}\) :D :D :lol:

To może podsumujmy ilustracją tej zależności, gdyż to było motywem tych rozważań. Chętnie bym zrobił więcej potrzebnych ilustracji, ale miniaturki nie da rady zamieścić (mówi że nie można określić rozmiaru obrazka, nie wiem, a odnośników można dać tylko dwa). To może dodam jeszcze, że w podanym linku z forum, tak się właśnie składa, że jest więcej wniosków z tego faktu o sumie liniowych porządków, w szczególności polecam ostatni post z tego wątku, gdzie (właśnie kilka dni temu) udowodniłem, że suma łańcucha porządków gęstych jest liniowym porządkiem gęstym, oraz suma łańcucha porządków ciągłych jest liniowym porządkiem ciągłym, polecam.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Trzy porządki (nieliniowe) na liniowych porządkach, supremum łańcuchów

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, że jeśli mamy łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb {B}}\) (łańcuch względem rozszerzenia) złożony z liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), to relacja \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb {B}}\) jest liniowym porządkiem na przekroju wszystkich zbiorów na których są określone liniowe porządki tej rodziny. Przedstawię teraz dowód:

Dowód:

Przypomnę może, że jeśli \(\displaystyle{ R \in\mathbb{B}}\), to przez \(\displaystyle{ X_R}\) będziemy oznaczać zbiór na którym jest określony liniowy porządek \(\displaystyle{ R}\).


Uzasadniamy najpierw, że \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\) jest relacją w \(\displaystyle{ \bigcap_{R \in\mathbb{B}} X _{R}. }\) Zakładamy oczywiście, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta (choć w pustej rodzinie wygląda na to, że też to zachodzi).

Niech \(\displaystyle{ x \in \bigcap_{R \in \mathbb{B}} R_L.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x \in R_L}\), dla każdej relacji \(\displaystyle{ R \in\mathbb{B} .}\) Relacje takie jako relacje liniowego porządku są zwrotne w \(\displaystyle{ X_R}\), a zatem \(\displaystyle{ R_L=X_R,}\) a zatem \(\displaystyle{ x \in X_R}\) dla każdej relacji \(\displaystyle{ R \in\mathbb{B}}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta, to \(\displaystyle{ x \in\bigcap_{R \in\mathbb{B}} X_R}\). A zatem \(\displaystyle{ \bigcap_{R \in\mathbb{B} } R_L \subset \bigcap_{R \in\mathbb{B}} X_R.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb{B}\right)_L \subset \bigcap_{R \in\mathbb{B}}R_L}\) (łatwo taką ogólną inkluzje udowodnić ) , więc \(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb{B}\right) _{L} \subset \bigcap_{R \in\mathbb{B}} X_R. }\) Analogicznie można pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcap _{R\in\mathbb{B}} R_P \subset \bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R.}\) Łatwo pokazać ogólną inkluzję, dzięki której \(\displaystyle{ \left( \bigcap \mathbb{B}\right) _{P} \subset \bigcap_{R\in\mathbb{B}} R_P. }\) Wobec czego \(\displaystyle{ \left( \bigcap \mathbb{B}\right)_P \subset \bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R}\). Ponieważ mamy prawo relacji między dwoma zbiorami, że \(\displaystyle{ R \subset R_L \times R_P}\), więc również \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B} \subset \left( \bigcap \mathbb{B}\right)_L \times \left( \bigcap \mathbb{B}\right)_P \subset \bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R \times \bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B}}\) jest relacją w \(\displaystyle{ \bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R. }\)

Pozostaje wykazać, że taka relacja jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia i spójna.

Zwrotność. Niech \(\displaystyle{ x\in\bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R. }\) Wtedy \(\displaystyle{ x\in X_R}\), dla każdej relacji \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\), każda taka relacja \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna w \(\displaystyle{ X_R}\), więc \(\displaystyle{ (x,x)\in R}\), dla każdej relacji \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta, więc \(\displaystyle{ (x,x)\in \bigcap\mathbb{B}.}\) A więc \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B}}\) jest relacją zwrotną w \(\displaystyle{ \bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R. }\)

Antysymetria. Łatwo jest pokazać ogólną własność, że każdy podzbiór relacji antysymetrycznej w danym zbiorze jest relacją antysymetryczną. Niech zatem \(\displaystyle{ R\in\mathbb {B}\neq \left\{ \right\}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ R}\) jest antysymetryczną, oraz z własności przekroju mnogościowego \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb {B} \subset R}\). Zatem wspomniany fakt daje, że \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\) jest relacją antysymetryczną.

