Wzory dotyczą zegarów o tarczy 12- godzinnej
1.Wzory zegarowe(wskazówkowe)-równania ruchu wskazówek dla modelu zegara rzeczywistego:
Wzory na kąty \(\displaystyle{ A,B,C}\) zataczane, odpowiednio,przez wskazówki godzinową, minutową, sekundową w zależności od godzin h, minut m, sekund s;
Wzory dla następującego modelu zegara rzeczywistego: zegar "chodzi" z dokładnością\(\displaystyle{ "\pm" p}\) sek. na dobę(zwykle \(\displaystyle{ p}\) zawiera się od \(\displaystyle{ -25}\) do \(\displaystyle{ +25}\) s);wskazówki poruszają się ruchem skokowym; kąty położenia startowego wskazówek godz.,min.,sek. wynoszą \(\displaystyle{ A_0,B_0,C_0}\);
Kąty \(\displaystyle{ A,B,C, A_0,B_0,C_0}\) liczone od godz.\(\displaystyle{ 00:00:00 lub 12:00:00 = 0 stopni}\);
oznaczmy \(\displaystyle{ r=h+ \frac{m}{60}+ \frac{s}{3600}}\)
I postać wzorów
\(\displaystyle{ A= A_{0}+ 30 r \left(1 \pm \frac{p}{86400} \right)}\);
\(\displaystyle{ B= B_{0}+ 6\left(m+ \frac{s}{60} \pm \frac{pr}{1440} \right)}\);
\(\displaystyle{ C= C _{0}+ 6\left( s \pm \frac{pr}{24} \right)}\);
\(\displaystyle{ A}\) - kąt godzinowy ; \(\displaystyle{ B}\) - kąt minutowy ; \(\displaystyle{ C}\) - kąt sekundowy ; \(\displaystyle{ h=0,1,2 \ldots 12 ; m=0,1,2 \ldots 60 ; s =0,1,2\ldots 60 ; A,B,C = 0\ldots 360}\) stopni;
\(\displaystyle{ A_0,B_0,C_0 = -360\ldots +360}\) stopni
II postać wzorów
\(\displaystyle{ A = A_{0}+ \frac{t}{120}\left( 1 \pm \frac{p}{86400} \right)}\)
\(\displaystyle{ B= B_{0}+ 0,1 \cdot t\left( 1 \pm \frac{p}{86400} \right) - h \cdot 360}\)
\(\displaystyle{ C= C _{0} +6 \cdot t\left( 1 \pm \frac{p}{86400} \right) - m \cdot 360}\)
\(\displaystyle{ t= 0,1,2,3 \ldots 43200 [s]}\);
\(\displaystyle{ h= 0,1,2, \ldots 12}\);
\(\displaystyle{ m= 0,1,2,3\ldots 720}\)
III postać wzorów
Wprowadźmy stałą k (stałą zegarową) dla zegara o tarczy 12 godzinnej
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{120}[stopni/s]}\) ;
wtedy
\(\displaystyle{ A = A_{0}+ k\cdot t\left( 1 \pm \frac{p}{86400} \right)}\)
\(\displaystyle{ B= B_{0}+ 12( A- A_{0})- h \cdot 360}\)
\(\displaystyle{ C= C _{0} +720(A- A_{0}) - m \cdot 360}\)
1.1. Wzory zegarowe(wskazówkowe)-równania ruchu wskazówek dla modelu zegara rzeczywistego dla p=0 [s]
I postać wzorów
\(\displaystyle{ A= A_{0}+ 30\left(h+ \frac{m}{60}+ \frac{s}{3600}\right) =A_{0}+ 30 r}\);
\(\displaystyle{ B= B_{0}+ 6\left(m+ \frac{s}{60} \right)}\);
\(\displaystyle{ C= C _{0}+ 6 s}\);
II postać wzorów
\(\displaystyle{ A = A_{0}+ \frac{t}{120}}\)
\(\displaystyle{ B= B_{0}+ 0,1 \cdot t - h \cdot 360}\)
\(\displaystyle{ C= C _{0} +6 \cdot t - m \cdot 360}\)
III postać wzorów
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{120}[stopni/s]}\) ;
\(\displaystyle{ A = A_{0}+ k\cdot t}\)
\(\displaystyle{ B= B_{0}+ 12( A- A_{0})- h \cdot 360}\)
\(\displaystyle{ C= C _{0} +720(A- A_{0}) - m \cdot 360}\)
2.Wzory zegarowe(wskazówkowe)-równania ruchu wskazówek dla modelu zegara idealnego (matematycznego)
Wzory dla następującego modelu zegara idealnego,matematycznego:
I wariant( preferowany) - zegar pokazuje czas idealnie,dokładnie, wskazówki poruszają się ruchem jednostajnym,położenie startowe wskazówek to godz.\(\displaystyle{ 00:00:00 lub 12:00:00 = 0 stopni}\).
II wariant modelu zegara idealnego - zegar pokazuje czas idealnie,dokładnie, wskazówki poruszają się ruchem jednostajnym, skokowym, o stałych okresach,położenie startowe wskazówek to godz.\(\displaystyle{ 00:00:00 lub 12:00:00 = 0 stopni}\).
