Zmiennokątowe układy współrzędnych

Projekty i prace naukowe i badawcze. Nowatorskie idee matematyczne. Literatura specjalistyczna.
wolar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 24 maja 2017, o 07:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osiecznica
Podziękował: 3 razy

Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: wolar » 15 sie 2020, o 12:58

Jakiś czas temu (ok. 3 lat) pomagając swoim uczniom w zrozumieniu funkcji liniowych zainteresował mnie problem: jak będą przebiegały wykresy funkcji jeśli jedną z osi OX lub OY obrócimy o dowolny kąt a co jeśli obie osie będą miały zmieniony kąt względem układu prostokątnego.
Efektem tych przemyśleń jest kawałek matematyki, którą nazwałem "Zmiennokątowe układy współrzędnych".
Zawiera on rozważania na temat przebiegu wykresu funkcji gdy układ współrzędnych nie jest prostokątny.
Odpowiada na pytanie czy wykres dowolnej funkcji będzie taki sam jak dla układu prostokątnego.
W tej "mojej" matematyce prostokątny układ współrzędnych jest szczególnym przypadkiem.
Zawiera też ciekawą rzecz (tutaj nieujawnioną), mianowicie punkt i funkcja liniowa posiadają dwa wykresy równoległe do siebie czego nie posiada funkcja kwadratowa gdyż jej ramiona są symetryczne względem siebie.
Posiada 3 działy: ruchoma oś OX, ruchoma oś OY oraz ruchome osie OX i OY.
Nie jestem do końca pewien czy to co wymyśliłem jest oryginalne czy też ktoś już przede mną opracował. Przeszukując dostępną mi literaturę oraz internet nie znalazłem nic co pod względem matematycznym by to przypominało. Nie wiem też jaka jest wartość matematyczna.
W maju 2017 roku zapisałem to na serwerze "vixra.org". Jednego działu nie zamieściłem bo system dopuszcza 2
Linki do tej matematyki też pochodzą z tej strony.
http://vixra.org/pdf/1705.0399v1.pdf

Andrzej Pęczkowski

wolar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 24 maja 2017, o 07:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osiecznica
Podziękował: 3 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: wolar » 15 sie 2020, o 13:00


wolar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 24 maja 2017, o 07:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osiecznica
Podziękował: 3 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: wolar » 15 sie 2020, o 13:01


a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18801
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3180 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: a4karo » 15 sie 2020, o 13:29

Napisz to wszystko w Latexu, jeżeli chcesz, żeby ktoś się na poważnie tym zainteresował

wolar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 24 maja 2017, o 07:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osiecznica
Podziękował: 3 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: wolar » 16 sie 2020, o 08:00

Nie znam Latexu. A obawiam się, że może nie być możliwości rysowania układu współrzędnych nieprostokątnych.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3613
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 672 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: AiDi » 16 sie 2020, o 08:34

Jest możliwość rysowania wszystkiego (z pakietem TikZ), tylko trochę to może zająć. Pisania w Wordzie nie polecam, bo większość matematyków (i fizyków) patrzy na to krzywo.
Czy ktoś to przed Tobą opracował? Czy opublikował? Jest to moim zdaniem możliwe, bo temat układów ukośnokątnych gdzieś tam się przewija w literaturze, ale nie jest mocno eksplorowany jako nieprzydatny. Np. Andrzej Szymacha w swoich wykładach z mechaniki próbując wyprowadzić transformacje między dwoma układami współrzędnych bez użycia trygonometrii zaczyna rozważania od układów ukośnokątnych, ale szybko przechodzi do prostokątnych, bo dla fizyka te pierwsze są nieprzydatne. Zresztą matematycy też preferują bazy ortogonalne. Sam się z 10 lat temu bawiłem układami ukośnokątnymi, ale tylko na papierze. Na wykładzie z geometrii różniczkowej układ ukośnokątny się pojawił po to, żeby było łatwo zdefiniować dowolną prostą jako rozmaitość. Ale też nic głębokiego z tego nie wynikało.
Myślę jednak, że z punktu widzenia matematyki szkolnej temat może być ciekawy i warty omówienia na jakichś zajęciach dodatkowych.

wolar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 24 maja 2017, o 07:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osiecznica
Podziękował: 3 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: wolar » 16 sie 2020, o 10:15

Dzięki za opinię.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3613
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 672 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: AiDi » 16 sie 2020, o 10:59

Jeśli jesteś związany ze szkołą, to myślę, że możesz się odezwać do jakichś czasopism dla nauczycieli matematyki :wink: Może podchwyciliby temat.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9336
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2046 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: Dasio11 » 16 sie 2020, o 22:25

Jeśli tekst ma być o matematyce, a tym bardziej: jeśli tekst będą czytać uczniowie matematyki, to moim zdaniem należałoby mocno popracować nad precyzją sformułowań. A na oko niejasnych jest - również moim zdaniem - większość pojawiających się w tekście tez i definicji.