Przechodniość. \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B}}\) jest relacją przechodnią, gdyż iloczyn niepustej rodziny relacji przechodnich w danym zbiorze jest relacją przechodnią, co udowodniłem tutaj.

Pozostaje do udowodnienia spójność, niestety będzie to najtrudniejsze.

Niech \(\displaystyle{ x,y\in\bigcap_{R \in \mathbb{B}} X_R. }\) Wtedy \(\displaystyle{ x\in X_R, }\) dla każdej relacji \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\), oraz \(\displaystyle{ y\in X_R,}\) dla każdej relacji \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\). Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ (x,y)\in \bigcap \mathbb{B}}\) lub \(\displaystyle{ (y,x)\in\bigcap \mathbb{B}.}\) Aby to pokazać przypuśćmy, że \(\displaystyle{ (y,x)\not\in \bigcap\mathbb{B}}\) i pokażmy, że \(\displaystyle{ (x,y)\in \bigcap\mathbb{B}}\). Niech zatem \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x\in X_R, y\in X_R}\). Wtedy \(\displaystyle{ R}\) jest relacją spójną w \(\displaystyle{ X_R}\), a zatem \(\displaystyle{ (x,y)\in R}\) lub \(\displaystyle{ (y,x)\in R}\). Ponieważ \(\displaystyle{ (y,x)\not\in \bigcap\mathbb{B}}\) i ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{B} \neq \left\{ \right\}}\), więc \(\displaystyle{ (y,x)\not\in S}\), dla pewnej relacji \(\displaystyle{ S\in\mathbb{B}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x,y\in X_S}\), i relacja \(\displaystyle{ S\in\mathbb{B}}\) jest relacją spójną w \(\displaystyle{ X_S}\), zatem \(\displaystyle{ (x,y)\in S}\).

Przypuśćmy teraz , że \(\displaystyle{ (y,x)\in R}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest łańcuchem, to relacja \(\displaystyle{ R}\) rozszerza relację \(\displaystyle{ S}\) lub \(\displaystyle{ S}\) rozszerza \(\displaystyle{ R}\). Nie może jednak \(\displaystyle{ S}\) rozszerzać \(\displaystyle{ R}\), gdyż wtedy \(\displaystyle{ (y,x)\in S}\)- sprzeczność; wobec czego musi \(\displaystyle{ R}\) rozszerzać \(\displaystyle{ S}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ (x,y)\in S}\), to również \(\displaystyle{ (x,y)\in R}\). Ponieważ \(\displaystyle{ (x,y)\in R}\), \(\displaystyle{ (y,x)\in R}\), więc z antysymetrii \(\displaystyle{ R}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ x=y}\). Możemy zatem wnioskować stąd, że \(\displaystyle{ (x,x)\not\in S}\), co jest sprzeczne ze zwrotnością \(\displaystyle{ S.}\)

Wobec czego \(\displaystyle{ (y,x)\not\in R}\), więc pozostaje możliwość \(\displaystyle{ (x,y)\in R}\).
Otrzymujemy zatem, że para \(\displaystyle{ (x,y)\in R,}\) dla każdej relacji \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta, więc \(\displaystyle{ (x,y)\in \bigcap\mathbb{B}.\square }\) :D

A zatem przekrój dowolnego łańcucha złożonego z liniowych porządków jest liniowym porządkiem. Wynika stąd, że w rodzinie \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}, \subset \right) }\) wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), każdy niepusty łańcuch posiada infimum ( którym to infimum, dla łańcucha \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{D}\subset\mathbb{B}}\), jest \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{D}}\)- \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{D}}\) jest liniowym porządkiem, i jest to infimum rodziny liniowych porządków \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\)). :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Trzy porządki (nieliniowe) na liniowych porządkach, supremum łańcuchów

Post autor: Jakub Gurak »

Dostrzegłem, że ten fakt, że w rodzinie wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), relacja porządku, ze liniowy porządek jest większy od danego gdy jest jego rozszerzeniem przez dodanie elementów większych od danych oraz fakt który mówi, że jeśli weźmiemy tutaj niepusty łańcuch to jego suma jest liniowym porządkiem i jest to supremum tej rodziny liniowych porządków można zauważyć, że to można zastosować aby udowodnić, że z lematu Zorna wynika Twierdzenie Zermelo (lub inaczej, że przy założeniu aksjomatu wyboru można udowodnić twierdzenie Zermelo, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować). Przedstawię teraz moją próbę dowodu (stosunkowo prostą, tzn. dowód jest zwinięty do pewnych lematów, stosunkowo proste, ale dla mnie to też nie jest łatwe).

