Typowe struktury zbiorów

Tutaj można wpisywać swoje propozycje tematów do kompendium oraz dyskutować na tematy, które później trafią do właściwego działu Kompendium.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Typowe struktury zbiorów

Post autor: mol_ksiazkowy »

Sigma-ciała
Sigma-ciałem podzbiorów zbioru niepustego \(\displaystyle{ X}\) jest struktura \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) spełniająca następujące warunki:
  • \(\displaystyle{ \emptyset\in\mathfrak{M}}\),
  • jeśli \(\displaystyle{ A\in\mathfrak{M}}\), to \(\displaystyle{ A'\in\mathfrak{M}}\),
  • jeśli \(\displaystyle{ \{A_n:n\in \NN\}\subset\mathfrak{M}}\), to \(\displaystyle{ \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathfrak{M}}\).
Z tej definicji mamy też:
\(\displaystyle{ X \in \mathfrak{M}}\) bo \(\displaystyle{ X =\emptyset^c}\)
• Jeśli \(\displaystyle{ A, B \in \mathfrak{M}}\) to \(\displaystyle{ A \cap B \in \mathfrak{M}}\) bo \(\displaystyle{ A \cap B = (A^c \cup B^c)^c}\) oraz \(\displaystyle{ A \setminus B \in \mathfrak{M}}\) bo \(\displaystyle{ A \setminus B =A \cap B^c.}\)
• Jeśli \(\displaystyle{ A_j \in \mathfrak{M}}\) dla \(\displaystyle{ j=1,...n}\) to \(\displaystyle{ A_1 \cap ... \cap A_n \in \mathfrak{M}.}\)

Część wspólna \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr \(\displaystyle{ \mathfrak{M}_j}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą \(\displaystyle{ \bigcap_{j \in S} \mathfrak{M}_j}\). Jeśli \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) jest jakąś strukturą podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), to część wspólna wszystkich \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr zawierających \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) nazywa się \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą generowaną przez \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) i oznacza się ją \(\displaystyle{ \sigma(\mathfrak{M})}\). I np. \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra generowana przez \(\displaystyle{ \mathfrak{M} = \{ A \}}\) to \(\displaystyle{ \{ \emptyset, X, A, A^c \}}\) jeśli \(\displaystyle{ X \neq A \neq \emptyset}\).

• Suma (mnogościowa) dwóch \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebr nie jest na ogół \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą.
\(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra generowana przez skończoną liczbę zbiorów jest skończona oraz jeśli \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą nieskończoną, to \(\displaystyle{ |\mathfrak{M}| > |\NN|.}\)

Ozn. terminologiczne: \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała to inaczej \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebry. \(\displaystyle{ P(X)}\) to to samo, co \(\displaystyle{ 2^{X} = \{ A: A \subset X \}}\). Oznaczenie \(\displaystyle{ A^c}\) to to samo, co \(\displaystyle{ A^{\prime}}\), tj. \(\displaystyle{ A^c =A^{\prime}= X \setminus A.}\)

Zbiór niepusty \(\displaystyle{ A \in \mathfrak{M}}\) nazywa się nierozkładalnym elementem \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebry \(\displaystyle{ \mathfrak{M},}\) jeśli z warunku \(\displaystyle{ B \in \mathfrak{M}}\) i \(\displaystyle{ B \subset A}\) wynika, że \(\displaystyle{ B =\emptyset}\) lub \(\displaystyle{ B = A.}\)

Przykład 1
\(\displaystyle{ X = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}}\) i \(\displaystyle{ A = \{1,2 \}, \ B = \{1,3 \}, \ C =\{4, 5 \}}\). Tu \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra generowana przez \(\displaystyle{ \{ A, B, C \}}\) jest taka:
\(\displaystyle{ A \in \mathfrak{M}}\) jeśli \(\displaystyle{ \{ 4, 5 \} \subset A}\) albo \(\displaystyle{ A \cap \{4, 5 \} = \emptyset}\) i ma ona 32 zbiory (słownie: w \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) są te zbiory, do których należą oba elementy: \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 5}\), bądź nie należy żaden z nich).

Przykład 2
Niech \(\displaystyle{ X= \RR}\) oraz \(\displaystyle{ A=[0,4],\ B=[1,2)}\). Wtedy \(\displaystyle{ σ}\)-algebrą generowana przez strukturę \(\displaystyle{ \{ A, B \}}\) jest \(\displaystyle{ \mathfrak{M} = \{ A, B, A \setminus B , A^c, B^c , (A \setminus B)^c , \RR, \emptyset \}.}\) Ta \(\displaystyle{ \sigma}\) algebra ma 3 zbiory nierozkładalne (tj. \(\displaystyle{ B, \ A^c , \ A \setminus B}\)).

