[IMO 2015] Wyniki/Zadania

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

[IMO 2015] Wyniki/Zadania

Post autor: marcin7Cd »

Nikt nie zrobił tematu, więc go zrobię. Pojawiły się już oficjalne wyniki zawodów, a zadania są już dawno dostępne na stronie IMO.
link do wyników polaków:

Kod: Zaznacz cały

https://www.imo-official.org/team_r.aspx?code=POL&year=2015


jak ktoś chce mogę przepisać zadania, aby były na forum, ale na stronie IMO też są.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[IMO 2015] Wyniki/Zadania

Post autor: timon92 »

marcin7Cd pisze:jak ktoś chce mogę przepisać zadania, aby były na forum
chcę

podobno zadania z drugiego dnia były zmieniane na szybko dzień przed zawodami, bo wcześniej ustalony zestaw wyciekł

gratulacje dla polskiej drużyny!
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

[IMO 2015] Wyniki/Zadania

Post autor: marcin7Cd »

Oto zadania:
Dzień 1.

Zadanie 1. Skończony zbiór \(\displaystyle{ S}\) składający się z punktów na płaszczyźnie nazwiemy zbalansowanym jeśli dla każdej pary różnych punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) należących do \(\displaystyle{ S}\) istnieje punkt \(\displaystyle{ C}\) należący do \(\displaystyle{ S}\) taki, że \(\displaystyle{ AC=BC}\). Powiemy, że \(\displaystyle{ S}\) jest bezśrodkowy, jeśli nie istnieje trójka parami różnych punktów \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C}\) należących do \(\displaystyle{ S}\), dla której istniałby punkt \(\displaystyle{ P}\) należący do \(\displaystyle{ S}\) spełniający \(\displaystyle{ PA=PB=PC}\)

(a)Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n \ge 3}\) istnieje zbalansowany zbiór składający się z \(\displaystyle{ n}\) punktów

(b) Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n \ge 3}\) , dla których istnieje zbalansowany bezśrodkowy zbiór składający się z \(\displaystyle{ n}\) punktów

Zadanie 2. Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) dodatnich liczb całkowitych, dla których każda z liczb
\(\displaystyle{ ab-c,bc-a,ca-b}\)
jest potęgą dwójki

Zadanie 3. Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\) , w którym \(\displaystyle{ AB>AC}\). Niech \(\displaystyle{ \Gamma}\) będzie okręgiem opisanym na tym trójkącie. \(\displaystyle{ H}\) będzie ortocentrum, zaś \(\displaystyle{ F}\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\). Niech \(\displaystyle{ Q}\) będzie punktem na okręgu \(\displaystyle{ \Gamma}\) dla którego \(\displaystyle{ \angle HQA = 90}\), zaś \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem na okręgu \(\displaystyle{ \Gamma}\) dla którego \(\displaystyle{ \angle HKQ=90}\). Przypuśćmy, że punkty \(\displaystyle{ A,B,C,K}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są parami różne i leżą w tej właśnie kolejności na okręgu \(\displaystyle{ \Gamma}\)
Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach \(\displaystyle{ KQH}\) oraz \(\displaystyle{ FKM}\) są do siebie styczne

Dzień 2.

Zadanie 4. Okrąg \(\displaystyle{ \Omega}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) jest opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg \(\displaystyle{ \Gamma}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) przy czym punkty \(\displaystyle{ B,D,E}\) oraz \(\displaystyle{ C}\) są parami różne i leżą w tej właśnie kolejności na prostej \(\displaystyle{ BC}\). Punkty \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\) są punktami przecięcia okręgów \(\displaystyle{ \Gamma}\) i \(\displaystyle{ \Omega}\) przy czym punkty \(\displaystyle{ A,F,B,C}\) oraz \(\displaystyle{ G}\) leżą w tej właśnie kolejności na okręgu \(\displaystyle{ \Omega}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie drugim punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ BDF}\) z odcinkiem \(\displaystyle{ AB}\). Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie drugim punktem przecięcia okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ CGE}\) z odcinkiem \(\displaystyle{ CA}\).

Przypuśćmy, że proste \(\displaystyle{ FK}\) i \(\displaystyle{ GL}\) są różne i przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ X}\). Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ X}\) leży na prostej \(\displaystyle{ AO}\)

Zadanie 5. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)}\)
dla wszystkich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)

Zadanie 6. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_1,a_2,...}\) liczb całkowitych spełniający następujące warunki:
(i) \(\displaystyle{ 1 \le a_j \le 2015}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ j \ge 1}\)
(ii) \(\displaystyle{ k+a_k \neq l+a_l}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ 1\le k<l}\)
Wykazać, że istnieją dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ N}\) takie, że
\(\displaystyle{ |\sum^{n}_{j=m+1}(a_j-b)|\le 1007^2}\)
dla wszystkich liczb całkowitych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) spełniających \(\displaystyle{ n>m \ge N}\)
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[IMO 2015] Wyniki/Zadania

Post autor: Pinionrzek »

No ogólnie gratulacje dla całej naszej reprezentacji za bardzo dobry wynik, a szczególne gratulacje należą się Adamowi, który naprawdę rozwalił ten contest.
3.
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