Badanie zbieżności całek niewłaściwych
Kolejne metody badania zbieżności całek niewłaściwych omówimy na przykładach.Spis przykładów
- Przykład 1
- Przykład 2
- Przykład 3
- Przykład 4
- Przykład 5
- Przykład 6
- Przykład 7
- Przykład 8
- Przykłady z Forum (dużo ;])
Przykład 1
Zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{\mbox d x}{1 + x^2}}\)
Całkę nieoznaczoną możemy obliczyć bez trudu. Zatem:\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{\mbox d x}{1 + x^2} = \lim_{t \to +\infty} \left[ \arctan x \right]_0^t = \lim_{t \to +\infty} \arctan t - 0 = \frac{\pi}{2} < +\infty}\)
Całka jest zbieżna.Przykład 2
Zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ I = \int_{-1}^5 \frac{\mbox d x}{\sqrt{(x + 1)(5 - x)}}}\)
Zadanie rozwiążemy dwoma sposobami.Sposób 1
Obliczamy całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \begin{align*} \int \frac{\mbox d x}{\sqrt{(x + 1)(5 - x)}} &= \int \frac{\mbox d x}{\sqrt{5 + 4 x - x^2}} = \int \frac{\mbox d x}{\sqrt{ 3^2 - (x-2)^2 }} \\
& = \frac{1}{3} \int \frac{\mbox d x}{ \sqrt{ 1 - \left( \frac{x-2}{3}\right) ^2 } } = \int \frac{ \mbox d \left( \frac{x-2}{3} \right) }{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x-2}{3}\right) ^2 }} \\
& = \arcsin \frac{x-2}{3} + C
\end{align*}}\)
Zarówno \(\displaystyle{ -1}\) jak i \(\displaystyle{ 5}\) są punktami osobliwymi funkcji podcałkowej. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ c}\) dowolną liczbę z przedziału \(\displaystyle{ (-1, 5)}\). Wtedy:& = \frac{1}{3} \int \frac{\mbox d x}{ \sqrt{ 1 - \left( \frac{x-2}{3}\right) ^2 } } = \int \frac{ \mbox d \left( \frac{x-2}{3} \right) }{\sqrt{ 1 - \left( \frac{x-2}{3}\right) ^2 }} \\
& = \arcsin \frac{x-2}{3} + C
\end{align*}}\)
\(\displaystyle{ \begin{align*}I &= \lim_{a \to -1^+} \left[ \arcsin \frac{x-2}{3} \right]_a^c + \lim_{b \to 5^-} \left[ \arcsin \frac{x-2}{3} \right]_c^b \\
& =\left[ \arcsin \frac{c-2}{3} + \frac{\pi}{2} \right] + \left[ \frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{c-2}{3}\right] \\
& = \pi < + \infty \end{align*}}\)
Całka jest więc zbieżna.& =\left[ \arcsin \frac{c-2}{3} + \frac{\pi}{2} \right] + \left[ \frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{c-2}{3}\right] \\
& = \pi < + \infty \end{align*}}\)
Sposób 2
Funkcja podcałkowa w otoczeniu punktów \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 5}\) zachowuje się jak (odpowiednio):
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x+1}}, \quad \frac{1}{\sqrt{5-x}}}\)
Zatem całka \(\displaystyle{ I}\) jest zbieżna, jeżeli następujące całki są zbieżne:\(\displaystyle{ \int_{-1}^a \frac{\mbox d x}{\sqrt{x+1}}, \quad \int_b^5 \frac{\mbox dx}{\sqrt{5-x}}}\)
Stałe a i b to dowolne liczby takie, że \(\displaystyle{ a > -1}\) oraz \(\displaystyle{ b < 5}\).Obie całki są tego samego typu, wystarczy więc zbadać jedną z nich. Ustalając stałą w granicy całkowania i korzystając z podstawowych wzorów na całki:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^0 \frac{\mbox d x}{\sqrt{x+1}} = \lim_{t \to -1^+} \left[ 2 \sqrt{x+1} \right]_t^0 = 2}\)
Całka \(\displaystyle{ I}\) jest zatem zbieżna.Przykład 3
Zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ \int_1^{+\infty} \frac{e^{-x} \, \mbox d x}{1 + \ln^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \ln^2 x \ge 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \ge 1}\), stąd \(\displaystyle{ 1 + \ln^2 x \ge 1}\), a dalej:\(\displaystyle{ \int_1^{+\infty} \frac{e^{-x} \, \mbox d x}{1 + \ln^2 x} \le \int_1^{+\infty} e^{-x} \, \mbox d x = \frac{1}{e}}\)
Całka jest zatem zbieżna.Przykład 4
Zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1 + x^2} \, \mbox d x}\)
Dokonujemy następującego szacowania:\(\displaystyle{ \left| \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1 + x^2} \, \mbox d x \right| \le \int_0^{+\infty} \frac{|\sin x|}{1 + x^2} \, \mbox d x \le \int_0^{+\infty} \frac{\mbox d x}{1 + x^2}}\)
Skorzystaliśmy z ograniczoności funkcji sinus, tj. \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R} \, : \, |\sin x| \le 1}\). Zbieżność powstałej w ograniczeniu całki została zbadana w przykładzie 1, stąd wnioskujemy, że całka z polecenia także jest zbieżna.Przykład 5
Zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x}\)
funkcję podcałkową uciąglamy w zerze przez \(\displaystyle{ 1}\).Sposób 1
Będziemy rozważać całkę \(\displaystyle{ \int_1^a \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x}\), po czym przejdziemy do granicy \(\displaystyle{ a \to +\infty}\).