Przypominam Lemat Zorna mówi, że jeśli w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le )}\) każdy łańcuch ma ograniczenie górne, to istnieje w \(\displaystyle{ X}\) element maksymalny.

Przypominam, dość łatwo można pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem uporządkowanym, \(\displaystyle{ Y\subset X}\) podzbiorem z porządkiem \(\displaystyle{ \le}\) (zawężonym do \(\displaystyle{ Y}\)), oraz mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset Y}\), i on ma supremum względem \(\displaystyle{ \le _{X}}\), oraz \(\displaystyle{ \bigvee _{X} A\in Y}\), to \(\displaystyle{ \bigvee _{X} A= \bigvee _{Y}A}\) . To można dość prosto udowodnić. Podobny fakt można sformułować i udowodnić dla infimum. Przejdźmy zatem do dowodu:

PRÓBA DOWODU:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem. Rozważmy dwie rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych:

\(\displaystyle{ \mathbb{D}=\left\{ R\subset X\times X \Bigl| \ \ R \hbox{ jest liniowym porządkiem na pewnym zbiorze } C\subset X\right\} }\),czyli rodzinę wszystkich liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), wraz z porządkiem \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\), czyli liniowy porządek jest większy od danego gdy jest jego rozszerzeniem przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych, oraz rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset \mathbb{D}}\) złożoną z wszystkich dobrych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), wraz z tym samym (odpowiednio zawężonym) porządkiem \(\displaystyle{ \preccurlyeq.}\)

Zauważmy najpierw, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta, gdyż porządek pusty do niej należy (porządek pusty na zbiorze pustym jest dobry ). Ponieważ, wiemy że \(\displaystyle{ \left( \mathbb{D}\preccurlyeq\right)}\) jest zbiorem uporządkowanym, więc jej podzbiór\(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest również uporządkowany przez ten porządek \(\displaystyle{ \preccurlyeq}\). Aby zastosować Lemat Zorna bierzemy dowolny niepusty łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D_0}\subset \mathbb{B}}\) (ograniczeniem górnym pustego łańcucha jest dowolny element \(\displaystyle{ \mathbb{B} \neq \left\{ \right\}}\)). Jako ograniczenie górne kładziemy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D_0}}\). Należy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D_0}\in\mathbb{B}}\), czyli, że jest dobrym porządkiem na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\). No niestety, tego chyba nie uprościmy, to trzeba pokazać, ale teraz może nie będę się trudził (mam to gdzieś zapisane). Łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D_0}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest łańcuchem w \(\displaystyle{ \mathbb{D}\supset \mathbb{B}}\). Ponieważ również \(\displaystyle{ \mathbb{D_0} \neq \left\{ \right\}}\), to ponieważ wiemy, że w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{D},\preccurlyeq\right) }\) każdy niepusty łańcuch posiada supremum (którym dla łańcucha jest jego suma), to \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D_0}= \bigvee\mathbb{D_0}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D_0}\in\mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ \bigvee \mathbb{D_0}\in\mathbb{B}}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigvee _{\mathbb{D}} \mathbb{D_0}=\bigvee _{\mathbb{B}} \mathbb{D_0}}\), więc w szczególności \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D_0}= \bigvee _{\mathbb{B}}\mathbb{D_0}}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ \mathbb {D_0}}\)- tego łańcucha. Z dowolności wyboru tego łańcucha otrzymujemy, że każdy łańcuch w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\preccurlyeq\right) }\) ma ograniczenie górne.

