Aksjomat regularności
: 24 maja 2016, o 02:29
Zastanówmy się czy istnieje nieskończony ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\) taki że
\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)
Postaram się Was przekonać, że takich ciągów nie może być w teorii mnogości.
Zauważmy że, zgodnie z intuicją, zbiór jest poprawnie określony gdy wiadomo z jakich elementów jest złożony. Zatem gdyby istniał taki ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\), to \(\displaystyle{ X _{0}}\) jest poprawnie utworzonym zbiorem, więc jest złożonym z pewnych elementów, jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{1}}\). Co to za zbiór? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\). Co to za zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\) ? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{3}}\)- itd. Nie możemy robić tego procesu w nieskończoność, bo nie zamkniemy określenia elementów tych że zbiorów. Zatem takich ciągów nie ma
Przytoczmy aksjomat regularności
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodziną zbiorów to istnieje \(\displaystyle{ y\in x}\) że \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\)
Tak, nie widać tego. Jednak uzasadniłem że nie ma nieskończonych malejących ciągów zbiorów. Pokażemy że to twierdzenie implikuje aksjomat regularności. To uzasadni aksjomat regularności, o ile wierzymy że takich ciągów nieskończonych nie ma ( do czego próbowałem Was przekonać)
Dowód
Twierdzenie że nie ma nieskończonych ciągów zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\) takich że
\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)
implikuje aksjomat regularności
Aby udowodnić aksjomat regularności ustalmy dowolną niepustą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ x}\)
Szukamy \(\displaystyle{ y\in x}\) aby \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\) Przypuśćmy ne wprost że
\(\displaystyle{ \hbox { dla każdego }z\in x \quad z \cap x \neq \varnothing}\) zatem
\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime} \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z \hbox{ i } z^{\prime}\in x}\) zatem
\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime}\in x \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z}\) (**)
Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodzinę zbiorów, więc istnieje \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\), więc na mocy (**) istnieje \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{1}\in z_{0}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\), więc podobnie istnieje \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{2}\in z_{1}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\), więc znowu istnieje \(\displaystyle{ z_{3}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{3}\in z_{2}}\)
Itd. Otrzymujemy zatem ciąg
\(\displaystyle{ \ldots \in z _{3}\in z _{2} \in z _{1} \in z _{0}}\)
a my założyliśmy że takich nie ma. Sprzeczność
Zatem uzasadniłem aksjomat regularności
Przy pomocy aksjomatu regularności udowodniono że nie ma takich nieskończonych ciągów zbiorów. My udowodniliśmy twierdzenie odwrotne.
Zatem aksjomat regularności jest równoważnym innym sformułowaniem że takich ciągów nieskończonych nie ma. A do tego Was chyba przekonałem
\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)
Postaram się Was przekonać, że takich ciągów nie może być w teorii mnogości.
Zauważmy że, zgodnie z intuicją, zbiór jest poprawnie określony gdy wiadomo z jakich elementów jest złożony. Zatem gdyby istniał taki ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\), to \(\displaystyle{ X _{0}}\) jest poprawnie utworzonym zbiorem, więc jest złożonym z pewnych elementów, jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{1}}\). Co to za zbiór? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\). Co to za zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\) ? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{3}}\)- itd. Nie możemy robić tego procesu w nieskończoność, bo nie zamkniemy określenia elementów tych że zbiorów. Zatem takich ciągów nie ma
Przytoczmy aksjomat regularności
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodziną zbiorów to istnieje \(\displaystyle{ y\in x}\) że \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\)
Tak, nie widać tego. Jednak uzasadniłem że nie ma nieskończonych malejących ciągów zbiorów. Pokażemy że to twierdzenie implikuje aksjomat regularności. To uzasadni aksjomat regularności, o ile wierzymy że takich ciągów nieskończonych nie ma ( do czego próbowałem Was przekonać)
Dowód
Twierdzenie że nie ma nieskończonych ciągów zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\) takich że
\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)
implikuje aksjomat regularności
Aby udowodnić aksjomat regularności ustalmy dowolną niepustą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ x}\)
Szukamy \(\displaystyle{ y\in x}\) aby \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\) Przypuśćmy ne wprost że
\(\displaystyle{ \hbox { dla każdego }z\in x \quad z \cap x \neq \varnothing}\) zatem
\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime} \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z \hbox{ i } z^{\prime}\in x}\) zatem
\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime}\in x \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z}\) (**)
Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodzinę zbiorów, więc istnieje \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\), więc na mocy (**) istnieje \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{1}\in z_{0}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\), więc podobnie istnieje \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{2}\in z_{1}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\), więc znowu istnieje \(\displaystyle{ z_{3}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{3}\in z_{2}}\)
Itd. Otrzymujemy zatem ciąg
\(\displaystyle{ \ldots \in z _{3}\in z _{2} \in z _{1} \in z _{0}}\)
a my założyliśmy że takich nie ma. Sprzeczność
Zatem uzasadniłem aksjomat regularności
Przy pomocy aksjomatu regularności udowodniono że nie ma takich nieskończonych ciągów zbiorów. My udowodniliśmy twierdzenie odwrotne.
Zatem aksjomat regularności jest równoważnym innym sformułowaniem że takich ciągów nieskończonych nie ma. A do tego Was chyba przekonałem