Algebry i półalgebry
Algebrą podzbiorów zbioru niepustego \(\displaystyle{ X}\) jest struktura \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) spełniająca następujące warunki:
  • \(\displaystyle{ \emptyset\in\mathfrak{M}}\),
  • jeśli \(\displaystyle{ A\in\mathfrak{M}}\), to \(\displaystyle{ A'\in\mathfrak{M}}\),
  • jeśli \(\displaystyle{ \{A_n:n\in \NN \}\subset\mathfrak{M}}\), to \(\displaystyle{ \displaystyle\bigcup_{j=1}^{n}A_j\in\mathfrak{M}}\).
Półalgebrą podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest struktura \(\displaystyle{ \mathfrak{M} \subset 2^{X}}\) gdy:
  • Jeśli \(\displaystyle{ A, B \subset \mathfrak{M}}\) to \(\displaystyle{ A \cap B \in \mathfrak{M}}\)
  • Jeśli \(\displaystyle{ A \in M}\) to istnieją \(\displaystyle{ A_1,…, A_n}\) takie że: \(\displaystyle{ A^c= A_1 \cup … \cup A_n}\) oraz \(\displaystyle{ A_i \cap A_j= \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\).
Przykład
\(\displaystyle{ \mathfrak{M} = \{ [a, b) : a, b \in \overline{\RR} \}}\) jest półalgebrą. Przykładem algebry niebędącej \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą jest rodzina \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) złożona ze zbiorów \(\displaystyle{ A}\) takich, że \(\displaystyle{ A}\) albo \(\displaystyle{ A^c}\) jest zbiorem skończonym; \(\displaystyle{ X=\RR}\). Algebrą generowaną przez półalgebrę \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) jest \(\displaystyle{ \{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k : \ A_i \cap A_j = \emptyset , i \neq j \}.}\)

Filtr jest to struktura \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) złożona ze zbiorów niepustych, takich że:
  • Jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathfrak{M}}\) i \(\displaystyle{ B \in \mathfrak{M},}\) to \(\displaystyle{ A \cap B \in \mathfrak{M}}\)
  • Jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathfrak{M}}\) i \(\displaystyle{ A \subset B,}\) to \(\displaystyle{ B \in \mathfrak{M}}\)
tj. słownie: ( Filtr to struktura zamknięta na operacje “część wspólna” i „nadzbiór” ). Jeśli
\(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) jest filtrem na \(\displaystyle{ X}\), to istnieje jedyny filtr \(\displaystyle{ \mathfrak{\overline{M}}}\), który zawiera \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) i taki, że jeśli \(\displaystyle{ A \notin \mathfrak{\overline{M}}}\) to \(\displaystyle{ \{\mathfrak{\overline{M}}, A \}}\) nie jest filtrem (tzw. ultrafiltr).

Przykład 1
Niech \(\displaystyle{ X= \{ 1,2,3,... \}=\NN}\) do \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) należą zbiory “koskończone” - i tylko takie. (filtr Frécheta).
Uwaga: zbiór \(\displaystyle{ A}\) nazywa się „koskończonym” jeśli jego dopełnienie \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest zbiorem skończonym.

Przykład 2
Niech \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \neq X}\) to \(\displaystyle{ F_A= \{ B \subset X : A \subset B \}}\) jest to tzw. filtr główny.
\(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) jest klasa monotoniczną gdy:
Jeśli \(\displaystyle{ A_n \nearrow A}\) lub \(\displaystyle{ A_n \searrow A}\) przy czym \(\displaystyle{ A_n \in \mathfrak{M},}\) to \(\displaystyle{ A \in \mathfrak{M}.}\)
przy czym \(\displaystyle{ A_n \nearrow A}\) jeśli \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset …}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n =A}\) i analogicznie:
\(\displaystyle{ A_n \searrow A}\) jeśli \(\displaystyle{ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset …}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n =A}\).

Z definicji wynika, że jeśli \(\displaystyle{ A_n \searrow A}\) to \(\displaystyle{ A_n^c \nearrow A^c}\) (i odwrotnie). Klasą monotoniczną nie jest np. struktura \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) zbiorów „koskończonych” gdy \(\displaystyle{ X=\RR}\), bo \(\displaystyle{ \mathfrak{M} \ni A_n = X \setminus \{1,...,n \} \searrow X \setminus \NN \notin \mathfrak{M}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą to jest też klasą monotoniczną. Jeśli \(\displaystyle{ \mathfrak{M}}\) jest algebrą oraz klasą monotoniczną, to jest też \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą, gdyż
\(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k= \bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} A_k)= A_1 \cup (A_1 \cup A_2) \cup (A_1 \cup A_2 \cup A_3) \cup ...}\)


Typowe struktury zbiorów (end).
Ostatnio zmieniony 29 gru 2021, o 20:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
szw1710

Typowe struktury zbiorów

Post autor: szw1710 »

Opisz jeszcze ideał. Dopełnienia zbiorów z filtru stanowią właśnie ideał. Ideałem są np. zbiory miary zero, zbiory z własnością Baire'a itp.

Miło mi, ze cytujesz mój temat :)
ODPOWIEDZ