Stosując Lemat Zorna otrzymujemy element maksymalny \(\displaystyle{ \le}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Jeśli ten porządek jest określony na całym zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to ten dobry porządek świadczy o tym, że zbiór \(\displaystyle{ X}\) da się dobrze uporządkować. Pozostaje zatem przyjąć, że tak nie jest, czyli, ze jest określony na pewnym zbiorze \(\displaystyle{ A\subsetneq X}\). Istnieje wtedy element \(\displaystyle{ x\in X}\) spoza zbioru \(\displaystyle{ A}\). A wtedy zbiór \(\displaystyle{ A \cup \left\{ x\right\}}\) z porządkiem takim, że do zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( A, \le\right)}\) dodajemy jeden element \(\displaystyle{ x}\) jako największy jest dobrze uporządkowany, gdyż \(\displaystyle{ A}\) był dobrze uporządkowany, po dodaniu jednego elementu jako największego będzie dalej dobrze uporządkowany, podzbiór zbioru \(\displaystyle{ X}\) dobrze uporządkowany, zatem ten dobry porządek należy do rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) wszystkich dobrych porządków na podzbiorach. Jest różny od \(\displaystyle{ \le}\), i jest od niego większy, gdyż jest jego rozszerzeniem, przez dodanie jednego elementu \(\displaystyle{ x}\) większego od wszystkich zastanych. A \(\displaystyle{ \le}\) był elementem maksymalnym, więc nie ma w \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) od niego elementów silnie większych. Otrzymaliśmy więc sprzeczność, która kończy rozumowanie. \(\displaystyle{ \square }\) :lol:

Chyba dobrze :?:

:lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Trzy porządki (nieliniowe) na liniowych porządkach, supremum łańcuchów

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem przedwczoraj (i wczoraj), że jeśli mamy łańcuch porządków ciągłych względem rozszerzenia przez dodanie elementów większych to jego suma jest iniowym porządkiem ciągłym, i jest to supremum tego łańcucha porządków ciągłych. Warunek ten da się narysować ( zrobiłem rysunek i chętnie bym zamieścił, ale niestety nie mogę trzeciego odnośnika dać, a rysunku też chyba nie, nie można określić wymiarów obrazka, więc chyba nie da rady, niestety).

Ja się szczególnie cieszę, gdyż dwa tygodnie temu się zniechęciłem, a kilka dni temu widząc rysunek ten (chyba) uznałem, że to za trudne. Jednak w czwartek wieczorem przypomniałem sobie o tym ciekawym problemie i uwierzyłem, że uda się to udowodnić. Nie było łatwo trzeba było zastosować warunek rozszerzenia liniowego porządku przez dodanie elementów większych w mniej oczywistej formie, nie było łatwo, ale się udało. :) Wczoraj też udowodniłem podobny fakt odnośnie rozszerzenia przez dodanie elementów mniejszych. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów:

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną wszystkich porządków liniowych na pewnych podzbiorach \(\displaystyle{ Y\subset X}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) rodziną

\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ R\subset X \times X\Bigl| \ \ R \hbox{ jest porządkiem ciągłym na pewnym zbiorze } Y\subset X\right\}.}\)

rodziną wszystkich porządków ciągłych na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\) (porządek ciągły jest liniowy). Ponieważ wiemy, że relacja \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{B},}\) czyli rozszerzenie przez dodanie elementów większych jest relacją porządku na \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), a więc \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\sqsubseteq\right)}\) jest zbiorem uporządkowanym, więc również jego podzbiór \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A},\sqsubseteq\right) }\) jest zbiorem uporządkowanym.

Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{D}\subset \mathbb{A}}\) będzie niepustym łańcuchem. Pokażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\) jest porządkiem ciągłym.
Pokażmy najpierw, że \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem inkluzji \(\displaystyle{ \subseteq}\) . Aby to pokazać, to niech \(\displaystyle{ S_1,S_2\in\mathbb{D}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq,}\) więc \(\displaystyle{ S_1\sqsubseteq S_2}\) lub \(\displaystyle{ S_2\sqsubseteq S_1.}\) A zatem \(\displaystyle{ S_2}\) rozszerza \(\displaystyle{ S_1}\) lub \(\displaystyle{ S_1}\) rozszerza \(\displaystyle{ S_2.}\) A zatem \(\displaystyle{ S_2\supset S_1}\) lub \(\displaystyle{ S_1\supset S_2.}\) A więc \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem inkluzji (czyli rozszerzenia).
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem relacji rozszerzenia złożonym z porządków ciągłych, a więc i gęstych, więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}}\) jest porządkiem gęstym, na mocy faktu który udowodniłem tutaj (dowód poniżej odnośnie porządków ciągłych jest prawdopodobnie błędny, ale ten powyżej z gęstymi porządkami jest poprawny, nie mam wątpliwości, sprawdziłem).

