Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Ortogonalizacja Grama-Schmidta

Post autor: luka52 »

Ortogonalizacja Grama-Schmidta
Zastosowanie metody przedstawimy na przykładach. Teorię można znaleźć w podręcznikach z algebry liniowej czy w internecie (np. ).
Spis przykładów
  • Przykład 1 w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
  • [url=http://www.matematyka.pl/298821.htm#2]Przykład 2[/url] w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
  • [url=http://www.matematyka.pl/298821.htm#3]Przykład 3[/url] w \(\displaystyle{ \mathbb{C}^3}\)
  • [url=http://www.matematyka.pl/298821.htm#4]Przykład 4[/url] w \(\displaystyle{ C^0 \big( [0, 1] \big)}\)
  • [url=http://www.matematyka.pl/298821.htm#5]Przykłady z Forum[/url]

Przykład 1
Dane są wektory
\(\displaystyle{ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\)
w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako \(\displaystyle{ u_1, u_2}\) i zapisujemy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1
\end{align*}$}\)
Obliczamy iloczyny skalarne:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 + 0 = 1\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 + 1 = 2
\end{align*}$}\)
Nową bazę stanowią wektory:
\(\displaystyle{ u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \; u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{pmatrix}}\)
Przykład 2
Dane są wektory
\(\displaystyle{ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}\)
w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) ze standardowym iloczynem skalarnym. Przeprowadź ortonormalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy (na razie tylko ortogonalnej, normalizację przeprowadzimy później) oznaczamy jako \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3}\) i zapisujemy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \\
u_3 & = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2} u_2
\end{align*}$}\)
Wpierw wyznaczamy wektor \(\displaystyle{ u_2}\), w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 0 + 0 = 1\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 1 + 0 = 2
\end{align*}$}\)
Zapisujemy wektor \(\displaystyle{ u_2}\):
\(\displaystyle{ u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix}}\)
Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na \(\displaystyle{ v_3}\):
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
v_3 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1\\
v_3 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = 0 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \\
u_2 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2}
\end{align*}$}\)
Możemy zatem zapisać wektor \(\displaystyle{ u_3}\):
\(\displaystyle{ u_3 =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix}}\)
Następnie obliczamy normy wektorów \(\displaystyle{ u_{1,2,3}}\):
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\| u_1 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\
\| u_2 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-} 1 \end{pmatrix} } = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{ \frac{3}{2}} \\
\| u_3 \| & = \sqrt{ \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} \\ \phantom{-}\frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix} } = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} } = \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{align*}$}\)
Bazę ortonormalną oznaczamy przez \(\displaystyle{ e_{1,2,3}}\) i zapisujemy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
e_1 & = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
e_2 & = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \sqrt{ \frac{2}{3} } \begin{pmatrix} \phantom{-}\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \phantom{-}1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\
e_3 & = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \begin{pmatrix} - \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \\ \phantom{-} \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{align*}$}\)


Przykład 3
Dane są wektory
\(\displaystyle{ v_1 = \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}, \; v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix}}\)
w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb{C}^3}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ a \cdot b = \sum a_i b_i^*}\). Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3}\) i zapisujemy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
u_1 & = v_1 \\
u_2 & = v_2 - \frac{v_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 \\
u_3 & = v_3 - \frac{v_3 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1 - \frac{v_3 \cdot u_2}{u_2 \cdot u_2} u_2
\end{align*}$}\)
Wpierw wyznaczamy wektor \(\displaystyle{ u_2}\), w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
v_2 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -i + 0 + 0 = -i\\
u_1 \cdot u_1 &= \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 + 0 + 0 = 1
\end{align*}$}\)
Zapisujemy wektor \(\displaystyle{ u_2}\):
\(\displaystyle{ u_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 0 \end{pmatrix} - (-i) \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix}}\)
Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na \(\displaystyle{ v_3}\):
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
v_3 \cdot u_1 & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = -i + 0 + 0 = -i\\
v_3 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 1 & 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ -i \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} = 0 - i + 0 = - i \\
u_2 \cdot u_2 & = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phantom{-}0 \\ -i \\ \phantom{-}0 \end{pmatrix} = 0 + 1 + 0 = 1
\end{align*}$}\)
Możemy zatem zapisać wektor \(\displaystyle{ u_3}\):
\(\displaystyle{ u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ i \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} i \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} 0 \\ i \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ i \end{pmatrix}}\)


Przykład 4
Dane są wektory
\(\displaystyle{ f_1 (x) = 1, \; f_2 (x) = x, \; f_3 (x) = x^2}\)
w przestrzeni funkcji ciągłych \(\displaystyle{ C^0 \big( [0, 1] \big)}\) z iloczynem skalarnym
\(\displaystyle{ f \cdot g = \int_0^1 x f(x) g(x) \, \mbox d x}\)
Przeprowadź ortogonalizację metodą Grama-Schmidta.

Rozwiązanie:
Wektory nowej bazy oznaczamy jako \(\displaystyle{ h_1, h_2, h_3}\) i zapisujemy:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
h_1 & = f_1 \\
h_2 & = f_2 - \frac{f_2 \cdot h_1}{h_1 \cdot h_1} h_1 \\
h_3 & = f_3 - \frac{f_3 \cdot h_1}{h_1 \cdot h_1} h_1 - \frac{f_3 \cdot h_2}{h_2 \cdot h_2} h_2
\end{align*}$}\)
Wpierw wyznaczamy wektor \(\displaystyle{ h_2}\), w tym celu obliczamy iloczyny skalarne:
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
f_2 \cdot h_1 & = \int_0^1 x \cdot x \cdot 1 \, \mbox d x = \frac{1}{3} x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3} \\
h_1 \cdot h_1 &= \int_0^1 x \cdot 1^2 \, \mbox d x = \frac{1}{2} x^2 \Big|_0^1 = \frac{1}{2}
\end{align*}$}\)
Zapisujemy wektor \(\displaystyle{ h_2}\):
\(\displaystyle{ h_2 = x - \frac{ \frac{1}{3}}{ \frac{1}{2} } \cdot 1 = x - \frac{2}{3}}\)
Następnie obliczamy iloczyny skalarne pojawiające się we wzorze na \(\displaystyle{ v_3}\):
\(\displaystyle{ $\begin{align*}
f_3 \cdot h_1 & = \int_0^1 x \cdot x^2 \cdot 1 \, \mbox d x = \frac{1}{4} x^4 \Big|_0^1 = \frac{1}{4} \\
f_3 \cdot h_2 & = \int_0^1 x \cdot x^2 \cdot \left( x - \frac{2}{3} \right) \, \mbox d x = \left[ \frac{1}{5} x^5 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} x^4\right]_0^1 = \frac{1}{30} \\
h_2 \cdot h_2 & = \int_0^1 x \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 \, \mbox d x = \left[ \frac{2}{9} x^2 + \frac{1}{4} x^4 - \frac{4}{9} x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{36}
\end{align*}$}\)
Możemy zatem zapisać wektor \(\displaystyle{ h_3}\):
\(\displaystyle{ h_3 = x^2 - \frac{ \frac{1}{4} }{ \frac{1}{2} } \cdot 1 - \frac{ \frac{1}{30} }{ \frac{1}{36} } \left( x - \frac{2}{3} \right) = x^2 - \frac{6}{5} x + \frac{3}{10}}\)

Przykłady z Forum
Lista tematów poruszających zagadnienie:
  • 172190.htm
  • 279976.htm
  • 130321.htm
  • 285780.htm
  • 280534.htm
  • 262732.htm
  • 134222.htm
ODPOWIEDZ