Nikt nie zrobił tematu, więc go zrobię. Pojawiły się już oficjalne wyniki zawodów, a zadania są już dawno dostępne na stronie IMO.
link do wyników polaków:
Zadanie 1. Skończony zbiór \(\displaystyle{ S}\) składający się z punktów na płaszczyźnie nazwiemy zbalansowanym jeśli dla każdej pary różnych punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) należących do \(\displaystyle{ S}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ C}\) należący do \(\displaystyle{ S}\) taki, że \(\displaystyle{ AC=BC}\). Powiemy, że \(\displaystyle{ S}\) jest bezśrodkowy, jeśli nie istnieje trójka parami różnych punktów \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C}\) należących do \(\displaystyle{ S}\), dla której istniałby punkt \(\displaystyle{ P}\) należący do \(\displaystyle{ S}\) spełniający \(\displaystyle{ PA=PB=PC}\)
(a)Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n \ge 3}\) istnieje zbalansowany zbiór składający się z \(\displaystyle{ n}\) punktów
(b) Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n \ge 3}\) , dla których istnieje zbalansowany bezśrodkowy zbiór składający się z \(\displaystyle{ n}\) punktów
Zadanie 2. Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) dodatnich liczb całkowitych, dla których każda z liczb \(\displaystyle{ ab-c,bc-a,ca-b}\)
jest potęgą dwójki
Zadanie 3. Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\) , w którym \(\displaystyle{ AB>AC}\). Niech \(\displaystyle{ \Gamma}\) będzie okręgiem opisanym na tym trójkącie. \(\displaystyle{ H}\) będzie ortocentrum, zaś \(\displaystyle{ F}\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\). Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie punktem na okręgu \(\displaystyle{ \Gamma}\) dla którego \(\displaystyle{ \angle HQA = 90}\), zaś \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem na okręgu \(\displaystyle{ \Gamma}\) dla którego \(\displaystyle{ \angle HKQ=90}\). Przypuśćmy, że punkty \(\displaystyle{ A,B,C,K}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są parami różne i leżą w tej właśnie kolejności na okręgu \(\displaystyle{ \Gamma}\)
Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ KQH}\) oraz \(\displaystyle{ FKM}\) są do siebie styczne
Dzień 2.
Zadanie 4. Okrąg \(\displaystyle{ \Omega}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) jest opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg \(\displaystyle{ \Gamma}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) przy czym punkty \(\displaystyle{ B,D,E}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) są parami różne i leżą w tej właśnie kolejności na prostej \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) są punktami przecięcia okręgów \(\displaystyle{ \Gamma}\) i \(\displaystyle{ \Omega}\) przy czym punkty \(\displaystyle{ A,F,B,C}\) oraz \(\displaystyle{ G}\) leżą w tej właśnie kolejności na okręgu \(\displaystyle{ \Omega}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie drugim punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BDF}\) z odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\). Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie drugim punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ CGE}\) z odcinkiem \(\displaystyle{ CA}\).
Przypuśćmy, że proste \(\displaystyle{ FK}\) i \(\displaystyle{ GL}\) są różne i przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ X}\). Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ X}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AO}\)
Zadanie 5. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełniające równanie \(\displaystyle{ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)}\)
dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)
Zadanie 6. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_1,a_2,...}\) liczb całkowitych spełniający następujące warunki:
(i) \(\displaystyle{ 1 \le a_j \le 2015}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ j \ge 1}\)
(ii) \(\displaystyle{ k+a_k \neq l+a_l}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ 1\le k<l}\)
Wykazać, że istnieją dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ N}\) takie, że \(\displaystyle{ |\sum^{n}_{j=m+1}(a_j-b)|\le 1007^2}\)
dla wszystkich liczb całkowitych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) spełniających \(\displaystyle{ n>m \ge N}\)
No ogólnie gratulacje dla całej naszej reprezentacji za bardzo dobry wynik, a szczególne gratulacje należą się Adamowi, który naprawdę rozwalił ten contest.
3.
Ukryta treść:
Niech \(\displaystyle{ D, E}\) będą spodkami wysokości z wierzchołków \(\displaystyle{ B, C}\). Oczywiście punkty \(\displaystyle{ E, H, D, Q, A}\) są współokręgowe. Ze znanego lematu wiadomo również, że \(\displaystyle{ M, H, Q}\) są współliniowe. Łatwy rachunek na kątach pokazuje także, że \(\displaystyle{ MCQE}\) jest cykliczny oraz, że \(\displaystyle{ ME=MC}\), skąd otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ MC^2= MH \cdot MQ}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem opisanym na \(\displaystyle{ HKQ}\) oraz \(\displaystyle{ J= AQ \cap BC}\). Z twierdzenia o trzech osiach potęgowych dla okręgów \(\displaystyle{ \Omega}\), opisanego na \(\displaystyle{ BCDE}\) oraz opisanego na \(\displaystyle{ ADE}\) dostajemy współliniowość \(\displaystyle{ D, E, J}\). Widzimy więc, że znanego lematu o dwustosunku mamy \(\displaystyle{ ( B, C; F, J)=1}\). Z założenia \(\displaystyle{ AB>AC}\) mamy to, że \(\displaystyle{ F, J}\) leżą po tej samej stronie punktu \(\displaystyle{ M}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie drugim punktem przecięcia \(\displaystyle{ MK}\) z \(\displaystyle{ \omega}\). Rozważmy teraz inwersję w \(\displaystyle{ M}\) o promieniu \(\displaystyle{ MC}\). Ponieważ \(\displaystyle{ F, J}\) są sprzężone harmoniczne względem \(\displaystyle{ B, C}\), zachodzi \(\displaystyle{ MC^2=MJ\cdot MF}\). Widzimy w więc, że \(\displaystyle{ \omega}\) w tej inwersji jest stały, a okrąg opisany na \(\displaystyle{ MFK}\) przechodzi na prostą \(\displaystyle{ JP}\). Musimy więc pokazać, że prosta ta jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\). Ponieważ \(\displaystyle{ AQ}\) jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\), na mocy twierdzenia Pascala dla sześciokąta \(\displaystyle{ PPHQQK}\) teza równoważna jest temu, że \(\displaystyle{ PH, KQ, BC}\) są współpękowe. To z kolei na mocy twierdzenia o trzech osiach potęgowych będzie zachodziło wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ BCPH}\) będzie cykliczny. Niech więc \(\displaystyle{ R=BC \cap PQ}\). Oczywiście \(\displaystyle{ HFRP}\) jest cykliczny, więc \(\displaystyle{ \angle FHC= \angle PRC}\). Trzeba więc udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle BHF= \angle RPC}\). Jednakże \(\displaystyle{ \angle BCK= \angle MPC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ACK = \angle JQK = \angle QPK = \angle MPR}\), skąd mamy tezę.