Odwzorowania styczne tensorów

Tutaj można wpisywać swoje propozycje tematów do kompendium oraz dyskutować na tematy, które później trafią do właściwego działu Kompendium.
Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Odwzorowania styczne tensorów

Post autor: ares41 » 15 lut 2014, o 17:08

Odwzorowania styczne tensorów

Rozważmy dwie dyfeomorficzne rozmaitości różniczkowe \(\displaystyle{ M,N}\). Niech \(\displaystyle{ \Phi:M \rightarrow N}\) będzie dyfeomorfizmem. Zdefiniujmy odwzorowania:
Def.1 "Pull-back" funkcji
Niech \(\displaystyle{ f\in C^\infty(N), \ p\in M}\). Definiujemy odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi_*}\):
\(\displaystyle{ \Phi_*f(p):=f\left[\Phi(p)\right]}\)
A więc \(\displaystyle{ \Phi_*=f\circ \Phi}\)
Odwzorowanie to "cofa" funkcje z \(\displaystyle{ N}\) na \(\displaystyle{ M}\).
\(\displaystyle{ \Phi_*:C^\infty(N) \rightarrow C^\infty(M)}\)

Ćw.1. Odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi_*}\) jest liniowe

Def.2 "Push-forward" wektorów
Definiujemy odwzorowanie:
\(\displaystyle{ \Phi^*|_p:T_pM \rightarrow T_{\Phi(p)}N \\ T_pM\ni \textbf{v}\longmapsto \Phi^*\textbf{v}\in T_{\Phi(p)}N \\ \left(\Phi^*\textbf{v}\right)f|_{\Phi(p)}:=\textbf{v}\left(\Phi_*f\right)|_p=\textbf{v}\left(f\circ\Phi\right)|_p}\)

Odwzorowanie to jest oczywiście liniowe.

Ćw.2. Niech \(\displaystyle{ (U,\phi)}\) będzie mapą w otoczeniu \(\displaystyle{ p}\), a \(\displaystyle{ (V,\psi)}\) mapą w otoczeniu \(\displaystyle{ \Phi(p)}\). Niech \(\displaystyle{ \phi(p)=(x^1,...,x^n)}\) oraz \(\displaystyle{ \psi[\Phi(p)]=(y^1,...,y^n)}\) oraz niech \(\displaystyle{ \left\{(\partial/ \partial x^i )|_p \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ \left\{(\partial/ \partial y^k )|_{\Phi(p)} \right\}}\) będą bazami przestrzeni stycznych. Pokazać, że w tych bazach odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi^*|_p}\) jest reprezentowane przez odwrotną macierz Jacobiego \(\displaystyle{ \Phi^*|_p=\left(\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\right)_p}\)

Odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi^*|_p}\) nazywamy stycznym.


Ćw.3. Odwzorowanie styczne \(\displaystyle{ \Phi^*}\) przeprowadza wektory styczne do krzywych \(\displaystyle{ \gamma}\) na \(\displaystyle{ M}\) na wektory styczne do krzywych \(\displaystyle{ \Phi(\gamma)}\) na \(\displaystyle{ N}\)


Rozważmy teraz trzy rozmaitości dyfeomorficzne \(\displaystyle{ M,N,P}\). Niech \(\displaystyle{ \Phi:M \rightarrow N, \ \Psi: N \rightarrow P}\) będą dyfoemorfizmami. Wtedy \(\displaystyle{ (\Psi\circ\Phi)^* =\Psi^*\circ\Phi^*}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \left[(\Psi\circ\Phi)^*\textbf{v}\right]f|_{\Psi(\Phi(p))}=\textbf{v}\left[(\Psi\circ\Phi)_*f\right]|_p=\textbf{v}\left[f\circ\Psi\circ\Phi\right]_p=\textbf{v}\left[(f\circ\Psi)\circ\Phi\right]_p=\textbf{v}\left[\Phi_*(f\circ\Psi)\right]_p=\left(\Phi^*\textbf{v}\right)(f\circ\Psi)|_{\Phi(p)}=(\Phi^*\textbf{v})(\Psi_*f)|_{\Psi(p)}=\left[\Psi^*(\Phi^*\textbf{v})\right]f|_{\Psi(\Phi(p))}}\)
Wobec dowolności \(\displaystyle{ f,\textbf{v}}\) dostajemy tezę.
Powyższa własność oznacza, że pierwszy z poniższych diagramów generuje drugi:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[node distance=4cm, auto]
\node (M) {$M$};
\node (N) [right of=M] {$N$};
\node (P) [node distance=2cm, right of=M, below of=M] {$P$};
\draw[->] (M) to node {$\Phi $} (N);
\draw[->] (M) to node [swap]{$ \Psi \circ\Phi$} (P);
\draw[->] (N) to node {$\Psi$}(P);
\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[node distance=4cm, auto]
\node (M) {$T_pM$};
\node (N) [right of=M] {$T_{\Phi(p)}N$};
\node (P) [node distance=2cm, right of=M, below of=M] {$T_{\Psi\left(\Phi(p)\right)}P$};
\draw[->] (M) to node {$\Phi_p^* $} (N);
\draw[->] (M) to node [swap]{$ \Psi^*|_{\Phi(p)} \circ\Phi_p^*$} (P);
\draw[->] (N) to node {$\Psi^*|_{\Phi(p)}$}(P);
\end{tikzpicture}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ p}\) przebiega całą rozmaitość to analogiczne diagramy dostajemy dla wiązek stycznych,a odwzorowanie to oznaczamy \(\displaystyle{ d\Phi}\) i nazywamy różniczką odwzorowania \(\displaystyle{ \Phi}\)

