CzPS 2013 a
-
- Użytkownik
- Posty: 254
- Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 31 razy
CzPS 2013 a
Zadanka z dnia I:
1. Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg, przy czym spełniony jest warunek \(\displaystyle{ BC=CD}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem o środku \(\displaystyle{ C}\) stycznym do \(\displaystyle{ BD}\), a \(\displaystyle{ I}\) środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABD}\). Wykazać, że prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ I}\), równoległa do \(\displaystyle{ AB}\), jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\).
2. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>0}\) oraz liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ x^n+\frac1{x^n}-2\ge n^2\left(x+\frac1x -2\right)}\)
3. Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie zbiorem takich liczb wymiernych \(\displaystyle{ r}\), dla których prawdziwe jest następujące zdanie:
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna, to przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ x^2-rx}\), \(\displaystyle{ x^3-rx}\) jest niewymierna.
Udowodnić, że
a) Jeśli \(\displaystyle{ r}\) jest wymierne i \(\displaystyle{ r\ge\frac43}\) lub \(\displaystyle{ r\le0}\), to \(\displaystyle{ r\in R}\).
b) Jeśli \(\displaystyle{ p,q}\) są różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, spełniającymi nierówność \(\displaystyle{ 3p<4q}\), to \(\displaystyle{ \frac pq\not\in R}\).
1. Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg, przy czym spełniony jest warunek \(\displaystyle{ BC=CD}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem o środku \(\displaystyle{ C}\) stycznym do \(\displaystyle{ BD}\), a \(\displaystyle{ I}\) środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABD}\). Wykazać, że prosta przechodząca przez \(\displaystyle{ I}\), równoległa do \(\displaystyle{ AB}\), jest styczna do \(\displaystyle{ \omega}\).
2. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x>0}\) oraz liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ x^n+\frac1{x^n}-2\ge n^2\left(x+\frac1x -2\right)}\)
3. Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie zbiorem takich liczb wymiernych \(\displaystyle{ r}\), dla których prawdziwe jest następujące zdanie:
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna, to przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ x^2-rx}\), \(\displaystyle{ x^3-rx}\) jest niewymierna.
Udowodnić, że
a) Jeśli \(\displaystyle{ r}\) jest wymierne i \(\displaystyle{ r\ge\frac43}\) lub \(\displaystyle{ r\le0}\), to \(\displaystyle{ r\in R}\).
b) Jeśli \(\displaystyle{ p,q}\) są różnymi liczbami pierwszymi nieparzystymi, spełniającymi nierówność \(\displaystyle{ 3p<4q}\), to \(\displaystyle{ \frac pq\not\in R}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
CzPS 2013 a
fajne rozwiązanie tej nierówności, da się też indukcyjnie, stosując indukcję dwa razy. ale i tak jest więcej pisania
-
- Użytkownik
- Posty: 254
- Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 31 razy
CzPS 2013 a
Drugi dzień:
4. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\), przy czym \(\displaystyle{ b}\) nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej. Wykazać, że \(\displaystyle{ x^2+ax+b}\) może być kwadratem liczby całkowitej jedynie dla skończenie wielu całkowitych \(\displaystyle{ x}\).
5. Trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ n}\) podzielony jest na \(\displaystyle{ n^2}\) komórek będących trójkątami równobocznymi (wiadomo jak). Niektóre z komórek są zarażone. Co sekundę, wszystkie niezarażone komórki, które sąsiadują bokiem z co najmniej dwoma zarażonymi komórkami, stają się zarażone. Wyznaczyć najmniejszą liczbę komórek, które wystarczy zarazić na początku, żeby po pewnym czasie każda komórka była zarażona, gdy \(\displaystyle{ n=12}\).
6. Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ o}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) okręgu \(\displaystyle{ o}\) zawierającego punkt \(\displaystyle{ A}\). Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ CP}\) przecina dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\) w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\)(punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ K}\), \(\displaystyle{ L}\) leżą w tej kolejności na prostej). Ponadto, \(\displaystyle{ M}\) jest punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ L}\) względem prostej \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ BKM}\) połowi odcinek \(\displaystyle{ BC}\).
4. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\), przy czym \(\displaystyle{ b}\) nie jest kwadratem żadnej liczby całkowitej. Wykazać, że \(\displaystyle{ x^2+ax+b}\) może być kwadratem liczby całkowitej jedynie dla skończenie wielu całkowitych \(\displaystyle{ x}\).
5. Trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ n}\) podzielony jest na \(\displaystyle{ n^2}\) komórek będących trójkątami równobocznymi (wiadomo jak). Niektóre z komórek są zarażone. Co sekundę, wszystkie niezarażone komórki, które sąsiadują bokiem z co najmniej dwoma zarażonymi komórkami, stają się zarażone. Wyznaczyć najmniejszą liczbę komórek, które wystarczy zarazić na początku, żeby po pewnym czasie każda komórka była zarażona, gdy \(\displaystyle{ n=12}\).
6. Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ o}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) okręgu \(\displaystyle{ o}\) zawierającego punkt \(\displaystyle{ A}\). Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ CP}\) przecina dwusieczną kąta \(\displaystyle{ BAC}\) w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\)(punkty \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ K}\), \(\displaystyle{ L}\) leżą w tej kolejności na prostej). Ponadto, \(\displaystyle{ M}\) jest punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ L}\) względem prostej \(\displaystyle{ BC}\). Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ BKM}\) połowi odcinek \(\displaystyle{ BC}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
CzPS 2013 a
6. też jakiś żal... szczególnie jak na ostatnie
w ogóle co oni odwalili z tym CzPS-em w tym roku, trzy zadania (1,2,6) darmowe. chyba, że zawsze tak robią.-- 26 cze 2013, o 23:20 --o lol, chyba ludzie się przestraszyli tej geometrii, jak może być najwięcej zer z darmówki...
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
CzPS 2013 a
fajne rozwiązanie
podobno autor zadania dostarczył to zadanie komisji z dwoma rozwiązaniami korzystającymi z izogonalnych sprzężeń (ja też z nich korzystałem), ale jak widać da się je rozwiązać znacznie prościej
pozdro
podobno autor zadania dostarczył to zadanie komisji z dwoma rozwiązaniami korzystającymi z izogonalnych sprzężeń (ja też z nich korzystałem), ale jak widać da się je rozwiązać znacznie prościej
pozdro
-
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 12 lut 2013, o 20:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz