Zastanówmy się czy istnieje nieskończony ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\) taki że
\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)
Postaram się Was przekonać, że takich ciągów nie może być w teorii mnogości.
Zauważmy że, zgodnie z intuicją, zbiór jest poprawnie określony gdy wiadomo z jakich elementów jest złożony. Zatem gdyby istniał taki ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\), to \(\displaystyle{ X _{0}}\) jest poprawnie utworzonym zbiorem, więc jest złożonym z pewnych elementów, jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{1}}\). Co to za zbiór? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\). Co to za zbiór \(\displaystyle{ X _{2}}\) ? Jednym jego elementem jest zbiór \(\displaystyle{ X _{3}}\)- itd. Nie możemy robić tego procesu w nieskończoność, bo nie zamkniemy określenia elementów tych że zbiorów. Zatem takich ciągów nie ma
Przytoczmy aksjomat regularności
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodziną zbiorów to istnieje \(\displaystyle{ y\in x}\) że \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\)
Tak, nie widać tego. Jednak uzasadniłem że nie ma nieskończonych malejących ciągów zbiorów. Pokażemy że to twierdzenie implikuje aksjomat regularności. To uzasadni aksjomat regularności, o ile wierzymy że takich ciągów nieskończonych nie ma ( do czego próbowałem Was przekonać)
Dowód
Twierdzenie że nie ma nieskończonych ciągów zbiorów \(\displaystyle{ \left( X _{n} \right)}\) takich że
\(\displaystyle{ \ldots \in X _{3}\in X _{2} \in X _{1} \in X _{0}}\)
implikuje aksjomat regularności
Aby udowodnić aksjomat regularności ustalmy dowolną niepustą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ x}\)
Szukamy \(\displaystyle{ y\in x}\) aby \(\displaystyle{ y \cap x=\varnothing}\) Przypuśćmy ne wprost że
\(\displaystyle{ \hbox { dla każdego }z\in x \quad z \cap x \neq \varnothing}\) zatem
\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime} \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z \hbox{ i } z^{\prime}\in x}\) zatem
\(\displaystyle{ \hbox{ dla każdego } z\in x \hbox{ istnieje } z^{\prime}\in x \hbox{ że } \quad z^{\prime}\in z}\) (**)
Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest niepustą rodzinę zbiorów, więc istnieje \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{0}\in x}\), więc na mocy (**) istnieje \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{1}\in z_{0}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{1}\in x}\), więc podobnie istnieje \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{2}\in z_{1}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{2}\in x}\), więc znowu istnieje \(\displaystyle{ z_{3}\in x}\) że \(\displaystyle{ z_{3}\in z_{2}}\)
Itd. Otrzymujemy zatem ciąg
\(\displaystyle{ \ldots \in z _{3}\in z _{2} \in z _{1} \in z _{0}}\)
a my założyliśmy że takich nie ma. Sprzeczność
Zatem uzasadniłem aksjomat regularności
Przy pomocy aksjomatu regularności udowodniono że nie ma takich nieskończonych ciągów zbiorów. My udowodniliśmy twierdzenie odwrotne.
Zatem aksjomat regularności jest równoważnym innym sformułowaniem że takich ciągów nieskończonych nie ma. A do tego Was chyba przekonałem
Aksjomat regularności
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1405
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 63 razy
- Pomógł: 83 razy
Aksjomat regularności
Ostatnio zmieniony 24 maja 2016, o 17:45 przez Jakub Gurak, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Aksjomat regularności
To jest Lemat 1 .
