Aksjomaty Hilberta geometrii płaskiej

Tutaj można wpisywać swoje propozycje tematów do kompendium oraz dyskutować na tematy, które później trafią do właściwego działu Kompendium.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Aksjomaty Hilberta geometrii płaskiej

Post autor: matmatmm »

Ze względu na małą przejrzystość i nieprecyzyjność materiałów dostępnych na ten temat w Internecie, zdecydowałem się w miarę krótko przedstawić aksjomaty i związane z nimi najważniejsze definicje i twierdzenia płaskiej geometrii euklidesowej. Podany przeze mnie układ aksjomatów pochodzi od Hilberta i jest najczęściej stosowany jeśli chodzi o geometrię syntetyczną. Czekam na opinie, co myślicie na ten temat.

1. Aksjomaty incydencji.

Nasza teoria jest osadzona w teorii zbiorów ZF lub ZFC.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dany jest zbiór \(\displaystyle{ P}\), który nazywamy płaszczyzną. Elementy zbioru \(\displaystyle{ P}\) będziemy nazywać punktami i oznaczać małymi literami \(\displaystyle{ a,b,c}\) itd.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ponadto dana jest rodzina \(\displaystyle{ \mathfrak{L}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ P}\) tzn. \(\displaystyle{ \mathfrak{L}\subset{2^P}}\). Elementy rodziny \(\displaystyle{ \mathfrak{L}}\) będziemy nazywać prostymi i oznaczać dużymi literami \(\displaystyle{ K,L}\) itd.

Definicja 1. Punkty \(\displaystyle{ a,b,c}\) nazywamy współliniowymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje prosta \(\displaystyle{ L}\) taka, że \(\displaystyle{ a,b,c\in L}\).

Przyjmujemy 4 aksjomaty:
I1. Dla dowolnych dwóch punktów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) istnieje prosta \(\displaystyle{ L}\) zawierająca te punkty.
I2. Dla dowolnych dwóch różnych punktów \(\displaystyle{ a\neq b}\) istnieje co najwyżej jedna prosta \(\displaystyle{ L}\) zawierająca te punkty tzn. \(\displaystyle{ \left( a,b\in L_1 \wedge a,b\in L_2\right) \implies L_1=L_2}\).
I3. Dowolna prosta zawiera dwa różne punkty.
I4. Istnieją 3 punkty niewspółliniowe.

Oznaczenie. Na podstawie aksjomatów I1 i I2 wnosimy, że przez dwa różne punkty \(\displaystyle{ a\neq b}\) przechodzi dokładnie jedna prosta \(\displaystyle{ L}\), co pozwala nam przyjąć na nią oznaczenie \(\displaystyle{ L(ab)}\). Tak więc \(\displaystyle{ L=L(ab) \iff a,b\in L}\).

Twierdzenie 1. Jeśli punkty \(\displaystyle{ a,b,c}\) są niewspółliniowe, to są parami różne.

2. Aksjomaty uporządkowania.

Wprowadzimy teraz relację trzyargumentową leżenia między na tej samej prostej.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dana jest relacja \(\displaystyle{ B\subset P\times P\times P}\). Przyjmujemy oznaczenie \(\displaystyle{ B(abc) :\iff (a,b,c)\in B}\). Napis \(\displaystyle{ B(abc)}\) czytamy: Punkt \(\displaystyle{ b}\) leży między punktami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) (na tej samej prostej).

Definicja 2. Jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są różnymi punktami, to odcinkiem otwartym nazywamy zbiór \(\displaystyle{ (ab):=\{p\in P: B(apb)\}}\).

Wprowadzamy 5 aksjomatów:
O1. Jeśli \(\displaystyle{ B(abc)}\), to punkty \(\displaystyle{ a,b,c}\) są współliniowe i \(\displaystyle{ a\neq c}\).
O2. Jeśli \(\displaystyle{ B(abc)}\), to \(\displaystyle{ B(cba)}\).
O3. Jeśli \(\displaystyle{ B(abc)}\), to \(\displaystyle{ \sim B(bac)}\).
O4. Jeśli \(\displaystyle{ a\neq b}\), to istnieje \(\displaystyle{ c}\) taki, że \(\displaystyle{ B(abc)}\).
O5. (Aksjomat Pascha) Jeśli punkty \(\displaystyle{ a,b,c}\) są niewspółliniowe, prosta \(\displaystyle{ L}\) nie przechodzi przez żaden z punktów \(\displaystyle{ a,b,c}\) oraz prosta \(\displaystyle{ L}\) ma punkt wspólny z odcinkiem \(\displaystyle{ (ab)}\), to ma też punkt wspólny z odcinkiem \(\displaystyle{ (bc)}\) lub \(\displaystyle{ (ac)}\).

Twierdzenie 2.
(i) Jeśli \(\displaystyle{ B(abc)}\), to \(\displaystyle{ a\neq b}\) oraz \(\displaystyle{ b\neq c}\).
(ii) Jeśli \(\displaystyle{ a\neq b, b\neq c, c\neq a}\), to \(\displaystyle{ B(abc) \vee B(bac) \vee B(acb)}\).
(iii) Jeśli \(\displaystyle{ a\neq b}\), to istnieje \(\displaystyle{ c}\) taki, że \(\displaystyle{ B(acb)}\).
(iv) Jeśli \(\displaystyle{ B(abc)}\) oraz \(\displaystyle{ B(bcd)}\), to \(\displaystyle{ B(abd)}\).
(v) Jeśli \(\displaystyle{ B(abc)}\) oraz \(\displaystyle{ B(acd)}\), to \(\displaystyle{ B(bcd)}\).