Z pierwszego linka:
Układem współrzędnych \(\displaystyle{ \text{OX}_1\text{Y}_1}\) o zmiennym kącie osi \(\displaystyle{ \text{OY}_1}\) względem osi \(\displaystyle{ \text{OX}_1}\) nazywamy taki układ, w którym oś \(\displaystyle{ \text{OY}_1}\) przecina oś \(\displaystyle{ \text{OX}_1}\) pod dowolnym kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) zawartym między dodatnią półosią \(\displaystyle{ \text{OY}_1}\) a dodatnią półosią \(\displaystyle{ \text{OX}_1}\).
W matematyce układ współrzędnych to sposób przypisywania punktom na płaszczyźnie (lub na prostej, w przestrzeni itd.) liczb rzeczywistych, nazywanych współrzędnymi tego punktu. Na przykład: w zwyczajnym, kartezjańskim układzie współrzędnych mamy dwie prostopadłe osie, nazywane osią rzędnych (\(\displaystyle{ \text{OY}}\)) i osią odciętych (\(\displaystyle{ \text{OX}}\)), a punkty każdej z tych osi opisane są liczbami rzeczywistymi. Jeśli teraz \(\displaystyle{ p}\) jest dowolnym punktem na płaszczyźnie, to jego współrzędną \(\displaystyle{ x}\) odczytuje się w rzucie prostopadłym tego punktu na oś \(\displaystyle{ \text{OX}}\), a współrzędną \(\displaystyle{ y}\) w rzucie prostopadłym na oś \(\displaystyle{ \text{OY}}\).

Ty zaś wprowadzając swój autorski układ współrzędnych opisujesz tylko położenie osi, ale nie określasz nigdzie sposobu przypisywania punktom na płaszczyźnie liczb rzeczywistych. Na dobrą sprawę nie wiadomo więc, co w układzie zmiennokątowym oznacza zwrot "współrzędne punktu".

Co więcej, dalsza lektura - a szczególnie wzory \(\displaystyle{ x_1 = x, y_1 \sin \alpha = y}\) - każą przypuszczać, że owo (niezdefiniowane nigdzie) przypisanie punktom ich współrzędnych jest w istocie takie samo, jak w zwykłym układzie kartezjańskim, tyle że z gęstszą podziałką na osi \(\displaystyle{ \text{OY}}\). W związku z tym ukośny przebieg osi zdaje się nie tylko nieistotny dla sposobu obliczania współrzędnych - czyli czegoś co ten układ już w pełni charakteryzuje - ale wręcz niepotrzebny i mylący. Jeśli jednak źle interpretuję podane wyżej wzory, a ukośność osi jednak jest potrzebna, to proszę o sprostowanie.


Jeszcze o opisie towarzyszącym wspomnianym wzorom:
\(\displaystyle{ x_1 = x \qquad y_1 \sin \alpha = y}\)

\(\displaystyle{ x, y}\) - dowolne liczby
\(\displaystyle{ x_1, y_1}\) - wartości liczbowe w układzie \(\displaystyle{ \text{OX}_1\text{Y}_1}\) liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)
Nie ma czegoś takiego jak "wartości liczbowe w układzie \(\displaystyle{ \text{OX}_1\text{Y}_1}\) liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)". Wartość liczby zawsze jest tożsama z tą liczbą i nie zależy od żadnego układu współrzędnych. Zgaduję, że chciałeś opisać zależność między zwyczajnymi współrzędnymi dowolnego punktu a jego współrzędnymi w nowym układzie. W takim razie proponowałbym raczej opis podobny do poniższego:
Związek między współrzędnymi dowolnego punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych i jego współrzędnymi w układzie zmiennokątowym wyraża się wzorami

\(\displaystyle{ x_1 = x \qquad y_1 \sin \alpha = y}\)

\(\displaystyle{ x, y}\) - współrzędne punktu w układzie kartezjańskim
\(\displaystyle{ x_1, y_1}\) - współrzędne punktu w układzie zmiennokątowym

Dalej:
Dowolny punkt \(\displaystyle{ A(x, y)}\) opisany równaniem \(\displaystyle{ y=ax}\) w tym układzie będzie opisany równaniem \(\displaystyle{ y_1 \sin \alpha = ax_1}\)
To nie ma sensu - równanie* \(\displaystyle{ y=ax}\) nie opisuje punktu, tylko prostą. Punkt zaś opisany jest parą jego współrzędnych \(\displaystyle{ (x, y)}\) (plus informacja w którym układzie te współrzędne).

