EGMO 2013 - zadania
: 14 kwie 2013, o 15:13
Basia Mroczek zdobyła złoto, Ania Hoduń srebro, Ania Olech i Ania Czerwińska brąz.
Pierwszy dzień:
Zadanie 1. Bok \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przedłużono poza punkt \(\displaystyle{ C}\), otrzymując taki punkt \(\displaystyle{ D}\), że \(\displaystyle{ CD = BC}\). Bok \(\displaystyle{ CA}\) przedłużono poza punkt \(\displaystyle{ A}\), uzyskując taki punkt \(\displaystyle{ E}\), że \(\displaystyle{ AE = 2CA}\).
Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ AD = BE}\), to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny.
Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ m}\), dla których kwadrat \(\displaystyle{ m \times m}\) można rozciąć na pięć prostokątów o bokach będących liczbami \(\displaystyle{ 1,2,3,...,10}\) w pewnym porządku.
Zadanie 3. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dodatnią liczbą całkowitą.
(a) Dowieść, że istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ S}\) złożony z \(\displaystyle{ 6n}\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych, że najmniejsza wspólna wielokrotność dowolnych dwóch elementów tego zbioru nie przekracza \(\displaystyle{ 32n^2}\).
(b)Dowieść, że każdy zbiór \(\displaystyle{ T}\) złożony z \(\displaystyle{ 6n}\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych zawiera dwa elementy, których najmniejsza wspólna wielokrotność jest większa od \(\displaystyle{ 9n^2}\).
Drugi dzień:
Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) o tej własności, że istnieją trzy kolejne liczby całkowite, w których wielomian
\(\displaystyle{ P(n) = \frac{n^5 +a}{b}}\)
przyjmuje całkowite wartości.
Zadanie 5. Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) oraz styczny wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ \Omega}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ AB}\) i przecinająca wnętrze trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle ACP = \angle QCB}\).
Zadanie 6. Królewna Śnieżka i siedmiu krasnoludków mieszkają w swoim domku w lesie. Każdego spośród \(\displaystyle{ 16}\) kolejnych dni niektóre krasnoludki pracowały w kopalni diamentów, a pozostałe zbierały jagody w lesie. Żaden krasnoludek nie wykonywał obu tych prac jednego dnia. W każde dwa różne (niekoniecznie kolejne) dni co najmniej trzy krasnoludki wykonywały oba rodzaje prac. Ponadto pierwszego dnia każdy z siedmiu krasnoludków pracował w kopalni diamentów.
Udowodnić, że pewnego spośród tych \(\displaystyle{ 16}\) dni każdy z siedmiu krasnoludków zbierał jagody.
Szkice moich rozwiązań tych zadań, nad którymi mi się chciało myśleć:
ad 1.
ad 4.
Pierwszy dzień:
Zadanie 1. Bok \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) przedłużono poza punkt \(\displaystyle{ C}\), otrzymując taki punkt \(\displaystyle{ D}\), że \(\displaystyle{ CD = BC}\). Bok \(\displaystyle{ CA}\) przedłużono poza punkt \(\displaystyle{ A}\), uzyskując taki punkt \(\displaystyle{ E}\), że \(\displaystyle{ AE = 2CA}\).
Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ AD = BE}\), to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny.
Zadanie 2. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ m}\), dla których kwadrat \(\displaystyle{ m \times m}\) można rozciąć na pięć prostokątów o bokach będących liczbami \(\displaystyle{ 1,2,3,...,10}\) w pewnym porządku.
Zadanie 3. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dodatnią liczbą całkowitą.
(a) Dowieść, że istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ S}\) złożony z \(\displaystyle{ 6n}\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych, że najmniejsza wspólna wielokrotność dowolnych dwóch elementów tego zbioru nie przekracza \(\displaystyle{ 32n^2}\).
(b)Dowieść, że każdy zbiór \(\displaystyle{ T}\) złożony z \(\displaystyle{ 6n}\) parami różnych dodatnich liczb całkowitych zawiera dwa elementy, których najmniejsza wspólna wielokrotność jest większa od \(\displaystyle{ 9n^2}\).
Drugi dzień:
Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) o tej własności, że istnieją trzy kolejne liczby całkowite, w których wielomian
\(\displaystyle{ P(n) = \frac{n^5 +a}{b}}\)
przyjmuje całkowite wartości.
Zadanie 5. Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) oraz styczny wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ \Omega}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Prosta równoległa do prostej \(\displaystyle{ AB}\) i przecinająca wnętrze trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczna do okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \angle ACP = \angle QCB}\).
Zadanie 6. Królewna Śnieżka i siedmiu krasnoludków mieszkają w swoim domku w lesie. Każdego spośród \(\displaystyle{ 16}\) kolejnych dni niektóre krasnoludki pracowały w kopalni diamentów, a pozostałe zbierały jagody w lesie. Żaden krasnoludek nie wykonywał obu tych prac jednego dnia. W każde dwa różne (niekoniecznie kolejne) dni co najmniej trzy krasnoludki wykonywały oba rodzaje prac. Ponadto pierwszego dnia każdy z siedmiu krasnoludków pracował w kopalni diamentów.
Udowodnić, że pewnego spośród tych \(\displaystyle{ 16}\) dni każdy z siedmiu krasnoludków zbierał jagody.
Szkice moich rozwiązań tych zadań, nad którymi mi się chciało myśleć:
ad 1.
Ukryta treść:
Ukryta treść: