Manipulacje w C - Typowe zadania

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Manipulacje w C - Typowe zadania

Post autor: mol_ksiazkowy »

Manipulacje w C - Typowe zadania



Przykład 1
Wykonać takie obliczenia:
a)\(\displaystyle{ z_{1}=i( -1+3i)}\)
b) \(\displaystyle{ z_{2}= 3 - 4i - ( 2 - 3i)}\)
c) \(\displaystyle{ z_{3} = \frac{9+ 7i}{1+3i}.}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ z_1^2 , \arg( z_2) , |z_3|.}\)

Rozwiązanie
a) \(\displaystyle{ z_{1}= -3 - i}\)
b) \(\displaystyle{ z_2= 1 - i}\)
c) \(\displaystyle{ z_3 = \frac{9+ 7i}{1+3i} \cdot \frac{1-3i}{1-3i} = 3-2i}\)

\(\displaystyle{ z_1^2 = 8+6i}\)
\(\displaystyle{ \arg(z_2) = \frac{7 \pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ |z_3|= \sqrt{13}}\)

Przykład 2
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{z+2w}{1-i}+\frac{z-2w}{1+i}=20+5i\\iz+w=1-i. \end{cases}}\)

Rozwiązanie
Podstawiając \(\displaystyle{ w=1-i( 1+z)}\) do\(\displaystyle{ (z+2w)(1+i)+ (z-2w)(1-i)= 2(20+5i) }\) zredukowanego do \(\displaystyle{ z+2wi=20+5i}\) mamy rozwiązanie
\(\displaystyle{ \begin{cases}z=6+i \\w=2-7i. \end{cases}}\)

Przykład 3
Udowodnić tożsamość \(\displaystyle{ \cos( 3\alpha) =4\cos^3(\alpha) - 3\cos( \alpha).}\)

Rozwiązanie
I sposób:
\(\displaystyle{ \cos( 3\alpha) +i\sin( 3\alpha ) = (\cos( \alpha) +i\sin( \alpha))^3 = \cos^3 ( \alpha)+3i \cos^2(\alpha)\sin(\alpha) - 3\cos(\alpha)\sin^2(\alpha) - i \sin^3(\alpha)}\)
a porównując części rzeczywistą obu wyrażeń (i stosując jedynkę trygonometryczną):
\(\displaystyle{ \cos(3 \alpha)= \cos^3 (\alpha)- 3\cos(\alpha) \sin^2(\alpha)= 4\cos^3(\alpha) - 3\cos( \alpha). }\)

II sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ z= \cos( \alpha) + i \sin( \alpha)}\), to wtedy
\(\displaystyle{ \cos(3\alpha) =\frac{1}{2}\left( z^3 + \frac{1}{z^3}\right) = \frac{1}{2}\left( z + \frac{1}{z}\right) \left( z^2-1+\frac{1}{z^2}\right) }\)
gdyż \(\displaystyle{ z^2+\overline{z}^2 = (z+\overline{z})^2 -2 }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{z^2} = \overline{z}^2.}\)

III sposób:
Ze wzoru \(\displaystyle{ \sin( x ) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}}\) tj. \(\displaystyle{ \sin^{3} x=( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i})^{3} = \frac{-1}{4} \frac{ e^{3ix} - 3(e^{ix}- e^{-ix})- e^{-3ix}}{2i} = -\frac{1}{4}\sin( 3x) + \frac{3}{4}\sin(x)}\) czyli \(\displaystyle{ \sin( 3x) = 3\sin( x ) - 4\sin^3( x).}\)


Przykład 4
Obliczyć
a) \(\displaystyle{ z=\sqrt[2]{9-40i}}\)
b) \(\displaystyle{ z=\sqrt[4]{i}}\)
c) \(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-1}}\)

Rozwiązanie
a) Niech \(\displaystyle{ ( a+bi) ^{2} = 9-40i}\) oraz \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\); stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2-b^2 =9 \\2ab=-40 \end{cases}}\)
tj. \(\displaystyle{ b=-\frac{20}{a}}\) co oznacza, iż \(\displaystyle{ a^2- \frac{400}{a^2} =9}\) dla \(\displaystyle{ t=a^2}\) jest równaniem \(\displaystyle{ t^2 - 9t - 400=0}\) tj. \(\displaystyle{ t=-16}\) lub \(\displaystyle{ t=25}\). A zatem \(\displaystyle{ a=5}\) i \(\displaystyle{ b=-4}\) lub \(\displaystyle{ a=-5}\) i \(\displaystyle{ b=4.}\)
Na koniec sprawdzenie: \(\displaystyle{ ( 5-4i) ^2= (-5+4i)^2=9-40i.}\)

