Pochodna funkcji złożonej

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Pochodna funkcji złożonej

Post autor: Belf »

Wzór na pochodną funkcji złożonej typu:
  • \(\displaystyle{ h(x) = \left[ f(x)\right]^{g(x)}}\)
Przekształcamy tą funkcję do postaci:
  • \(\displaystyle{ h(x) = \left( e^{\ln \left[f(x) \right]}\right) ^{g(x)}}\)
a następnie do postaci:
  • \(\displaystyle{ h(x)=e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]}}\)
Teraz liczymy pochodną:
  • \(\displaystyle{ \begin{array}{rl}
    h'(x)=&e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]} \cdot \left[ g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right] \right]'=e^{g(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]}\cdot \left[ g'(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]+ \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right]=\\=& \left[ f(x)\right]^{g(x)}\cdot \left[ g'(x)\cdot \ln \left[ f(x)\right]+ \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\right]
    \end{array}}\)
Przykład:

\(\displaystyle{ h(x) = x^{x}}\)

\(\displaystyle{ h(x) = e^{x\cdot \ln x}}\)

\(\displaystyle{ h'(x) = e^{x\cdot \ln x}\cdot \left( 1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x} \right)=e^{x\cdot \ln x}\cdot \left( \ln x+1\right)=x^{x}\cdot\left( \ln x+1\right)}\)
Ostatnio zmieniony 6 sty 2018, o 20:26 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Pochodna funkcji złożonej

Post autor: bartek118 »

Pochodną funkcji postaci:
  • \(\displaystyle{ h(x) = \left[ f(x)\right]^{g(x)}}\)
możemy obliczyć również innym sposobem.

Zlogarytmujmy obustronnie powyższą równość. Dostajemy:
  • \(\displaystyle{ \ln [ h(x) ] = g(x) \ln [f(x)]}\)
Różniczkując powyższą równość dostajemy:
  • \(\displaystyle{ \frac{1}{h(x)} h'(x) = g'(x) \ln [f(x)] + g(x) \frac{1}{f(x)} f'(x)}\)
czyli:
  • \(\displaystyle{ h'(x) = h(x) \left[ g'(x) \ln [f(x)] + \frac{g(x) f'(x)}{f(x)} \right]}\)
Ostatnio zmieniony 6 sty 2018, o 20:22 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Kompozycja.
ODPOWIEDZ