Jeśli \(\displaystyle{ X _{ \bigcup \mathbb{D}}}\)(czyli zbiór na którym jest określony porządek \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\)) ma co najwyżej jeden
element, to \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\) jest porządkiem ciągłym. Możemy więc założyć, że zbiór \(\displaystyle{ X _{ \bigcup \mathbb{D}}}\) ma co najmniej dwa elementy. A zatem w tym zbiorze istnieją przekroje Dedekinda. Przypuśćmy, nie wprost, że \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D} }\) nie jest ciągła, wtedy nie jest prawdą, że żaden przekrój nie daje luki, (i istnieją przekroje Dedekinda), więc otrzymujemy, że istnieje przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\), który daje lukę. Wtedy zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są niepuste, więc wyciąnijmy pewne elementy \(\displaystyle{ x\in A, y\in B.}\) Ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), a więc \(\displaystyle{ x<y.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \le = \bigcup\mathbb{D}}\), więc otrzymujemy \(\displaystyle{ x \le _0 y}\), gdzie \(\displaystyle{ \le _0 \in \mathbb{D}}\), wtedy \(\displaystyle{ x,y \in X _{ \le _0}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \le = \bigcup\mathbb{D}\supset \left( \le _0 \right)}\), więc porządek \(\displaystyle{ \le}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ \le _0}\), mamy \(\displaystyle{ x\in A \cap X _{ \le _0}, y\in B \cap X _{ \le _0}}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X _{ \bigcup \mathbb{D}}}\), ( i zbiory \(\displaystyle{ A \cap X_ { \le _0}, B \cap X _{ \le _0}}\) są niepuste ) więc na mocy faktu, który udowodniłem w tym samym linku (na samym końcu, w ukrytej treści ) para zbiorów \(\displaystyle{ \left( A \cap X _{ \le _0} , B \cap X _{ \le _0} \right) }\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X _{ \le _0} .}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \le _0 \in \mathbb{D}}\) jest porządkiem ciągłym, to przekrój ten nie daje luki. Tzn. w \(\displaystyle{ A \cap X_{ \le _0}}\) jest element największy lub w \(\displaystyle{ B \cap X_{ \le _0}}\) jest element najmniejszy.

Jeśli \(\displaystyle{ a\in A \cap X _{ \le _0}}\) jest elementem największym, to \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \le .}\)
Istotnie mamy \(\displaystyle{ a\in A}\). Weźmy \(\displaystyle{ b\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ a\ge b}\). Przypuśćmy, nie wprost, że \(\displaystyle{ a<b.}\) Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ \le = \bigcup \mathbb{D}}\), to \(\displaystyle{ a \le _1 b}\), gdzie \(\displaystyle{ \le _1\in \mathbb{D}}\). Jeśli \(\displaystyle{ b\in X _{ \le _0}}\), to \(\displaystyle{ b\in A \cap X_{ \le _0}}\), ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A \cap X _{ \le _0}}\), to \(\displaystyle{ b\le _0 a}\), ponieważ \(\displaystyle{ \le _0 \in \mathbb{D}}\), \(\displaystyle{ \le = \bigcup \mathbb{D} }\) to tym bardziej \(\displaystyle{ b \le a}\)- i otrzymujemy sprzeczność. Jeśli \(\displaystyle{ b\not\in X _{ \le _0}}\), to \(\displaystyle{ b\in A \setminus X _{ \le _0} }\), poniewąz \(\displaystyle{ \le_1, \le _0 \in \mathbb{D}}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), więc \(\displaystyle{ (\le _1 ) \sqsubseteq ( \le _0)}\) lub
\(\displaystyle{ (\le _0 ) \sqsubseteq ( \le _1).}\) Jeśli byłoby \(\displaystyle{ (\le _1)\sqsubseteq ( \le _0) }\), to porządek \(\displaystyle{ \le _0}\) rozszerzałby \(\displaystyle{ \le _1}\), a zatem \(\displaystyle{ X _{ \le _0} \supset X _{ \le _1} \ni b}\), a zatem \(\displaystyle{ b\in X _{ \le _0}}\) i otrzymujemy sprzeczność. Więc pozostaje możliwość \(\displaystyle{ \left( \le _0\right) \sqsubseteq \left( \le _{1}\right) }\). Niech \(\displaystyle{ c\in B \cap X _{ \le _0} \neq \left\{ \right\}}\), wtedy \(\displaystyle{ c\in X _{ \le _0}, b\in X _{ \le _1}, b\not\in X _{ \le _0}}\) , stosując zatem drugą cżęść definicji rozszerzenia przez dodanie elementów większych, wnioskujemy, że \(\displaystyle{ c \le _1 b}\), a zatem tym bardziej (\(\displaystyle{ \le = \bigcup \mathbb{D}, \le_1\in\mathbb{D}}\)): \(\displaystyle{ c \le b}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in A, c\in B \cap X _{ \le _0}}\), skąd \(\displaystyle{ c\in B}\), ponieważ para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) tworzy przekrój Dedekinda, więc każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ b<c}\)-sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \le}\) , a zatem przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daje luki- i otrzymujemy sprzeczność.