Wzory na kąty \(\displaystyle{ A,B,C}\) zataczane przez wskazówki godzinową, minutową, sekundową w zależności od godzin h, minut m, sekund s;
Wzory dla zegara idealnego otrzymuje się ze wzorów dla zegara rzeczywistego po przyjęciu że:
\(\displaystyle{ p=0}\) [s], \(\displaystyle{ A_0=B_0=C_0=0}\) stopni
I postać wzorów
\(\displaystyle{ A=30\left(h+ \frac{m}{60}+ \frac{s}{3600}\right)=30r}\);
\(\displaystyle{ B=6\left(m+ \frac{s}{60} \right)}\);
\(\displaystyle{ C= 6s}\);
\(\displaystyle{ A}\) -kąt godzinowy ,\(\displaystyle{ B}\) - kąt minutowy ,\(\displaystyle{ C}\) - kąt sekundowy ; \(\displaystyle{ h=0,1,2 \ldots 12, m= 0,1,2 \ldots 60 , s = 0,1,2 \ldots 60 ; A,B,C = 0 \ldots 360}\) stopni ; kąty \(\displaystyle{ A,B,C}\) liczone od godz.\(\displaystyle{ 00:00:00 lub 12:00:00 = 0 stopni}\);
II postać wzorów
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{120} \cdot t}\) ;
\(\displaystyle{ B= 0,1 \cdot t - h \cdot 360}\);
\(\displaystyle{ C= 6 \cdot t - m \cdot 360}\);
\(\displaystyle{ t= 0,1,2,3 \ldots 43200}\) [s]
\(\displaystyle{ m= 0,1,2,3 \ldots 720}\)
\(\displaystyle{ h= 0,1,2, \ldots 12}\)
III postać wzorów
\(\displaystyle{ k = \frac{1}{120}[stopni/s]}\) ;
\(\displaystyle{ A = k\cdot t}\) ;
\(\displaystyle{ B =12A- h \cdot 360}\);
\(\displaystyle{ C = 720A-m \cdot 360}\);
\(\displaystyle{ t= 0,1,2,3 \ldots 43200}\) [s]
\(\displaystyle{ m= 0,1,2,3 \ldots 720}\)
\(\displaystyle{ h= 0,1,2, \ldots 12}\)
Uwagi:
1.Przyjęto najprostszy model zegara rzeczywistego zakładając \(\displaystyle{ p= \text{constans}}\);można go skomplikować uwzględniając poprawki na chód zegara w zależności od temperatury, przyspieszenia \(\displaystyle{ g}\), ciśnienia, pola magnetycznego itd. uzależniając \(\displaystyle{ p}\) od w/w wielkości; w praktyce dla rozwiązywania chyba ok.99% zadań dot. zegarów wystarczają wzory dla modelu zegara idealnego.
2.Dla II i III postaci wzorów ,dla rozwiązania niektórych zadań, nalezy brać dla wyrażeń \(\displaystyle{ - h \cdot 360}\) i \(\displaystyle{ - m \cdot 360}\); \(\displaystyle{ h}\) jako część całkowitą z \(\displaystyle{ \frac{t}{3600}}\) oraz \(\displaystyle{ m}\) z \(\displaystyle{ \frac{t}{60}}\);
zapisuje się to chyba tak:
\(\displaystyle{ - \left[ \frac{t}{3600} \right] \cdot 360}\)
\(\displaystyle{ -\left[ \frac{t}{60} \right]\cdot 360}\)
II postać wzorów dla zegara idealnego (matematycznego) byłaby:
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{120} \cdot t}\) ;
\(\displaystyle{ B= 0,1 \cdot t -\left[ \frac{t}{3600} \right] \cdot 360}\);
\(\displaystyle{ C= 6 \cdot t - \left[ \frac{t}{60} \right]\cdot 360}\);
Prawa autorskie- Zbigniew Raczoń
Komentarze
1.Uważam,że konieczne jest zdefiniowanie modelu zegara wskazówkowego idealnego ponieważ większość zadań jest rozwiązywana przy milczącym założeniu dla modelu zegara idealnego(matematycznego), którego się nie definiuje co jak praktyka dowodzi prowadzi do nieporozumień; to samo dotyczy modelu zegara rzeczywistego.
2.Mam pytanie: czy te wzory są "nowością"; stosuję je do rozwiązywania zadań od 2006r. i nie mogę ich znaleźć w literaturze; dopiero niedawno poinformowano mnie,że "... problem ewidentnie był już rozważany:
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Clock_angle_problemGeneralna uwaga jest taka,ze rozwiązywany jest problem bez zdefiniowania modelu zegara idealnego i rzeczywistego.
Zapoznałem się z tymi wzorami(dla modelu zegara idealnego oczywiście niezdefiniowanego) z wikipedii ale moje wzory są bardziej ogólne dotyczą też wskazówek sekundowych i ich wpływu na kąt godzinowy i minutowy.
Natomiast II i III postaci wzorów w ogóle tam nie ma.
Reasumując wzory z wikipedii wynikają z moich wzorów dla zegara idealnego przez pominięcie sekund( s=0), a nie na odwrót.
Odnośnie przedstawionych przeze mnie wzorów dla modelu zegara rzeczywistego to z takimi wzorami nie zetknąłem się ani w literaturze fachowej,ani w internecie.
