Matematyka.pl

Rozwiązanie jest nie za dobrze zredagowane, ale na pewno złapiecie główną ideę.
\(\displaystyle{ f(m)|f(m)-f(0) \Rightarrow f(m)|f(0)}\), a skoro f przyjmuje tylko wartości dodatnie, w szczególności \(\displaystyle{ f(0)>0}\), to wartości tej funkcji są ograniczone z góry przez \(\displaystyle{ f(0)}\), które jest dzielona przez wszystkie inne jej wartości.
Banalna indukcja daje nam \(\displaystyle{ f(m)|f(km)}\) dla wszystkich całkowitych \(\displaystyle{ k}\) (\(\displaystyle{ f(m)|f(m(k+1))-f(mk)}\)).
Niech W będzie największa wartością, którą f przyjmuje dla argumentów różnych od 0 i niech l będzie liczbą o najmniejszym niezerowym module, dla której \(\displaystyle{ f(l)=W}\). Wtedy dla wszystkich całkowitych k mamy \(\displaystyle{ W=f(l)|f(kl)}\), ale jeżeli k jest niezerowe, to z definicji W mamy \(\displaystyle{ f(kl) \le W}\), czyli \(\displaystyle{ f(kl)=W}\). Jeżeli istniałaby jakaś liczba postaci \(\displaystyle{ kl+r}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<|r|<|l|}\), taka że \(\displaystyle{ f(kl+r)=W}\), to mielibyśmy \(\displaystyle{ W=f(kl)|f(kl+r)-f(r)}\), ale \(\displaystyle{ 0=W-W<W-f(r)<W}\), czyli otrzymaliśmy sprzeczność.
Zatem f przyjmuje wartość W w punktach podzielnych przez l (no w 0 jakąkolwiek wielokrotność l) i są to wszystkie punkty, w których jest ona przyjmowana. Ponadto mamy \(\displaystyle{ W=f(kl)|f(kl+r)-f(r) \Rightarrow f(kl+r)=f(r)}\), zatem wartości f na przedziałach długości \(\displaystyle{ l-1}\), (na które przedzieliły nam liczby całkowite podzielne przez l) wyglądają tak samo.
Oczywiście jeżeli m i n będą liczbami podzielnymi przez l, to warunek z tezy zachodzi.
No i teraz chwila skupienia, bo zaczynam mówić rozumowanie, które będę powtarzać, jednak nie chcę mi się myśleć nad ścisłym sformułowaniem indukcyjnym (ale ten krok jest już w sporej części podobny do tego, co już zrobiliśmy).
Niech X będzie największa wartością mniejszą od W przyjmowaną przez f na przedziale [1, l-1] i niech g będzie najmniejszym dodatnim argumentem takim, że \(\displaystyle{ f(g)=X}\). Niech hg będzie najmniejsza wielokrotnością g większą od l. \(\displaystyle{ f(l)|f(hg)-f(hg-l)}\), jeżeli g nie dzieli l, to \(\displaystyle{ hg-l<g \Rightarrow 0<f(hg-l)<X}\), ale z prostych przyczyn \(\displaystyle{ f(hg)=X}\), zatem \(\displaystyle{ W|X-f(hg-l)}\), ale \(\displaystyle{ 0<f(hg)-f(hg-l)<f(hg)=X<W}\), zatem mamy sprzeczność. Zatem g musi dzielić l. Skoro \(\displaystyle{ g|l}\), to \(\displaystyle{ X=f(g)|f(l)=W}\) i proste sprawdzenie dowodzi, że jeżeli m i n są wielokrotnościami g, to warunek z tezy zachodzi. Ponadto \(\displaystyle{ X=f(g) | f(kg) | f(kg+r)-f(r)}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ 0<r<g}\), to \(\displaystyle{ f(kg+r)=f(r)}\), zatem wartości f na przedziale \(\displaystyle{ [1, g-1]}\) determinują nam wartości f w całej dziedzinie.
Powtarzamy to rozumowanie tak długo jak możemy, kiedyś na pewno skończymy i otrzymamy analogiczny wniosek, że jeżeli m i n są wielokrotnościami 1, to warunek z tezy zachodzi (musimy po prostu kiedyś dojść do momentu, w którym z punktów, w których jeszcze nie znamy wartości f, największa wartość f przyjmuje w punkcie 1).
c.b.d.u.

To rozumowanie daje nam ogląd na to jak wyglądają wszystkie takie funkcje f spełniające założenia zadania.
Na początku w każdym całkowitym punkcie zadajemy jakąś ustaloną wartość \(\displaystyle{ a_1}\). Potem wybieramy sobie jakieś \(\displaystyle{ a_2}\) oraz \(\displaystyle{ b_1}\) i w całkowitych wielokrotnościach \(\displaystyle{ b_1}\) poprawiamy wartość naszej funkcji na \(\displaystyle{ a_1a_2}\). Następnie wybieramy sobie jakieś \(\displaystyle{ a_3}\) i \(\displaystyle{ b_2}\) i w całkowitych wielokrotnościach \(\displaystyle{ b_1b_2}\) poprawiamy wartość naszej funkcji na \(\displaystyle{ a_1a_2a_3}\). Powtarzamy to tak długo jak chcemy i na końcu jeszcze w zerze ustalamy jakąkolwiek wielokrotność tego, co tam mamy aktualnie.
Przykładowa funkcja, którą możemy otrzymać takim sposobem wygląda np. tak:
\(\displaystyle{ 120, 2, 6, 2, 6, 2, 24, 2, 6, 2, 6, 2, 24, 2}\) (120 to wartość w 0, a potem po kolei).