Wyznaczyć ekstremale funkcjonału - cz. 1

Tutaj można wpisywać swoje propozycje tematów do kompendium oraz dyskutować na tematy, które później trafią do właściwego działu Kompendium.
Colonder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 8 lut 2015, o 17:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Wyznaczyć ekstremale funkcjonału - cz. 1

Post autor: Colonder » 30 sie 2015, o 13:46

W niniejszym poście i w kolejnej jego części pokrótce wyjaśnię i podam kilka przykładów znajdowania ekstremali funkcjonałów.

Na początek szybka teoria bez zbędnego opisu, który zaciemnia sytuacje. Do wyznaczania ekstremali posłużyć się możemy trzema wzorami:

1) Jeżeli funkcja podcałkowa jest postaci \(\displaystyle{ F(x,y,y',y'')}\) to stosujemy Równanie Cauchy-Riemanna:
\(\displaystyle{ F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}F_{y'}+\frac{\mathrm{d^{2}}}{\mathrm{dx^{2}}}F_{y''}=0}\)
Jego rozwiązaniem jest równanie różniczkowe zazwyczaj rzędu wyższego niż 2. Takich przykładów rozwiązywać nie będę, ale żeby uprościć sobie sprawę możemy obniżyć rząd równania stosując podstawienie:
\(\displaystyle{ p(u)=u' \ \Rightarrow \ u''=p(u)p'(u)}\)
I dalej zwykłe rozdzielenie zmiennych.

2) Jeżeli funkcja podcałkowa jest postaci \(\displaystyle{ F(x,y,y')}\) to wystarczy zastosować wzór Eulera-Lagrange'a (w większości przypadków):
\(\displaystyle{ F_{y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}F_{y'}=0}\)
Rozwiązaniem tego równania jest zazwyczaj równanie różniczkowe 2 rzędu. Można je rozwiązać metodą przewidywań lub uzmienniania stałej. Więcej na ten temat: http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/index90.html

3) Jeżeli funkcja podcałkowa jest postaci \(\displaystyle{ F(y,y')}\) tzn. funkcja podcałkowa jest niezależna od x i tym samym \(\displaystyle{ F_{x}=0}\) to stosujemy tzw. tożsamość Beltramiego do równania E-L, co upraszcza sprawę:
\(\displaystyle{ F-y'F_{y'}=C}\)
gdzie C jest stałą.

Treść wszystkich przykładów to znaleźć ekstremale funkcjonału przy zadanych warunkach brzegowych:
1) \(\displaystyle{ V[y]=\int_{1}^{2}y^{2}y'^{2}}\)
Tutaj brak jest akurat warunków brzegowych tzn. mogą one być dowolne, lecz ustalone. Mechanizm rozwiązywania pozostaje niezmieniony - skorzystamy z równania 3):
\(\displaystyle{ F_{y'}=2y^{2}y'\\\ F-y'F_{y'}=C\\\ y^{2}y'^{2}-2y^{2}y'^{2}=C\\\ -y^{2}y'^{2}=C\\\ yy'=D\quad /D=\sqrt{-C}\\\ y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=D\\\ \int y\ \mathrm{d}y=\int D \ \mathrm{d}x\\\ \frac{y^{2}}{2}=Dx+E\\\ y=\sqrt{2(Dx+E)}}\)
Teraz wystarczy podstawić nasze warunki początkowe, by wyznaczyć stałe D i E.

2)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{2}} \ \mathrm{d}x \quad y(0)=0,\ y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\\\ \\\ F-y'F_{y'}=C\\\ F_{y'}=(1+2y^{2}+y^{4})\left(\frac{1}{y'^{2}}\right)'\\\ F_{y'}=-2\frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{3}}\\\ \frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{2}}+y'2\frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{3}}=C\\\ 3\frac{1+2y^{2}+y^{4}}{y'^{2}}=C\\\ 3\frac{(1+y^{2})^{2}}{y'^{2}}=C\\\ \frac{(1+y^{2})^{2}}{y'^{2}}=D\quad /D=\frac{C}{3}\\\ (1+y^{2})^{2}=Dy'^{2}\\\ (1+y^{2})^{2}=D\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2}\\\ (1+y^{2})=E\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\quad /E=\sqrt{D}\\\ \int \frac{\mathrm{d}y}{(1+y^{2})}=\int \frac{\mathrm{d}x}{E}\\\ \int \frac{\mathrm{d}y}{(1+y^{2})}=\int F\ \mathrm{d}x \quad /F=\frac{1}{E}\\\ \arctan{y}=Fx+G\\\ y=\tan(Fx+G)\\\ y(0)=0\Rightarrow\tan{G}=0\Rightarrow G=k\pi\\\ y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow \tan\left(F\frac{\pi}{3}+k\pi\right)=\sqrt{3}\\\ F\frac{\pi}{3}+k\pi=\frac{\pi}{3}+k\pi \Rightarrow F=1\\\ y(x)=\tan(x+k\pi)}\)

