CzPS 2013 a

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

CzPS 2013 a

Post autor: KPR » 24 cze 2013, o 13:01

Zadanka z dnia I:

1. Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg, przy czym spełniony jest warunek \(\displaystyle{ BC=CD}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem o środku \(\displaystyle{ C}\) stycznym do \(\displaystyle{ BD}\), a \(\displaystyle{ I}\) środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABD}\). Wykazać, że prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ I}\), równoległa do \(\displaystyle{ AB}\), jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\).

2. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>0}\) oraz liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ x^n+\frac1{x^n}-2\ge n^2\left(x+\frac1x -2\right)}\)

3. Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie zbiorem takich liczb wymiernych \(\displaystyle{ r}\), dla których prawdziwe jest następujące zdanie:
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna, to przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ x^2-rx}\), \(\displaystyle{ x^3-rx}\) jest niewymierna.
Udowodnić, że
a) Jeśli \(\displaystyle{ r}\) jest wymierne i \(\displaystyle{ r\ge\frac43}\) lub \(\displaystyle{ r\le0}\), to \(\displaystyle{ r\in R}\).
b) Jeśli \(\displaystyle{ p,q}\) są różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, spełniającymi nierówność \(\displaystyle{ 3p<4q}\), to \(\displaystyle{ \frac pq\not\in R}\).

jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

CzPS 2013 a

Post autor: jakub_jabulko » 24 cze 2013, o 16:16

1. takie chyba na zachętę, choć moje rozwiązanie nie jest zbyt sprytne:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

CzPS 2013 a

Post autor: timon92 » 24 cze 2013, o 16:26

przez przypadek chyba dali zadania z CzPS Juniorów, drugie zadanie też jest trywialne...
Ukryta treść:    

jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

CzPS 2013 a

Post autor: jakub_jabulko » 24 cze 2013, o 16:58

fajne rozwiązanie tej nierówności, da się też indukcyjnie, stosując indukcję dwa razy. ale i tak jest więcej pisania

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

CzPS 2013 a

Post autor: KPR » 25 cze 2013, o 12:59

Drugi dzień:
4. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\), przy czym \(\displaystyle{ b}\) nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej. Wykazać, że \(\displaystyle{ x^2+ax+b}\) może być kwadratem liczby całkowitej jedynie dla skończenie wielu całkowitych \(\displaystyle{ x}\).
5. Trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ n}\) podzielony jest na \(\displaystyle{ n^2}\) komórek będących trójkątami równobocznymi (wiadomo jak). Niektóre z komórek są zarażone. Co sekundę, wszystkie niezarażone komórki, które sąsiadują bokiem z co najmniej dwoma zarażonymi komórkami, stają się zarażone. Wyznaczyć najmniejszą liczbę komórek, które wystarczy zarazić na początku, żeby po pewnym czasie każda komórka była zarażona, gdy \(\displaystyle{ n=12}\).
6. Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ o}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) okręgu \(\displaystyle{ o}\) zawierającego punkt \(\displaystyle{ A}\). Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ CP}\) przecina dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\) w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\)(punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ K}\), \(\displaystyle{ L}\) leżą w tej kolejności na prostej). Ponadto, \(\displaystyle{ M}\) jest punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ L}\) względem prostej \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ BKM}\) połowi odcinek \(\displaystyle{ BC}\).

diana7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 17 lip 2012, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Pomógł: 13 razy

CzPS 2013 a

Post autor: diana7 » 25 cze 2013, o 21:27

4:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

CzPS 2013 a

Post autor: timon92 » 26 cze 2013, o 18:29


jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

CzPS 2013 a

Post autor: jakub_jabulko » 26 cze 2013, o 23:17

6. też jakiś żal... szczególnie jak na ostatnie
Ukryta treść:    
w ogóle co oni odwalili z tym CzPS-em w tym roku, trzy zadania (1,2,6) darmowe. chyba, że zawsze tak robią.-- 26 cze 2013, o 23:20 --o lol, chyba ludzie się przestraszyli tej geometrii, jak może być najwięcej zer z darmówki...

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

CzPS 2013 a

Post autor: timon92 » 27 cze 2013, o 19:19

lol szóste faktycznie na samych kątach co za żal

jakub_jabulko pokaż jak liczyłeś

jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

CzPS 2013 a

Post autor: jakub_jabulko » 27 cze 2013, o 20:38

właściwie to są kąty+trywialna potęga punktu.
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

CzPS 2013 a

Post autor: timon92 » 27 cze 2013, o 20:58

fajne rozwiązanie

podobno autor zadania dostarczył to zadanie komisji z dwoma rozwiązaniami korzystającymi z izogonalnych sprzężeń (ja też z nich korzystałem), ale jak widać da się je rozwiązać znacznie prościej

pozdro

jakub_jabulko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 109
Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

CzPS 2013 a

Post autor: jakub_jabulko » 27 cze 2013, o 21:11

pokaż to swoje rozwiązanie, bo jestem ciekaw, jak tu wcisnąć sprzężenia izogonalne

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1596
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 452 razy

CzPS 2013 a

Post autor: timon92 » 27 cze 2013, o 21:50

izogsprz6:    

ODPOWIEDZ