Ćw.3. W odwzorowaniu \(\displaystyle{ \Phi^*}\) obraz komutatora jest komutatorem obrazów, tj. \(\displaystyle{ \Phi^*[\textbf{u},\textbf{v}]=[\Phi^*\textbf{u},\Phi^*\textbf{v}]}\)

Def.3 "Pull-back" dla kowektorów
\(\displaystyle{ \Phi_*:T_{\Phi(p)}^*N \ni \omega \rightarrow \Phi_*\omega\in T_{p}^*M \\ \textbf{v}\in T_p M \Rightarrow \langle\Phi_*\omega,\textbf{v}\rangle_p:=\langle\omega,\Phi^*\textbf{v}\rangle_{\Phi(p)}}\)
Łatwo pokazać, że odwzorowanie styczne dla kowektorów \(\displaystyle{ \Phi_*}\) ma tę samą reprezentację macierzową co odwzorowanie styczne dla wektorów \(\displaystyle{ \Phi^*}\)

Ćw.4. Niech \(\displaystyle{ df}\) będzie gradientem funkcji gładkiej. Wtedy zachodzi \(\displaystyle{ \Phi_*(df)=d(\Phi_*f)=d(f\circ\Phi)}\), tj. mamy przemienność \(\displaystyle{ \Phi_*d=d\Phi_*}\)

Def.4 Odzworowania \(\displaystyle{ \Phi_*, \ \Phi^*}\) dla tensorów
Jeśli \(\displaystyle{ T}\) jest tensorem typu \(\displaystyle{ (r,0)}\) na \(\displaystyle{ M}\) to definiujemy:
\(\displaystyle{ \left(\Phi^*T\right)\left(\omega_1,...,\omega_r\right)|_{\Phi(p)}:=T\left(\Phi_*\omega_1,...,\Phi_*\omega_r\right)|_{p}}\), gdzie \(\displaystyle{ \omega_i\in T_{\Phi(p)}^*N}\)

W bazie współrzędnych tensor ma składowe:

\(\displaystyle{ \left(\Phi^*T\right)^{i_1...i_r}|_{\Phi(p)}= \frac{\partial y^{i_1}}{\partial x^{k_1}}...\frac{\partial y^{i_r}}{\partial x^{k_r}}T^{k_1...k_r}|_p}\)

Podobnie dla tensora \(\displaystyle{ T=T_{i_1...i_s}dx^{i_1}\otimes...\otimes dx^{i_s}}\) na \(\displaystyle{ N}\) definiujemy:
\(\displaystyle{ \left(\Phi_*T\right)\left(\textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s\right)|_p:=T\left(\Phi^*\textbf{v}_1,...,\Phi^*\textbf{v}_s\right)|_{\Phi(p)}}\), gdzie \(\displaystyle{ \textbf{v}_i\in T_pM}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dyfeomorfizmem, zatem \(\displaystyle{ \Phi^{-1}}\) też nim jest. Dzięki temu możemy zdefiniować powyższe odwzorowania dla dowolnych tensorów.
Niech \(\displaystyle{ \omega_1,...,\omega_r}\) będą kowektorami na \(\displaystyle{ N}\) a \(\displaystyle{ \textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s}\) wektorami na \(\displaystyle{ N}\). Niech \(\displaystyle{ T=T^{i_1...i_r}_{ \ \ \ \ \ j_1...j_s} \frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\otimes...\otimes\frac{\partial }{\partial x^{i_r}}\otimes dx^{j_1}\otimes...\otimes dx^{j_s}}\) będzie tensorem na \(\displaystyle{ M}\). Odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi^*}\) przyporządkowuje mu tensor \(\displaystyle{ \Phi^*T}\), którego działania na dowolne wektory i kowektory na \(\displaystyle{ N}\) dane jest zależnością:
\(\displaystyle{ \left(\Phi^*T\right)\left(\omega_1,...,\omega_r,\textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s\right)|_{\Phi(p)}=T\left(\Phi_*\omega_1,...,\Phi_*\omega_r,\left(\Phi^{-1}\right)^*\textbf{v}_1,...,\left(\Phi^{-1}\right)^*\textbf{v}_s\right)|_p}\)

Analogicznie definujemy \(\displaystyle{ \Phi_*T}\). Na \(\displaystyle{ M}\) mamy kowektory \(\displaystyle{ \omega_1,...,\omega_r}\) i wektory \(\displaystyle{ \textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s}\). Dowolnemu tensorowi \(\displaystyle{ T}\) na \(\displaystyle{ N}\) przyporządkowujemy tensor \(\displaystyle{ \Phi_*T}\) na \(\displaystyle{ M}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \left(\Phi_*T\right)\left(\omega_1,...,\omega_r,\textbf{v}_1,...,\textbf{v}_s\right)|_{p}=T\left(\left(\Phi^{-1}\right)_*\omega_1,...,\left(\Phi^{-1}\right)_*\omega_r,\Phi^*\textbf{v}_1,...,\Phi^*\textbf{v}_s\right)|_{\Phi(p)}}\)

Ćw.5. Pokazać, że dla dowolnego tensora macierz odwzorowania \(\displaystyle{ \Phi_*}\) jest odwrotna do macierzy odwzorowania \(\displaystyle{ \Phi^*}\)

Ćw.6. Odwzorowanie styczne zachowuje iloczyn tensorowy.
Źródło:
(1) J.Gancarzewicz "Zarys współczesnej geometrii różniczkowej"
(2) L.Sokołowski "Elementy analizy tensorowej"
(3) W.Wojtyński "Grupy i algebry Liego"
(4) J.M.Lee "Introduction to Smooth Manifolds"

Wszelkie uwagi proszę kierować na PW.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