Twierdzenie-Definicja 3. Dana jest prosta \(\displaystyle{ L}\) oraz punkt \(\displaystyle{ o\in L}\). Relacja dwuargumentowa \(\displaystyle{ \sim}\) w zbiorze \(\displaystyle{ L\setminus\{o\}}\) dana związkiem \(\displaystyle{ a\sim b :\iff \left( B(oab) \vee a=b \vee B(oba)\right)}\) jest relacją równoważności o dokładnie dwóch klasach abstrakcji. Każdą z tych klas nazywamy półprostą o początku w punkcie \(\displaystyle{ o}\). Każda półprosta wyznacza swój początek jednoznacznie. Dwie różne półproste o tym samym początku, które w sumie z początkiem dają całą prostą, nazywamy dopełniającymi.

Twierdzenie-Definicja 4. Dana jest prosta \(\displaystyle{ L}\). Relacja \(\displaystyle{ \sim}\) w zbiorze \(\displaystyle{ P\setminus L}\) dana związkiem \(\displaystyle{ a\sim b :\iff \left( a=b \vee (ab)\cap L=\emptyset\right)}\) jest relacją równoważności o dokładnie dwóch klasach abstrakcji. Każdą z tych klas nazywamy półpłaszczyzną o brzegu \(\displaystyle{ L}\). Każda półpłaszczyzna wyznacza swój brzeg jednoznacznie. Dwie różne półpłaszczyzny o tym samym brzegu nazywamy dopełniającymi.

3. Aksjomaty przystawania.

Definicja 5. Jeśli \(\displaystyle{ a\neq b}\), to odcinkiem \(\displaystyle{ ab}\) nazywamy parę nieuporządkowaną \(\displaystyle{ \{a,b\}}\). Kątem nazywamy parę nieuporządkowaną \(\displaystyle{ \{A,B\}}\) złożoną z dwóch półprostych o wspólnym początku, które są różne oraz nie dopełniają się wzajemnie. Kąt złożony z półprostych \(\displaystyle{ A,B}\) oznaczamy \(\displaystyle{ AB}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Rozważamy dwie relacje dwuargumentowe zwane relacjami przystawania. Obie oznaczamy przez \(\displaystyle{ \equiv}\), choć w rzeczywistości są czymś innym. Jedna jest określona na zbiorze odcinków, druga na zbiorze kątów.

Przyjmujemy 6 aksjomatów:
C1. Relacja przystawania odcinków jest relacją równoważności.
C2. Dla każdej półprostej \(\displaystyle{ A}\) o początku \(\displaystyle{ o}\) i każdego odcinka \(\displaystyle{ pq}\) istnieje dokładnie jeden punkt \(\displaystyle{ a\in A}\) taki, że \(\displaystyle{ oa\equiv pq}\).
C3. Jeśli \(\displaystyle{ B(abc) \wedge B(a_1b_1c_1) \wedge ab\equiv a_1b_1 \wedge bc\equiv b_1c_1}\), to \(\displaystyle{ ac\equiv a_1c_1}\).
C4. Relacja przystawania kątów jest relacją równoważności.
C5. Dla każdej półpłaszczyzny \(\displaystyle{ M}\) i półprostej \(\displaystyle{ A}\) o początku \(\displaystyle{ o}\) zawartej w brzegu tej półpłaszczyzny i dla każdego kąta \(\displaystyle{ PQ}\) istnieje dokładnie jedna półprosta \(\displaystyle{ B}\) o początku w \(\displaystyle{ o}\) zawarta w \(\displaystyle{ M}\) taka, że \(\displaystyle{ PQ\equiv AB}\).
C6. Jeśli punkty \(\displaystyle{ a,b,c}\) są niewspółliniowe i punkty \(\displaystyle{ a_1b_1c_1}\) są niewspółliniowe oraz \(\displaystyle{ ab\equiv a_1b_1 \wedge ac\equiv a_1c_1 \wedge \angle bac\equiv \angle b_1a_1c_1}\), to \(\displaystyle{ \angle abc \equiv \angle a_1b_1c_1}\).

4. Aksjomat ciągłości.

A1. Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X,Y\subset P}\), jeżeli istnieje punkt \(\displaystyle{ a}\) taki, że z \(\displaystyle{ p\in X}\) i \(\displaystyle{ q\in Y}\) wynika \(\displaystyle{ B(apq)}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ b}\) taki, że z \(\displaystyle{ p\in X\setminus\{b\}}\) i \(\displaystyle{ q\in Y\setminus \{b\}}\) wynika \(\displaystyle{ B(pbq)}\).

5. Aksjomat prostych równoległych (pewnik Euklidesa).

P1. Dla dowolnej prostej \(\displaystyle{ L}\) i punktu \(\displaystyle{ p\notin L}\) istnieje co najwyżej jedna prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ p}\) rozłączna z prostą \(\displaystyle{ L}\).

Uwaga. Zastępując aksjomat P1 przez jego zaprzeczenie, otrzymamy geometrię Bolyaia-Łobaczewskiego, znaną też pod nazwą geometria hiperboliczna.
ODPOWIEDZ