Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Tutaj można wpisywać swoje propozycje tematów do kompendium oraz dyskutować na tematy, które później trafią do właściwego działu Kompendium.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego

Post autor: mortan517 »

Rozwiązania równania kwadratowego i dwukwadratowego


Na forum powstaje coraz więcej tematów związanych z tymi zagdanieniami. Postanowiłem opisać ten problem (dla niektórych banalny, a dla innych wręcz przeciwnie), żeby wszyscy użytkownicy mogli na spokojnie zajrzeć tu, aby rozwiać wszelkie wątpliwości. W tym temacie zawrę równanie kwadratowe oraz jeden z prostszych przykładów równania czwartego stopnia, a mianowicie równanie dwukwadratowe.

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe możemy wyrazić za pomocą wzoru ogólnego \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\). Ilość rozwiązań takiego równania zależy od wyróżnika równania kwadratowego \(\displaystyle{ \Delta}\). Rozpatrując ten problem musimy także zwrócić uwagę na przypadek liniowy.



Dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) równanie posiada następującą ilość pierwiastków:
\(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki, gdy \(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ 1}\) pierwiastek, gdy \(\displaystyle{ \Delta =0}\)
\(\displaystyle{ 0}\) pierwiastków, gdy \(\displaystyle{ \Delta <0}\)


Dla \(\displaystyle{ a = 0 \wedge b \neq 0}\) równanie kwadratowe staje się równaniem liniowym, któro posiada \(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie \(\displaystyle{ \left(x= - \frac{c}{b} \right)}\).


Idąc dalej tokiem naszego rozumowania sprawdzamy, co dzieje się, gdy inne współczynniki się zerują; i tak dla \(\displaystyle{ a = 0 \ \wedge \ b = 0}\) mamy \(\displaystyle{ 2}\) możliwości:
\(\displaystyle{ a = 0 \ \wedge \ b = 0 \ \wedge \ c = 0}\) - nieskończenie wiele rozwiązań
oraz
\(\displaystyle{ a = 0 \ \wedge \ b = 0 \ \wedge \ c \neq 0}\) - brak rozwiązań

Podsumowanie:

\(\displaystyle{ \bullet}\) nieskończenie wiele rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ a=0 \ \wedge \ b=0 \ \wedge \ c=0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) dwa rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) jedno rozwiązanie dla:
  • \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \\ a=0 \ \wedge \ b \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) brak rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ a \neq 0 \ \wedge \ \Delta<0 \\ a=0 \ \wedge \ b=0 \ \wedge \ c \neq 0}\)


Równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe to szczególny przypadek równania czwartego stopnia \(\displaystyle{ dx^4 + px^3 + ex^2 + qx + f=0}\), gdzie \(\displaystyle{ p=0}\) oraz \(\displaystyle{ q=0}\). Przyjmuje więc postać \(\displaystyle{ dx^4 + ex^2 + f=0}\). Najczęściej dla ułatwienia stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\), więc równanie wygląda następująco: \(\displaystyle{ dt^2 + et + f=0}\). Możemy zauważyć podobieństwo do klasycznego równania kwadratowego, więc ilość rozwiązań będzie zależeć od wyróżnika oraz iloczynu \(\displaystyle{ \left( t_{1} \cdot t_{2}\right)}\) i sumy \(\displaystyle{ \left( t_{1} + t_{2}\right)}\) pierwiastków. Postanowiłem zrobić tabelki, aby ułatwić zrozumienie problemu. Liczby wewnątrz symbolizują ilość rozwiązań równania dwukwadratowego w zależności od podanych warunków.



Pierwiastkami równania dla \(\displaystyle{ \Delta >0}\)\(\displaystyle{ t_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ t_{2}}\).

$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\Delta > 0 \wedge d \neq 0 & t_{1} + t_{2} > 0 & t_{1} + t_{2} = 0 & t_{1} + t_{2} < 0 \\
t_{1} \cdot t_{2} > 0 & 4 & - & 0 \\
t_{1} \cdot t_{2} = 0 & 3 & 1 & 1 \\
t_{1} \cdot t_{2} < 0 & 2 & 2 & 2 \\
\end{tabular}
$$

Dla \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ t_{0}}\).

$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
d \neq 0 & t_{0} > 0 & t_{0} = 0 & t_{0} < 0 \\
\Delta = 0 & 2 & 1 & 0 \\
\end{tabular}
$$

Dla \(\displaystyle{ \Delta < 0 \wedge d \neq 0}\) równanie nie posiada rozwiązań.

Musimy także rozpatrzeć sytuacje, w których \(\displaystyle{ d=0}\). Nasze równanie \(\displaystyle{ \left( dx^4 + ex^2 + f=0\right)}\) przyjmie wtedy postać \(\displaystyle{ ex^2+f=0}\). Posłużę się kolejną tabelką do lepszego zobrazowania omawianej sytuacji.

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
e \neq 0 \wedge d=0 & f_{} > 0 & f_{} = 0 & f_{} < 0 \\
e_{} > 0 & 0 & 1 & 2 \\
e_{} < 0 & 2 & 1 & 0 \\
\end{array}
$$

Kontynuując nasze rozważania, pozostaje nam tylko do sprawdzenia co się dzieje, gdy zarówno \(\displaystyle{ d=0 \wedge e=0}\). Więc po podstawieniach równanie wygląda tak: \(\displaystyle{ f=0}\). Tutaj już nie ma nic skomplikowanego, ponieważ ostatnie \(\displaystyle{ 2}\) sytuacje, które mogą wystąpić prezentuje kolejna (czwarta z kolei) tabela.

$$
\begin{array}{|c|c|c|}
d = 0 & f = 0 & f \neq 0 \\
e = 0 & \infty & 0 \\
\end{array}
$$

Podsumowanie:

\(\displaystyle{ \bullet}\) nieskończenie wiele rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ d=0 \ \wedge \ e=0 \ \wedge \ f=0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) cztery rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} > 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) trzy rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} = 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) dwa rozwiązania dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e < 0 \ \wedge \ f > 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e > 0 \ \wedge \ f < 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) jedno rozwiązanie dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} = 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} \le 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} = 0 \\ d = 0 \ \wedge \ f = 0}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) brak rozwiązań dla:
  • \(\displaystyle{ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} > 0 \ \wedge \ t_{1} + t_{2} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} < 0 \\ d \neq 0 \ \wedge \ \Delta<0 \\ d = 0 \ \wedge \ e < 0 \ \wedge \ f < 0 \\ d = 0 \ \wedge \ e > 0 \ \wedge \ f > 0 \\ d=0 \ \wedge \ e=0 \ \wedge \ f \neq 0}\)



Dotarliśmy już do końca. Mam nadzieję, że temat pomoże wielu osobom, które nie mogą znaleźć tych informacji w sieci na jednej stronie, tylko muszą "skakać" po linkach, aby zgromadzić wiadomości. Wydaje mi się, że zagadnienie zostało omówione dość dokładnie, żeby je zrozumieć i posługiwać się nim przy rozwiązywaniu zadań. Jak już pisałem na początku nie jest to wybitnie trudna matematyka, ale dla gimnazjalisty/licealisty powinna być pomocna. Na koniec proszę was o pisanie priv, jeżeli znajdziecie jakikolwiek błąd.

Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