b) Skoro \(\displaystyle{ i= \cos(\frac{\pi}{2} ) + i \sin( \frac{\pi}{2})}\), to dla \(\displaystyle{ k=0, 1, 2, 3}\) jest: \(\displaystyle{ w_k = \cos( \frac{ \frac{\pi}{2}+ 2k\pi}{4}) + i \sin( \frac{ \frac{\pi}{2}+ 2k\pi}{4}). }\)

c) Jeśli \(\displaystyle{ z^{3}=-1}\), to \(\displaystyle{ z^{3}+1=(z+1)(z^2-z+1)=0}\) stąd \(\displaystyle{ z=-1}\) lub \(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}( 1 \pm \sqrt{3}i).}\)


Przykład 5
Obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sin( x ) + \sin( 2x ) + …. + \sin( nx)}\) oraz wyrazić ją jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ z= \cos( x) + i \sin( x).}\)

Rozwiązanie
Jeśli \(\displaystyle{ \begin{cases} I_n( x ) = \sin( x ) + \sin( 2x) + …. + \sin( nx ) \\ R_n( x) = \cos( x ) + \cos( 2x) + …. + \cos( nx) \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ R_n( x) + iI_n( x) = z \frac{z^{n} -1}{z-1}= z+z^{2}+... + z^{n}}\) zatem \(\displaystyle{ I_n( x) = \Im \left( z \frac{z^{n} - 1}{z-1}\right) . }\).
Ponadto
\(\displaystyle{ \frac{z^n-1}{z-1}= \frac{\sin( \frac{nx}{2}) }{ \sin(\frac{x}{2}) } ( \cos(\frac{(n+1)x}{2} ) +i \sin( \frac{( n+1) x}{2}))}\)
stąd (po uproszczeniach) \(\displaystyle{ I_n( x) = \frac{\sin(\frac{nx}{2} ) \sin( \frac{(n+1)x}{2}) }{ \sin( \frac{x}{2}) }}\) (o ile \(\displaystyle{ x \neq 2k\pi}\)).
Można także przekształcić wyrażenie \(\displaystyle{ \Im ( z \frac{z^{n} - 1}{z-1}) =\Im (e^{ix} \frac{1-e^{inx}}{1-e^{ix}})}\) ze wzoru \(\displaystyle{ \Im(e^{-ix} - e^{ix}) = -2 \sin(x).}\)


Przykład 6
Udowodnić że \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos( 6^\circ) }+ \frac{1}{\sin(24^\circ)} +\frac{1}{sin( 48^\circ) }=\frac{1}{\sin( 12^\circ) }.}\)

Rozwiązanie :
Niech \(\displaystyle{ z=\cos( 6^\circ) +i\sin( 6^\circ )}\) ; tj. :
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos( 6^\circ ) =\frac{z^2+1}{2z} \\ \sin( 12^\circ) = \frac{z^4-1}{2iz^2} \\ \sin(24^\circ) = \frac{z^8-1}{2iz^4} \\ \sin( 48^\circ) = \frac{z^{16}-1}{2iz^8}. \end{cases}}\)
Wystarczy wykazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{2z}{z^{2}+1}= 2iz ( \frac{z}{z^{4} - 1} - \frac{z^{3}}{z^{8} - 1} - \frac{z^{7}}{z^{16} - 1}) = 2 iz( \frac{z^{13} - z^{11} + z^{9} - z^{7}+ z^{5} - z^{3} +z }{iz - 1})}\) a tak jest gdyż \(\displaystyle{ ( z^2+1) ( z^{13} - z^{11} + z^{9} - z^{7}+ z^{5} - z^{3}+ z) = z^{15} +z= i+z}\) bo \(\displaystyle{ z^{15}= i.}\)


Przykład 7
Wykazać że \(\displaystyle{ \arctg ( \frac{1}{2}) + \arctg ( \frac{1}{3}) = \frac{\pi}{4}}\) (rys.) tzw. Three Square Problem
Ukryta treść:    
Rozwiązanie
Mamy
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=\arg( 1+i) \\ b=\arg( 2+i) \\ c=\arg( 3+i) \end{cases}}\)
oraz \(\displaystyle{ 10i=( 1+i)( 2+i)(3+i) = |1+i|e^{ia} |2+i|e^{ib} |3+i|e^{ic} = \sqrt{2} \sqrt{5}\sqrt{10} e^{i( a+b+c) } = 10 e^{i( a+b+c) }}\) stąd \(\displaystyle{ e^{i( a+b+c) }= i = e^{i ( \frac{\pi}{2}+ 2k \pi) }}\). Jednak \(\displaystyle{ a+b+c < \frac{3\pi}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ k=0}\) tj. \(\displaystyle{ a+b+c = \frac{\pi}{2}}\).