*interpretowane zwyczajowo tak, że \(\displaystyle{ x, y}\) są zmienne, a \(\displaystyle{ a}\) jest parametrem.

Przeniesienie punktu \(\displaystyle{ A_1(x_1, y_1)}\) z układu [...]

\(\displaystyle{ y_1 \sin \alpha_1 = ax_1}\)
Wyliczenie jest niejasne - czym jest \(\displaystyle{ a}\)? Znów: dowolny punkt opisany jest przez swoje współrzędne \(\displaystyle{ (x, y)}\) w którymkolwiek układzie, a nie przez równanie \(\displaystyle{ y=ax}\), więc nie może tu być żadnej liczby \(\displaystyle{ a}\) dopóki nie zostanie jakoś zdefiniowana.

Mając dwie dowolne liczby \(\displaystyle{ x = 2, y = 3}\) przenieś do układu współrzędnych...
Skoro podane są wartości tych liczb, to nie są dowolne, tylko konkretne. Poza tym - nie ma sensu przenoszenie liczb do nowego układu współrzędnych, bo układ to sposób opisywania punktów, a nie liczb. Sens ma zatem przenoszenie punktu o podanych współrzędnych kartezjańskich do nowego układu.

Narysuj prostą będącą rozwiązaniem funkcji liniowej ogólnej \(\displaystyle{ y=2x+1}\) w układzie...
Niezręczne sformułowanie - co to znaczy "rozwiązanie funkcji liniowej" i czym w ogóle jest "funkcja liniowa ogólna"? W drugiej kwestii jeśli chodzi o to, że prosta jest określona równaniem w postaci ogólnej, to jest to błąd, bo akurat jest to równanie w postaci kierunkowej, a nie ogólnej. W pierwszej kwestii zaś: znów po lekturze rozwiązania mogę się tylko domyślać, że chodziło nie o rozwiązywanie czegokolwiek, tylko o wyprowadzenie w nowych współrzędnych wzoru prostej, która w starych współrzędnych jest opisana równaniem \(\displaystyle{ y=2x+1}\). Zresztą zgodnie z poleceniem trzeba tę prostą tylko narysować, zatem nie trzeba nic wcale obliczać, bo prosta jest taka sama bez względu na to, w jakich współrzędnych wyrażony jest jej wzór.

Wreszcie: w tekście zdajesz się nie odróżniać funkcji liniowej - która jest przyporządkowaniem między liczbami rzeczywistymi - od prostej - która jest podzbiorem płaszczyzny. Prosta jest wykresem funkcji liniowej, ale nie jest funkcją liniową (choć w matematyce akademickiej czasami się je utożsamia). Funkcja liniowa nie zależy od żadnego układu współrzędnych, bo sama w sobie nie ma nic wspólnego z płaszczyzną. Z kolei prosta jako podzbiór płaszczyzny jest opisana równaniem, które z natury musi być wyrażone w jakimś układzie współrzędnych, i to równanie oczywiście od układu zależy. Wszelkie zatem polecenia dotyczące obliczania nowych współrzędnych powinny dotyczyć nie funkcji liniowej, tylko pewnej prostej. Tą prostą może ewentualnie być wykres jakiejś funkcji liniowej, choć najpewniej owa funkcja będzie i tak nieistotna dla zadania, dlatego najsensowniej w poleceniu nic o funkcji nie wspominać.


W tym miejscu przestałem czytać, więc niewykluczone że dalej jest wszystko dobrze - niemniej do tego momentu niestety wygląda na to, że prawie wszystko jest do poprawy.


Powyżej oceniałem kwestię przedstawienia materiału. Z kolei w sprawie wartości merytorycznej pozwól, że zapytam ostrożnie: czy jest w Twojej pracy jakikolwiek problem, którego nie rozwiązuje natychmiast podstawienie \(\displaystyle{ y := y_1 \sin \alpha}\)?

wolar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 24 maja 2017, o 07:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Osiecznica
Podziękował: 3 razy

Re: Zmiennokątowe układy współrzędnych

Post autor: wolar » 17 sie 2020, o 07:23

Dzięki za uwagi i czas mi poświęcony.
Trudno mi dyskutować z matematykiem bo ja nim nie jestem. A to, że nie jestem rodzi błędy definicyjne i merytoryczne.
Dodam tylko, że pisząc to zadałem sobie problem: jak będą wyglądały przebiegi funkcji jeśli osie rzędna i odcięta będą "przecinać się" pod kątem innym niż 90 stopni. Oraz czy jest możliwe aby ich przebiegi były zgodne z układem prostokątnym.

ODPOWIEDZ