Matematyka.pl

Zastanówmy się czy istnieje nieskończony ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\) taki że

\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)

Postaram się Was przekonać, że takich ciągów nie może być w teorii mnogości.

Zauważmy że, zgodnie z intuicją, zbiór jest poprawnie określony gdy wiadomo z jakich elementów jest złożony. Zatem gdyby istniał taki ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\), to \(\displaystyle{ X _{0}}\) jest poprawnie utworzonym zbiorem, więc jest złożonym z pewnych elementów, jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{1}}\). Co to za zbiór? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\). Co to za zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\) ? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{3}}\)- itd. Nie możemy robić tego procesu w nieskończoność, bo nie zamkniemy określenia elementów tych że zbiorów. Zatem takich ciągów nie ma

Przytoczmy aksjomat regularności

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodziną zbiorów to istnieje \(\displaystyle{ y\in x}\) że \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\)

Tak, nie widać tego. Jednak uzasadniłem że nie ma nieskończonych malejących ciągów zbiorów. Pokażemy że to twierdzenie implikuje aksjomat regularności. To uzasadni aksjomat regularności, o ile wierzymy że takich ciągów nieskończonych nie ma ( do czego próbowałem Was przekonać)

Dowód

Twierdzenie że nie ma nieskończonych ciągów zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\) takich że

\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)

implikuje aksjomat regularności

Aby udowodnić aksjomat regularności ustalmy dowolną niepustą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ x}\)
Szukamy \(\displaystyle{ y\in x}\) aby \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\) Przypuśćmy ne wprost że

\(\displaystyle{ \hbox { dla każdego }z\in x \quad z \cap x \neq \varnothing}\) zatem

\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime} \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z \hbox{ i } z^{\prime}\in x}\) zatem

\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime}\in x \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z}\) (**)

Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodzinę zbiorów, więc istnieje \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\), więc na mocy (**) istnieje \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{1}\in z_{0}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\), więc podobnie istnieje \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{2}\in z_{1}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\), więc znowu istnieje \(\displaystyle{ z_{3}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{3}\in z_{2}}\)

Itd. Otrzymujemy zatem ciąg

\(\displaystyle{ \ldots \in z _{3}\in z _{2} \in z _{1} \in z _{0}}\)

a my założyliśmy że takich nie ma. Sprzeczność

Zatem uzasadniłem aksjomat regularności
Przy pomocy aksjomatu regularności udowodniono że nie ma takich nieskończonych ciągów zbiorów. My udowodniliśmy twierdzenie odwrotne.
Zatem aksjomat regularności jest równoważnym innym sformułowaniem że takich ciągów nieskończonych nie ma. A do tego Was chyba przekonałem

To jest Lemat 1 .

Aksjomat regularności niesie za sobą trzy bardzo ciekawe konsekwencje

Mówi że nie może się zdarzyć dla zbioru \(\displaystyle{ X}\) aby \(\displaystyle{ X\in X}\), że nie może się zdarzyć dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) aby jednocześnie \(\displaystyle{ A\in B \hbox{ i } B\in A}\)

Oraz że nie może się zdarzyć dla zbiorów aby \(\displaystyle{ X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n}\in X_{1}}\)

Jest to twierdzenie zgodne z moją intuicją, gdyż np. uzasadniając pierwsze że nie może być aby \(\displaystyle{ X\in X}\), to jeśli zbiór \(\displaystyle{ X\in Y}\) to zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest bardziej złożonym zbiorem od zbioru \(\displaystyle{ X}\), jest to nowy zbiór, a więc \(\displaystyle{ Y}\) nie jest tym samym zbiorem co zbiór \(\displaystyle{ X}\)

Formalnie, dla dowolnych zbiorów:

(1) \(\displaystyle{ X\not\in X}\)

(2) \(\displaystyle{ A\in B \rightarrow B\not\in A}\) i ogólniej

(3) \(\displaystyle{ X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n} \rightarrow X_{n} \not\in X_{1} \hbox{ gdzie } n \ge 2}\)

Dowód

(1) Przypuśćmy że \(\displaystyle{ X\in X}\)

Rozważmy \(\displaystyle{ \left\{ X\right\}}\) i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności

\(\displaystyle{ \left\{ X\right\}}\) jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X\right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X\right\}=\varnothing}\)

Zatem musi być \(\displaystyle{ Y=X}\), czyli podstawiając otrzymujemy że \(\displaystyle{ X \cap \left\{ X\right\}=\varnothing}\)

Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ X\in X}\) to \(\displaystyle{ X\in X \cap \left\{ X\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność

(2) Przypuśćmy że \(\displaystyle{ A\in B \hbox{ i } B\in A}\)

Rozważmy \(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\) i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności

\(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\) jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ A, B\right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)

Jeśli \(\displaystyle{ Y=A}\) to \(\displaystyle{ A \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)

Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ B\in A}\) to \(\displaystyle{ B\in A \cap \left\{ A, B\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność

W przeciwnym przypadku mamy \(\displaystyle{ Y=B}\), zatem \(\displaystyle{ B \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)

Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ A\in B}\) to \(\displaystyle{ A\in B \cap \left\{ A, B\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność

Wszystkie przypadki prowadzą do sprzeczności, a więc własność (2) została udowodniona

Dowód własności (3) napiszę później

Własność (1) pozwala w szybki sposób udowodnić że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów

Bowiem gdyby taki zbiór istniał, to on sam też byłby zbiorem

Zbiór wszystkich zbiorów sam też jest zbiorem, musi być więc elementem własnym, a tak być nie może



PróbaCzas udowodnić własność \(\displaystyle{ 3}\). Zapiszmy ją porządniej

Dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}}\)

(3) \(\displaystyle{ \left( \forall_{0<m<n} \quad X_{m}\in X_{m+1}\right) \rightarrow X_{n} \not\in X_{1}}\)

Dowód (3)

Przypuśćmy, że dla zbiorów \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \left( \forall_{0<i<n} \quad X_{i}\in X_{i+1}\right) \hbox { oraz } X_{n} \in X_{1}}\)

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) i zastosujmy do niego aksjomat regularności

Otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}= \varnothing}\)

Jeśli \(\displaystyle{ Y=X_{1}}\), to ponieważ \(\displaystyle{ X_{n}\in X_{1}}\), więc \(\displaystyle{ X_{n}\in X_{1} \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\), a więc ten iloczyn jest niepusty

Niech \(\displaystyle{ Y=X_{i} \hbox { gdzie } n \ge i \ge 2}\)

Ponieważ

\(\displaystyle{ X_{i-1}\in X_{i}}\), więc \(\displaystyle{ X_{i-1}\in X_{i} \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\), a więc ten iloczyn jest niepusty

Pokazaliśmy że każdy iloczyn \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) jest niepusty,

a więc takiego zbioru \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) aby \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}= \varnothing}\) nie ma. Sprzeczność \(\displaystyle{ \square}\)