Przestrzenie topologiczne. Zbiory otwarte i domknięte.

Tutaj można wpisywać swoje propozycje tematów do kompendium oraz dyskutować na tematy, które później trafią do właściwego działu Kompendium.
Kmitah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 16 lut 2012, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki / Białystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 28 razy

Przestrzenie topologiczne. Zbiory otwarte i domknięte.

Post autor: Kmitah »

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym, niepustym zbiorem, zaś \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) \(\displaystyle{ -}\) rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) (tzn. \(\displaystyle{ \mathcal{U} \subseteq 2^X}\)). Parę uporządkowaną \(\displaystyle{ (X, \mathcal{U})}\) nazywamy przestrzenią topologiczną, zaś \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) \(\displaystyle{ -}\) topologią na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) spełnione są warunki:
(T1) \(\displaystyle{ \emptyset \in \mathcal{U}}\) oraz \(\displaystyle{ X \in \mathcal{U}}\);
(T2) Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie dowolnym zbiorem, co do mocy. Jeśli \(\displaystyle{ U_i \in \mathcal{U}}\), dla każdego \(\displaystyle{ i \in I}\), to również \(\displaystyle{ \bigcup_{i\in I} U_i \in \mathcal{U}}\);
(T3) Jeżeli \(\displaystyle{ U_1, U_2 \in \mathcal{U}}\), to również \(\displaystyle{ U_1 \cap U_2 \in \mathcal{U}}\).

Każdy zbiór \(\displaystyle{ U\in \mathcal{U}}\) nazywamy zbiorem otwartym przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ (X, \mathcal{U})}\) lub po prostu zbiorem otwartym w topologii \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\), zaś każdy zbiór \(\displaystyle{ F}\), taki że \(\displaystyle{ X\setminus F \in \mathcal{U}}\) nazywamy zbiorem domkniętym przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ (X, \mathcal{U})}\) lub po prostu zbiorem domkniętym w topologii \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\).

Jak wynika z aksjomatów, zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zawsze zbiorami otwartymi, suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, jeżeli zaś idzie o przecięcie, to z (T3) wynika jasno, że przecięcie jedynie skończonej liczby zbiorów otwartych musi być zbiorem otwartym.

Przechodząc do dopełnień i korzystając z praw de Morgana, stwierdzamy na podstawie aksjomatów (T1)-(T3), że:
(F1) \(\displaystyle{ \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ X}\) są zbiorami domkniętymi;
(F2) Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie dowolnym zbiorem, co do mocy. Jeśli \(\displaystyle{ F_i}\) jest zbiorem domkniętym, dla każdego \(\displaystyle{ i \in I}\), to również \(\displaystyle{ \bigcap_{i\in I} F_i}\) jest zbiorem domkniętym;
(T3) Jeżeli \(\displaystyle{ F_1, F_2}\) są zbiorami domkniętymi, to również \(\displaystyle{ F_1 \cup F_2}\) jest zbiorem domkniętym.

Warto tu odnotować, że w dowolnej przestrzeni topologicznej mogą istnieć następujące klasy zbiorów:
(i) zbiory otwarte, które nie są jednocześnie domknięte;
(ii) zbiory domknięte, które nie są jednocześnie otwarte;
(iii) zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte (nazywa się je otwarto-domkniętymi);
(iv) zbiory, które nie są ani otwarte, ani domknięte.

W każdej przestrzeni istnieją co najmniej dwa zbiory otwarto-domknięte: są to zbiór pusty oraz cała przestrzeń.