3)
\(\displaystyle{ V[y]=\int_{0}^{1}\frac{1-y^{2}}{y'}\ \mathrm{d}x\quad y(0)=0,\ y(1)=\frac{e-1}{e+1}\\\ F-y'F_{y'}=C\\\ F_{y'}=(1-y^{2})\left(\frac{1}{y'}\right)'=-\frac{1-y^{2}}{y'^{2}}\\\ \frac{1-y^{2}}{y'}+y'\frac{1-y^{2}}{y'^{2}}=C\\\ 2\frac{1-y^{2}}{y'}=C\\\ \frac{1-y^{2}}{y'}=D\quad /D=\frac{C}{2}\\\ 1-y^{2}=Dy'\\\ 1-y^{2}=D\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\\ \int \frac{\mathrm{d}y}{1-y^{2}}=\int \frac{\mathrm{d}x}{D}\\\ \int \frac{\mathrm{d}y}{1-y^{2}}=\int E\ \mathrm{d}x\quad /E=\frac{1}{D}}\)
Teraz musimy rozbić ułamek po lewej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-y^{2}}=\frac{1}{(1-y)(1+y)}=\frac{A}{1-y}+\frac{B}{1+y}\\\ 1=A(1+y)+B(1-y)\\\ \begin{cases} 1=A+B\\\ 0=A-B \end{cases}\\\ B=A=\frac{1}{2}\\\ \frac{1}{2}\int \frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\ \mathrm{d}y\\\ \frac{1}{2}\int \frac{1}{1-y}\ \mathrm{d}y+\frac{1}{2}\ln(1+y)}\)
Wykonujemy podstawienie \(\displaystyle{ -y=t\Rightarrow \mathrm{d}y=-\mathrm{d}t}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t}\ \mathrm{d}t=-\frac{1}{2}\ln(1+t)=-\frac{1}{2}\ln(1-y)\\\ \frac{1}{2}\left[-\ln(1-y)+\ln(1+y)\right]=Ex+F\\\ \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)=\ln\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=Ex+F\\\ \sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=e^{Ex+F}\\\ \frac{1+y}{1-y}=e^{2(Ex+F)}\\\ 1+y=(1-y)e^{2(Ex+F)}\\\ y=\frac{e^{2(Ex+F)}-1}{e^{2(Ex+F)}+1}\\\ y(1)=\frac{e-1}{e+1}\Rightarrow\frac{e^{2(E+F)}-1}{e^{2(E+F)}+1}=\frac{e-1}{e+1}\\\ 2D+2E=1\Rightarrow D=\frac{1}{2}-E\\\ y(0)=0\Rightarrow \frac{e^{2E}-1}{e^{2E}+1}=0\Rightarrow 2E=0\Rightarrow E=0\\\ \begin{cases} E=0\\\ D=\frac{1}{2} \end{cases}\\\ y(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}}\)

Część 2 w przygotowaniu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Wyznaczyć ekstremale funkcjonału - cz. 1

Post autor: yorgin » 2 wrz 2015, o 08:45

Temat trafia do poczekalni na czas uzupełnienia części drugiej. Proszę zawrzeć wszystko w jednym miejscu, tj nie tworzyć drugiej części, a kontynuować pierwszą.

Prawdopodobnym miejscem tego tematu będzie jednak dział "Rozwiązania zadań", powyższe miejsce należy traktować jako tymczasowe i dające dostęp do pisania dalszych postów/edycji już istniejącego.

ODPOWIEDZ