Jeśli w \(\displaystyle{ B \cap X _{ \le _0}}\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ b\in B \cap X _{ \le _0}}\), to \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B}\) względem \(\displaystyle{ \le}\) .
Istotnie, mamy \(\displaystyle{ b\in B}\). Weżmy \(\displaystyle{ a\in B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \le a}\). Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ b>a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a \le _1 b}\), gdzie \(\displaystyle{ \le _1\in \mathbb{D} .}\) Jeśli \(\displaystyle{ a\in X _{ \le _0}}\), to \(\displaystyle{ a\in B \cap X _{ \le _0}}\) , ponieważ \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B \cap X _{ \le _0} }\) ,więc \(\displaystyle{ b \le _0 a}\), a więc tym bardziej ( \(\displaystyle{ \le = \bigcup \mathbb{D}}\)) , \(\displaystyle{ b \le a}\), i otrzymujemy sprzeczność. Zatem \(\displaystyle{ a\not\in X _{ \le _0}}\), ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\), więc \(\displaystyle{ (\le _0 ) \sqsubseteq \left( \le _1\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left( \le _1\right) \sqsubseteq \left( \le_0\right) .}\) Jeśli \(\displaystyle{ (\le _1) \sqsubseteq ( \le _0)}\), to porządek \(\displaystyle{ \le _0}\) rozszerzałby porządek \(\displaystyle{ \le _1}\), a wtedy \(\displaystyle{ a\in X _{ \le _1} \subset X _{ \le _0}}\) , a więc \(\displaystyle{ a\in X _{ \le _0}}\)- i otrzymujemy sprzeczność. Wobec czego pozostaje możliwość \(\displaystyle{ (\le _0 ) \sqsubseteq \left( \le _1\right).}\) Mamy \(\displaystyle{ a\in X _{ \le _1}, b\in X _{ \le _0} , a\not\in X _{ \le _0} }\), stosując definicję \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ b \le _1 a}\), a zatem \(\displaystyle{ b \le a}\)( \(\displaystyle{ \le = \bigcup \mathbb{D}, \le _1 \in \mathbb{D}}\)), a mamy \(\displaystyle{ b>a}\)-sprzeczność.
Wobec czego element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B}\), i przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daje luki- sprzeczność.

A więc \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\) jest porządkiem ciągłym. \(\displaystyle{ \square}\) :lol:

Jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{D}\subset \mathbb{A}}\) jest niepustym łańcuchem, to wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\sqsubseteq\right) }\) ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}=\bigvee\limits_{\left( \mathbb{B},\sqsubseteq\right) } \mathbb{D}}\), czyli ta suma rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest jej supremum względem zbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\sqsubseteq\right) }\), a ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\) jest ciągła, więc \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D} \in \mathbb{A}}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}= \bigvee\limits_{\left( \mathbb{A},\sqsubseteq \right) }\mathbb{D}. \square}\)

Wykażemy teraz, że (zachowując oznaczenia rodzin \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\)), i jeśli przez \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) oznaczymy relację rozszerzenia przez dodanie elementów mniejszych, wiemy, że \(\displaystyle{ \left(\mathbb{B} ,\succcurlyeq \right)}\) jest zbiorem uporządkowanym, zatem ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\), więc \(\displaystyle{ \left( \mathbb{A},\succcurlyeq\right)}\) również jest zbiorem uporządkowanym, wykażemy, że jeśli weźmiemy dowolny niepusty łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset \mathbb{A}}\), to \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\) jest porządkiem ciągłym, i jest to supremum tego łańcucha porządków ciągłych.