Logarytm liczby zespolonej oraz potęga o podstawie i wykładniku zespolonym
Logarytmem liczby zespolonej \(\displaystyle{ z \neq 0}\) jest dowolna liczba zespolona \(\displaystyle{ w}\) taka, że \(\displaystyle{ e^{w} = z}\).
Jeśli \(\displaystyle{ z= re^{i \phi}}\) to \(\displaystyle{ \ln(z)= \ln(|z|)+ i \arg(z)}\).
Jeśli \(\displaystyle{ z, w}\) są liczbami zespolonymi, to \(\displaystyle{ z^w = e^{w \ln z}.}\)


Przykład 8
\(\displaystyle{ i^i = e^{i \ln i} = e^{i \cdot i (\frac{\pi}{2} +2k\pi)}= e^{-(\frac{\pi}{2} +2k\pi))}}\)


Użyteczne wzory
\(\displaystyle{ ( x, y) \mapsto ( x \cos(\phi) - y \sin(\phi) , x\sin( \phi) + y\cos(\phi))}\) obrót o kąt \(\displaystyle{ \phi}\)
\(\displaystyle{ e^{i \alpha}= \cos( \alpha) + i\sin( \alpha)}\) Euler
Jeśli \(\displaystyle{ z=\cos( \alpha) + i\sin( \alpha )}\) to \(\displaystyle{ \begin{cases} z^{n} + \frac{1}{z^{n}}= 2\cos( n\alpha ) \\ z^{n} - \frac{1}{z^n}= 2i \sin( n \alpha) \end{cases}}\)
Każda liczba zespolona \(\displaystyle{ z \neq 0}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych stopnia \(\displaystyle{ n}\), które wyrażają się wzorem:
\(\displaystyle{ w_{k}=\sqrt[n]{|z|}( \cos{ \frac{\phi+2k\pi}{n}}+i\ sin{ \frac{\phi+2k\pi}{n}})}\) gdzie \(\displaystyle{ k=0,1, \cdots , n-1 \ ; \phi=\arg(z)}\)
\(\displaystyle{ ( \cos( \phi ) + i\sin( \phi)) ^{n} = \cos( n\phi) + i \sin( n\phi) }\) dla \(\displaystyle{ n \in Z}\) (de Moivre)
\(\displaystyle{ \arg( z_1 \cdot … \cdot z_n) = \arg( z_1 ) + ... + \arg( z_n)}\) (\(\displaystyle{ \arg}\) jak logarytm)
\(\displaystyle{ i^{2} = -1}\) jednostka urojona

Zadania do rozwiązywania *
1. Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ \frac{3}{2+e^{i \alpha}}=x+yi}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha , x, y \in \RR}\), to \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4x-3.}\)
2. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z+|z|=3+i.}\)
3. Ile to jest \(\displaystyle{ \cos(\frac{\pi}{7}) + \cos(\frac{3\pi}{7}) + \cos( \frac{5\pi}{7})}\) ?
4. Przedstawić w formie \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\) wyrażenie:\(\displaystyle{ ( 1+a^{2})( 1+b^{2} )( 1+c^{2} )}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, x, y}\) są to liczby rzeczywiste.
5. Rozłożyć na czynniki \(\displaystyle{ z^{5}+ z - 1.}\)
6. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ z \in \CC \setminus \{ 1 \}}\) oraz \(\displaystyle{ |z| = 1}\), to istnieje jedyne \(\displaystyle{ x \in \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ z=\frac{x+i}{x-i}.}\)

Odpowiedzi, wskazówki
1. wsk. \(\displaystyle{ |\frac{3}{x+yi} - 2| = 1}\)
2. \(\displaystyle{ z = \frac{4}{3} +i}\)
3. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
4. wsk. Niech \(\displaystyle{ \begin{cases}z_1=1+ai \\ z_2=1+bi \\ z_3=1+ci \end{cases}}\)
obliczyć \(\displaystyle{ |z_1z_2z_3|}\)
5. wsk. \(\displaystyle{ z^{5}+ z - 1= (z^3+ az^2+b)( z^2+cz+ d)}\)
6. \(\displaystyle{ x= i \frac{z+1}{z-1}}\)
* Nie zamieszczać tu rozwiązań...Komentarze, Ewentualne błędy, ulepszenia, uogólnienia , inne metody rozwiązań i następne propozycje tzw. typowych zadań >> pw
ODPOWIEDZ