Kod: Zaznacz cały
https://ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+foundation-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1405
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 63 razy
- Pomógł: 83 razy
Aksjomat regularności
Aksjomat regularności niesie za sobą trzy bardzo ciekawe konsekwencje
Mówi że nie może się zdarzyć dla zbioru \(\displaystyle{ X}\) aby \(\displaystyle{ X\in X}\), że nie może się zdarzyć dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) aby jednocześnie \(\displaystyle{ A\in B \hbox{ i } B\in A}\)
Oraz że nie może się zdarzyć dla zbiorów aby \(\displaystyle{ X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n}\in X_{1}}\)
Jest to twierdzenie zgodne z moją intuicją, gdyż np. uzasadniając pierwsze że nie może być aby \(\displaystyle{ X\in X}\), to jeśli zbiór \(\displaystyle{ X\in Y}\) to zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest bardziej złożonym zbiorem od zbioru \(\displaystyle{ X}\), jest to nowy zbiór, a więc \(\displaystyle{ Y}\) nie jest tym samym zbiorem co zbiór \(\displaystyle{ X}\)
Formalnie, dla dowolnych zbiorów:
(1) \(\displaystyle{ X\not\in X}\)
(2) \(\displaystyle{ A\in B \rightarrow B\not\in A}\) i ogólniej
(3) \(\displaystyle{ X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n} \rightarrow X_{n} \not\in X_{1} \hbox{ gdzie } n \ge 2}\)
Dowód
(1) Przypuśćmy że \(\displaystyle{ X\in X}\)
Rozważmy \(\displaystyle{ \left\{ X\right\}}\) i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności
\(\displaystyle{ \left\{ X\right\}}\) jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X\right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X\right\}=\varnothing}\)
Zatem musi być \(\displaystyle{ Y=X}\), czyli podstawiając otrzymujemy że \(\displaystyle{ X \cap \left\{ X\right\}=\varnothing}\)
Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ X\in X}\) to \(\displaystyle{ X\in X \cap \left\{ X\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność
(2) Przypuśćmy że \(\displaystyle{ A\in B \hbox{ i } B\in A}\)
Rozważmy \(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\) i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności
\(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\) jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ A, B\right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)
Jeśli \(\displaystyle{ Y=A}\) to \(\displaystyle{ A \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)
Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ B\in A}\) to \(\displaystyle{ B\in A \cap \left\{ A, B\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność
W przeciwnym przypadku mamy \(\displaystyle{ Y=B}\), zatem \(\displaystyle{ B \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)
Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ A\in B}\) to \(\displaystyle{ A\in B \cap \left\{ A, B\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność
Wszystkie przypadki prowadzą do sprzeczności, a więc własność (2) została udowodniona
Dowód własności (3) napiszę później
Własność (1) pozwala w szybki sposób udowodnić że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów
Bowiem gdyby taki zbiór istniał, to on sam też byłby zbiorem
Zbiór wszystkich zbiorów sam też jest zbiorem, musi być więc elementem własnym, a tak być nie może
PróbaCzas udowodnić własność \(\displaystyle{ 3}\). Zapiszmy ją porządniej
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}}\)
(3) \(\displaystyle{ \left( \forall_{0<m<n} \quad X_{m}\in X_{m+1}\right) \rightarrow X_{n} \not\in X_{1}}\)
Dowód (3)
Przypuśćmy, że dla zbiorów \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left( \forall_{0<i<n} \quad X_{i}\in X_{i+1}\right) \hbox { oraz } X_{n} \in X_{1}}\)
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) i zastosujmy do niego aksjomat regularności
Otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}= \varnothing}\)
Jeśli \(\displaystyle{ Y=X_{1}}\), to ponieważ \(\displaystyle{ X_{n}\in X_{1}}\), więc \(\displaystyle{ X_{n}\in X_{1} \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\), a więc ten iloczyn jest niepusty
Niech \(\displaystyle{ Y=X_{i} \hbox { gdzie } n \ge i \ge 2}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ X_{i-1}\in X_{i}}\), więc \(\displaystyle{ X_{i-1}\in X_{i} \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\), a więc ten iloczyn jest niepusty
Pokazaliśmy że każdy iloczyn \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) jest niepusty,
a więc takiego zbioru \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) aby \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}= \varnothing}\) nie ma. Sprzeczność \(\displaystyle{ \square}\)