Przykład 1. Rozważmy zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wraz z rodziną \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\), w skład której wchodzą zbiór pusty, przedziały otwarte oraz sumy przedziałów otwartych. Ponieważ cały zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest sumą przedziałów otwartych, suma dowolnej liczby zbiorów z \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) jest zbiorem należącym do \(\displaystyle{ \mathcal{U}}\) (suma sum przedziałów otwartych jest sumą przedziałów otwartych), zaś przecięcie dwóch sum przedziałów otwartych jest sumą przedziałów otwartych, przedziałem otwartym lub zbiorem pustym, stwierdzamy, że \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, \mathcal{U})}\) jest przestrzenią topologiczną. Nazywamy ją (jednowymiarową) przestrzenią euklidesową i oznaczamy często przez \(\displaystyle{ E}\). W przestrzeni tej:
(i) \(\displaystyle{ (1, 3)}\), \(\displaystyle{ (0, \sqrt{2}) \cup (\pi, 5)}\), \(\displaystyle{ (-2, \infty)}\), \(\displaystyle{ (-\infty, 1)\cup(1, \infty)}\) są zbiorami otwartymi, ale nie są zbiorami domkniętymi;
(ii) \(\displaystyle{ [1,3]}\), \(\displaystyle{ [2,5]\cup[11,145]}\), \(\displaystyle{ (-\infty, 2]}\), \(\displaystyle{ (-\infty, 2]\cup[3, \infty)}\) są zbiorami domkniętymi, ale nie są zbiorami otwartymi;
(iii) nie ma zbiorów, które są jednocześnie otwarte i domknięte, innych niż zbiór pusty oraz \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\);
(iv) \(\displaystyle{ \{-5\}}\), \(\displaystyle{ [2, 3)}\), \(\displaystyle{ (1, 7)\cup\{11\}}\), \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi.

Zauważmy, że w przestrzeni \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, \mathcal{U})}\) przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych może być zbiorem domkniętym. Istotnie, na przykład:
\(\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) = \{0\}}\),
a \(\displaystyle{ \{0\}}\) jest w tej przestrzeni zbiorem domkniętym, jako że \(\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty, 0)\cup(0, \infty)}\) jest zbiorem otwartym.
Podobnie w \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, \mathcal{U})}\) suma nieskończonej liczby zbiorów domkniętych może okazać się zbiorem otwartym. Na przykład:
\(\displaystyle{ \bigcup_{i=3}^{\infty} \left[\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n} \right] = (0,1)}\),
a \(\displaystyle{ (0, 1)}\) jest zbiorem otwartym, jako że jest przedziałem otwartym.

Przykład 2. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowym. Przestrzeń \(\displaystyle{ (X, 2^X)}\) nazywamy przestrzenią dyskretną. W przestrzeni tej:
(i) każdy zbiór jest zbiorem otwartym, jako że \(\displaystyle{ 2^X}\) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\);
(ii) każdy zbiór jest zbiorem domkniętym, jako że dla każdego \(\displaystyle{ F}\), zbiór \(\displaystyle{ X\F}\) jest zbiorem otwartym, gdyż każdy zbiór jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\);
(iii) w związku z (i) i (ii) każdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty;
(iv) nie ma zbiorów, które nie są ani otwarte, ani domknięte.

Przykład 3. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowym. Przestrzeń \(\displaystyle{ (X, \{\emptyset, X\})}\) nazywamy przestrzenią antydyskretną. W przestrzeni tej:
(i) jedynie zbiór pusty i \(\displaystyle{ X}\) są zbiorami otwartymi;
(ii) jedynie zbiór pusty i \(\displaystyle{ X}\) są zbiorami domkniętymi;
(iii) jedynie zbiór pusty oraz \(\displaystyle{ X}\) są zbiorami otwarto-domkniętymi;
(iv) każdy zbiór \(\displaystyle{ \emptyset \subsetneq A \subsetneq X}\) nie jest zbiorem ani otwartym, ani domkniętym.

Przykład 4. Niech \(\displaystyle{ X:=\{a, b\}}\), \(\displaystyle{ \mathcal{U}:=\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}}\). Łatwo sprawdzić, że tak określone \(\displaystyle{ (X, \mathcal{U})}\) jest przestrzenią topologiczną. Nazywamy ją przestrzenią Sierpińskiego lub przestrzenią dwupunktową Aleksandrowa. W przestrzeni tej:
(i) \(\displaystyle{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}}\) są wszystkimi zbiorami otwartymi;
(ii) \(\displaystyle{ \emptyset, \{b\}, \{a, b\}}\) są wszystkimi zbiorami domkniętymi;
(iii) jedynie \(\displaystyle{ \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \{a, b\}}\) są zbiorami jednocześnie otwartymi i domkniętymi;
(iv) nie ma zbiorów, które nie są ani domknięte, ani otwarte.
ODPOWIEDZ