Może i można analogicznie, ale gdzie by mi się chciało, to zbyt żmudne, zrobimy to prościej (i ciekawiej):

Dowód:

Rozważmy nową rodzinę zbiorów:

\(\displaystyle{ \mathbb{D}'=\left\{ R ^{-1}\Bigl| \ R\in \mathbb{D} \right\},}\)

złożoną z porządków odwrotnych do porządków z \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\). Jeśli \(\displaystyle{ R\in \mathbb{D}}\), to \(\displaystyle{ R\in \mathbb{A},}\) zatem jest to porządek ciągły, zatem również porządek odwrotny \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest ciągłym, gdyż porządek odwrotny do ciągłego jest ciągły, co udowodniłem tutaj, na końcu. Otrzymujemy zatem, że \(\displaystyle{ \mathbb{D}'}\) jest rodziną porządków ciągłych. Wykażemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\)' jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\). Dowód wynika z prawa, że dla dwóch liniowych porządków \(\displaystyle{ R,S\in \mathbb{B}}\), mamy:

\(\displaystyle{ R\succcurlyeq S \Longleftrightarrow R ^{-1} \sqsubseteq S^{-1},}\)

co oznacza, że jeśli mamy między liniowymi porządkami \(\displaystyle{ R}\) a \(\displaystyle{ S}\) mamy rozszerzenie przez dodanie elementów mniejszych, to na odpowiadających porządkach odwrotnych mamy rozszerzenie przez dodanie elementów większych (i na odwrót).

Dowód tej intuicyjnie oczywistej zależności przedstawiłem w pierwszym podanym linku.

Wykażemy zatem, że zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{D}'}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq.}\)
Niech \(\displaystyle{ S_1,S_2\in \mathbb{D}'.}\) Wtedy \(\displaystyle{ S_1=R_1 ^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ R_1 \in \mathbb{D},}\) oraz \(\displaystyle{ S_2=R_2 ^{-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ R_2 \in \mathbb{D}}\). Poniewąż \(\displaystyle{ R_1,R_2\in \mathbb{D}}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\), więc \(\displaystyle{ R_1\succcurlyeq R_2}\) lub \(\displaystyle{ R_2\succcurlyeq R_1.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ R_1\succcurlyeq R_2}\), to na mocy przytoczonego prawa \(\displaystyle{ S_1=R_1 ^{-1} \sqsubseteq R_2 ^{-1}=S_2. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ R_2\succcurlyeq R_1}\), to podobnie \(\displaystyle{ S_2\sqsubseteq S_1.}\)

A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{D}'}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ \sqsubseteq.}\) Zatem dla takiego łańcucha porządków ciągłych względem rozszerzenia przez dodanie elementów większych, na mocy udowodnionego powyżej twierdzenia (o długim dowodzie) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}' }\) jest porządkiem ciągłym.Ale
\(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}'= \bigcup_{R\in \mathbb{D}} R^{-1}= \left( \bigcup \mathbb{D}\right) ^{-1}}\), gdzie pierwsza równość wynika z określenia rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}'}\), a następna z prostego prawa odnośnie relacji odwrotnej do sumy rodziny relacji. A zatem \(\displaystyle{ (\bigcup \mathbb{D}) ^{-1}}\) jest porządkiem ciągłym, więc również \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}= \left( \left( \bigcup \mathbb{D}\right) ^{-1} \right) ^{-1} }\) jest porządkiem ciągłym.\(\displaystyle{ \square}\)

I fakt ze supremum pozostał nam do wykazania.

Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{D} \subset \mathbb{A} }\) będzie łańcuchem. Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest łańcuchem też w \(\displaystyle{ \mathbb{B} }\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}= \bigvee\limits_{\left( \mathbb{B}, \succcurlyeq\right) } \mathbb{D}}\), czyli suma rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest jej supremum, względem zbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B},\succcurlyeq\right)}\) , ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}}\) jest porządkiem ciągłym (z powyższego dowodu), więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{D}\in\mathbb{A}}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{D}= \bigvee\limits_{\left( \mathbb{B}, \succcurlyeq\right) } \mathbb{D}=\bigvee\limits_{\left( \mathbb{A}, \succcurlyeq\right) } \mathbb{D}.\square}\) :lol: :D

Warunek ten też da się narysować.
ODPOWIEDZ