[Wielomiany] USA, 76

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
anxerx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 6 lut 2022, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 2 razy

[Wielomiany] USA, 76

Post autor: anxerx » 7 lut 2022, o 00:03

Dobry wieczór, czy byłby ktoś mi w stanie pomóc z poniższym zadaniem, nie używając wiedzy o liczbach zespolonych?
5th USAMO 1976, zadanie 5:
Udowodnij, że jeżeli wielomiany \(\displaystyle{ P(x), Q(x), R(x)}\) i \(\displaystyle{ S(x)}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ P(x^5) + x \cdot Q(x^5) + x^2 \cdot R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \cdot S(x)}\),
to \(\displaystyle{ P(X)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x - 1}\).
Ostatnio zmieniony 7 lut 2022, o 02:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9834
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2231 razy

Re: USA, 76

Post autor: Dasio11 » 7 lut 2022, o 10:20

Dzieląc wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-1}\) mamy

\(\displaystyle{ P(x) = (x-1) P_0(x) + a}\)

dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ P_0(x)}\) i \(\displaystyle{ a \in \RR}\). Z założenia mamy wtedy

\(\displaystyle{ (x^5-1) P_0(x^5) + a + x \cdot Q(x^5) + x^2 \cdot R(x^5) = (x^4+x^3+x^2+x+1) \cdot S(x)}\)

czyli

\(\displaystyle{ a + x \cdot Q(x^5) + x^2 \cdot R(x^5) = (x^4+x^3+x^2+x+1) \cdot S_1(x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ S_1(x) = S(x) - (x-1) P_0(x^5)}\). W analogiczny sposób możemy zastąpić \(\displaystyle{ Q(x^5)}\) przez pewne \(\displaystyle{ b \in \RR}\) i \(\displaystyle{ R(x^5)}\) przez \(\displaystyle{ c \in \RR}\), tak że

\(\displaystyle{ a + x \cdot b + x^2 \cdot c = (x^4+x^3+x^2+x+1) \cdot S_2(x)}\)

dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ S_2(x)}\). Widać stąd łatwo, że \(\displaystyle{ S_2(x) = 0}\), bo w przeciwnym razie stopień prawej strony wynosiłby przynajmniej cztery, podczas gdy stopień lewej to najwyżej dwa. Stąd dalej \(\displaystyle{ a = b = c = 0}\), w szczególności \(\displaystyle{ a = 0}\), tj. \(\displaystyle{ P(x) = (x-1) P_0(x)}\).

ODPOWIEDZ