Mówi że nie może się zdarzyć dla zbioru \(\displaystyle{ X}\) aby \(\displaystyle{ X\in X}\), że nie może się zdarzyć dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) aby jednocześnie \(\displaystyle{ A\in B \hbox{ i } B\in A}\)
Oraz że nie może się zdarzyć dla zbiorów aby \(\displaystyle{ X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n}\in X_{1}}\)
Jest to twierdzenie zgodne z moją intuicją, gdyż np. uzasadniając pierwsze że nie może być aby \(\displaystyle{ X\in X}\), to jeśli zbiór \(\displaystyle{ X\in Y}\) to zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest bardziej złożonym zbiorem od zbioru \(\displaystyle{ X}\), jest to nowy zbiór, a więc \(\displaystyle{ Y}\) nie jest tym samym zbiorem co zbiór \(\displaystyle{ X}\)
Formalnie, dla dowolnych zbiorów:
(1) \(\displaystyle{ X\not\in X}\)
(2) \(\displaystyle{ A\in B \rightarrow B\not\in A}\) i ogólniej
(3) \(\displaystyle{ X_{1} \in X_{2} \in \ldots \in X_{n} \rightarrow X_{n} \not\in X_{1} \hbox{ gdzie } n \ge 2}\)
Dowód
(1) Przypuśćmy że \(\displaystyle{ X\in X}\)
Rozważmy \(\displaystyle{ \left\{ X\right\}}\) i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności
\(\displaystyle{ \left\{ X\right\}}\) jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X\right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X\right\}=\varnothing}\)
Zatem musi być \(\displaystyle{ Y=X}\), czyli podstawiając otrzymujemy że \(\displaystyle{ X \cap \left\{ X\right\}=\varnothing}\)
Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ X\in X}\) to \(\displaystyle{ X\in X \cap \left\{ X\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność
(2) Przypuśćmy że \(\displaystyle{ A\in B \hbox{ i } B\in A}\)
Rozważmy \(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\) i zastosujmy do takiego zbioru aksjomat regularności
\(\displaystyle{ \left\{ A, B\right\}}\) jest niepustą rodziną zbiorów- stosując aksjomat regularności otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ A, B\right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)
Jeśli \(\displaystyle{ Y=A}\) to \(\displaystyle{ A \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)
Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ B\in A}\) to \(\displaystyle{ B\in A \cap \left\{ A, B\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność
W przeciwnym przypadku mamy \(\displaystyle{ Y=B}\), zatem \(\displaystyle{ B \cap \left\{ A, B\right\}=\varnothing}\)
Tymczasem, ponieważ założyliśmy że \(\displaystyle{ A\in B}\) to \(\displaystyle{ A\in B \cap \left\{ A, B\right\}}\) a więc ten iloczyn jest niepusty- sprzeczność
Wszystkie przypadki prowadzą do sprzeczności, a więc własność (2) została udowodniona
Dowód własności (3) napiszę później
Własność (1) pozwala w szybki sposób udowodnić że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów
Bowiem gdyby taki zbiór istniał, to on sam też byłby zbiorem
Zbiór wszystkich zbiorów sam też jest zbiorem, musi być więc elementem własnym, a tak być nie może
PróbaCzas udowodnić własność \(\displaystyle{ 3}\). Zapiszmy ją porządniej
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 2}\) oraz dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}}\)
(3) \(\displaystyle{ \left( \forall_{0<m<n} \quad X_{m}\in X_{m+1}\right) \rightarrow X_{n} \not\in X_{1}}\)
Dowód (3)
Przypuśćmy, że dla zbiorów \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left( \forall_{0<i<n} \quad X_{i}\in X_{i+1}\right) \hbox { oraz } X_{n} \in X_{1}}\)
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) i zastosujmy do niego aksjomat regularności
Otrzymujemy że istnieje \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) że \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}= \varnothing}\)
Jeśli \(\displaystyle{ Y=X_{1}}\), to ponieważ \(\displaystyle{ X_{n}\in X_{1}}\), więc \(\displaystyle{ X_{n}\in X_{1} \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\), a więc ten iloczyn jest niepusty
Niech \(\displaystyle{ Y=X_{i} \hbox { gdzie } n \ge i \ge 2}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ X_{i-1}\in X_{i}}\), więc \(\displaystyle{ X_{i-1}\in X_{i} \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\), a więc ten iloczyn jest niepusty
Pokazaliśmy że każdy iloczyn \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) jest niepusty,
a więc takiego zbioru \(\displaystyle{ Y\in \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}}\) aby \(\displaystyle{ Y \cap \left\{ X_{1},X_{2},\ldots, X_{n} \right\}= \varnothing}\) nie ma. Sprzeczność \(\displaystyle{ \square}\)