Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
Na marginesie warto zauważyć, że rozwinięcie to jest prawdziwe na całej płaszczyźnie zespolonej, tj. dla \(\displaystyle{ x \in \CC}\)
2.\(\displaystyle{ \sin x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n }{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \ldots, \quad x \in \RR}\)
Wyprowadzenie:
Niech \(\displaystyle{ f \colon \RR \ni x \to \sin x \in \RR}\), zauważmy, że \(\displaystyle{ \left( \sin x \right)' = \cos x = \sin \left( x + \tfrac{\pi}{2} \right)}\) a dalej:
\(\displaystyle{ \ddfrac{^n}{x^n} (\sin x ) = \ddfrac{^{n-1}}{x^{n-1}} \left( \sin \left( x + \frac{\pi}{2}\right) \right) = \ldots = \sin \left( x + \frac{n \pi}{2} \right)}\)
stąd obliczamy, że:
\(\displaystyle{ f^{(n)}(0) = \sin \frac{n \pi}{2} = \begin{cases} 0 & {\rm gdy } \; n \; {\rm jest parzyste} \\ (-1)^k & {\rm gdy } \; n = 2k+1, \; k \in \ZZ \end{cases}}\)
co pozwala ostatecznie zapisać:
\(\displaystyle{ \sin x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n }{(2n+1)!} x^{2n+1}, \quad x \in \RR}\)
w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\) wartość \(\displaystyle{ n}\)-tej pochodnej to: \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi n}{2} = (-1)^k}\) gdy \(\displaystyle{ n = 2k, \; k \in \ZZ}\), dla pozostałych \(\displaystyle{ n}\) pochodna się zeruje. Otrzymujemy więc rozwinięcie:
\(\displaystyle{ \cos x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, \quad x \in \RR}\)
Niech \(\displaystyle{ f \colon (-1, +\infty) \ni x \to \ln (1+x) \in \RR}\), wtedy pochodna \(\displaystyle{ f'}\) i jej rozwinięcie w szereg Maclaurina (patrz pkt. 4) to:
Całkując powyższe wyraz po wyrazie w granicach od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*} \int_0^x \left( \arctan t\right)' \, \dd t & = \int_0^x \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n t^{2n} \, \dd t = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n} \, \dd t \\
\arctan x & = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}
\end{align*}}\)
Szereg ten jest zbieżny dla \(\displaystyle{ |x| < 1}\) jak również na krańcach przedziału, tj. w punktach \(\displaystyle{ x = \pm 1}\) (na mocy kryterium Leibniza).
Jest to definicja liczb Bernoulliego.
Możemy jednak wyprowadzić rekurencyjną zależność dla współczynników \(\displaystyle{ B_n}\). Wpierw jednak uściślijmy jaką funkcję rozwijamy w szereg, chodzi o:
Dodatek
Najczęściej wykorzystywane metody przy rozwijaniu funkcji w szereg Maclaurina (jak również Taylora), to:
* Mając dane rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\), aby wyznaczyć rozwinięcie \(\displaystyle{ f(x^2)}\) (lub podobnej) wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x \to x^2}\). I tak np.:
* Czasem łatwiej jest wyznaczyć rozwinięcie pochodnej lub całki z danej funkcji. Np. Mając rozwinięcie funkcji kosinus wystarczy skorzystać z tego, iż \(\displaystyle{ (\cos x)' = - \sin x}\) by otrzymać rozwinięcie funkcji sinus.
* Jeżeli funkcja jest iloczynem kilku bardziej podstawowych funkcji, których rozwinięcie jest znane, można skorzystać z iloczynu Cauchy'ego szeregów by otrzymać szukane rozwinięcie - patrz [url=http://www.matematyka.pl/304176.htm#10]przykład 10[/url].