Holandia, 1990: siedmiokat foremny
: 2 kwie 2022, o 15:04
Dzień dobry, próbuje zrobić poniższe zadanie trygonometrycznie, lecz nie wychodzi mi ostatnia równość. Możliwe też, że gdzieś na początku przybrałem nieprawdziwe założenie, bo po podstawieniu prawdziwych liczb zamiast zmiennych, lewa strona nie jest równa prawej. Zależy mi żeby zrobić je trygonometrycznie, jeżeli się da, bo sposób nietrygonometryczny już znam.
Treść zadania: Dany jest siedmiokąt foremny \(\displaystyle{ ABCDE{}FG}\) o boku długości \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = 1. }\)
Moje rowzwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu opisanego na siedmiokącie foremnym \(\displaystyle{ ABCD{}EFG}\), \(\displaystyle{ r = OC, M }\) - punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ BO }\) i \(\displaystyle{ AC, HC = HD = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2}, \angle MOD = \angle COM = \alpha }\).
Stąd \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2r}, \cos \alpha = \frac{\sqrt{r^{2} - \frac{1}{4} }}{r} }\)
\(\displaystyle{ BO}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ AC}\), więc \(\displaystyle{ \angle AMO = 90^\circ.}\)
Kąt \(\displaystyle{ \angle AOB = 2\alpha }\), kąt \(\displaystyle{ \angle MAO = 90^\circ -2 \alpha }\).
Więc \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha = \frac{AC}{2r}}\), więc \(\displaystyle{ AC = \sin 2 \alpha \cdot 2r }\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha }\),
więc \(\displaystyle{ AC = 4r \sin \alpha \cos \alpha. }\)
Stąd \(\displaystyle{ AC = \frac{2\sqrt{r^{2} - \frac{1}{4} }}{r}. }\)
Kąt \(\displaystyle{ \angle AOD = 6 \alpha }\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie połową boku \(\displaystyle{ AD}\), wtedy kąt \(\displaystyle{ \angle APO = 90^\circ}\), a kąt \(\displaystyle{ \angle POA = 3 \alpha }\), więc \(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = \frac{AD}{2r}. }\)
Używając funkcji trygonometrycznej potrojonego kąta: \(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = -4 \sin \alpha ^{3} + 3 \sin \alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2r} }\) wychodzi mi, że \(\displaystyle{ AD = 3- \frac{1}{2 r^{2} } }\).
Podstawiając to do wzoru głównego, nie wychodzi mi wynik. Czy gdzieś popełniłem błąd?
Treść zadania: Dany jest siedmiokąt foremny \(\displaystyle{ ABCDE{}FG}\) o boku długości \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = 1. }\)
Moje rowzwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu opisanego na siedmiokącie foremnym \(\displaystyle{ ABCD{}EFG}\), \(\displaystyle{ r = OC, M }\) - punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ BO }\) i \(\displaystyle{ AC, HC = HD = \frac{CD}{2} = \frac{1}{2}, \angle MOD = \angle COM = \alpha }\).
Stąd \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2r}, \cos \alpha = \frac{\sqrt{r^{2} - \frac{1}{4} }}{r} }\)
\(\displaystyle{ BO}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ AC}\), więc \(\displaystyle{ \angle AMO = 90^\circ.}\)
Kąt \(\displaystyle{ \angle AOB = 2\alpha }\), kąt \(\displaystyle{ \angle MAO = 90^\circ -2 \alpha }\).
Więc \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha = \frac{AC}{2r}}\), więc \(\displaystyle{ AC = \sin 2 \alpha \cdot 2r }\).
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha }\),
więc \(\displaystyle{ AC = 4r \sin \alpha \cos \alpha. }\)
Stąd \(\displaystyle{ AC = \frac{2\sqrt{r^{2} - \frac{1}{4} }}{r}. }\)
Kąt \(\displaystyle{ \angle AOD = 6 \alpha }\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie połową boku \(\displaystyle{ AD}\), wtedy kąt \(\displaystyle{ \angle APO = 90^\circ}\), a kąt \(\displaystyle{ \angle POA = 3 \alpha }\), więc \(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = \frac{AD}{2r}. }\)
Używając funkcji trygonometrycznej potrojonego kąta: \(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = -4 \sin \alpha ^{3} + 3 \sin \alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2r} }\) wychodzi mi, że \(\displaystyle{ AD = 3- \frac{1}{2 r^{2} } }\).
Podstawiając to do wzoru głównego, nie wychodzi mi wynik. Czy gdzieś popełniłem błąd?