Całkując przez częsci mamy:
\(\displaystyle{ \int_1^a \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x \stackrel{ \substack{u = x^{-1} \\ v' = \sin x} }{=} - \frac{\cos x}{x} \Big|_1^a - \int_1^a \frac{\cos x}{x^2} \, \mbox d x}\)
Przechodząc do granicy \(\displaystyle{ a \to +\infty}\) otrzymujemy następujące oszacowanie\(\displaystyle{ \begin{align*} \left| \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \; \dd x \right| &= \left| \cos 1 - \int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \; \dd x \right| \\
& \le 1 + \left| \int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \; \dd x \right| \\
& \le 1 + \int_1^{+\infty} \left| \frac{\cos x}{x^2} \right| \; \dd x \\
& \le 1 + \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \; \dd x \\
& \le 1 + 1 = 2 \end{align*}}\)
Ograniczenie się przez nas do przedziału \(\displaystyle{ [1, +infty)}\) nie zmienia charakteru zbieżności wyjściowej całki, gdyż na przedziale \(\displaystyle{ [0,1)}\) przyjmuje ona skończone wartości.& \le 1 + \left| \int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \; \dd x \right| \\
& \le 1 + \int_1^{+\infty} \left| \frac{\cos x}{x^2} \right| \; \dd x \\
& \le 1 + \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \; \dd x \\
& \le 1 + 1 = 2 \end{align*}}\)
Sposób 2
Podzielmy przedział całkowania na odcinki: \(\displaystyle{ [0, 2\pi], [2\pi, 4\pi], \ldots, [2k\pi, 2(k+1) \pi]}\) i zapiszmy dalej:
\(\displaystyle{ I = \sum_{k = 0}^{+\infty} \int_{2k \pi}^{2(k+1) \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x}\)
Zauważmy, że całka z funkcji sinus po pełnym okresie jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tj.:\(\displaystyle{ \int_{2k\pi}^{2(k+1) \pi} \sin x \, \mbox d x = 0}\)
Dalej oznaczmy \(\displaystyle{ \alpha = \tfrac{1}{2} \left( \frac{1}{2(k+1) \pi} - \frac{1}{2(k+2) \pi} \right)}\) i zapiszmy:\(\displaystyle{ \begin{align*}
\left| \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x - a \cdot 0 \right|
& = \left| \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} \sin x \left( \frac{1}{x} - a \right) \, \mbox d x\right| \\
& \le \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} | \sin x| \, \mbox d x \cdot \max_{x \in [2(k+1)\pi, 2(k+2)\pi]} \left( \frac{1}{x} -a\right) \\
& = 4 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2(k+1) \pi} - \frac{1}{2(k+2) \pi} \right) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{(k+1)(k+2)}
\end{align*}}\)
Otrzymujemy więc oszacowanie:\left| \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x - a \cdot 0 \right|
& = \left| \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} \sin x \left( \frac{1}{x} - a \right) \, \mbox d x\right| \\
& \le \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} | \sin x| \, \mbox d x \cdot \max_{x \in [2(k+1)\pi, 2(k+2)\pi]} \left( \frac{1}{x} -a\right) \\
& = 4 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2(k+1) \pi} - \frac{1}{2(k+2) \pi} \right) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{(k+1)(k+2)}
\end{align*}}\)
\(\displaystyle{ \begin{align*} I & = \left( \int_0^{2\pi} + \int_{2\pi}^{+\infty}\right) \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x \\
& = \int_0^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x + \sum_{k = 0}^{+\infty} \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x \\
& \le \int_0^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x + \frac{1}{\pi} \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& = \int_0^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x + \frac{1}{\pi}
\end{align*}}\)
Stąd zbieżnośc całki.& = \int_0^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x + \sum_{k = 0}^{+\infty} \int_{2(k+1) \pi}^{2(k+2) \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x \\
& \le \int_0^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x + \frac{1}{\pi} \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)(k+2)}\\
& = \int_0^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \, \mbox d x + \frac{1}{\pi}
\end{align*}}\)
Przykład 6
Zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ I = \int_{-3}^6 \frac{\mbox d x}{x^4}}\)
Punktem osobliwym jest punkt \(\displaystyle{ 0}\), który leży wewnątrz przedziału \(\displaystyle{ [-3, 6]}\). Rozbijamy całkę na sumę dwóch i piszemy:\(\displaystyle{ \begin{align*}I & = \lim_{t \to 0^-} \int_{-3}^t \frac{\mbox d x}{x^4} + \lim_{p \to 0^+} \int_p^6 \frac{\mbox d x}{x^4} \\
& = \lim_{t \to 0^-} \left( - \frac{1}{3 t^3} + \frac{1}{3 \cdot (-3)^3} \right) + \lim_{p \to 0^+} \left( - \frac{1}{3 \cdot 6^3} + \frac{1}{3 p^3} \right)
\end{align*}}\)
Widzimy więc, że całka nie jest zbieżna.& = \lim_{t \to 0^-} \left( - \frac{1}{3 t^3} + \frac{1}{3 \cdot (-3)^3} \right) + \lim_{p \to 0^+} \left( - \frac{1}{3 \cdot 6^3} + \frac{1}{3 p^3} \right)
\end{align*}}\)
Przykład 7
Zbadaj zbieżność całki:
\(\displaystyle{ \int_0^6 \frac{\cos x}{x} \, \mbox d x}\)
Korzystamy z kryterium porównawczego w postaci ilorazowej. Za funkcję porównawczą obieramy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) i liczymy granice:\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x} \cdot x = 1 < \infty}\)
A ponieważ całka \(\displaystyle{ \int_0^6 \frac{\mbox d x}{x}}\) jest rozbieżna, to i badana całka także.Przykład 8
Zbadaj zbieżność i oblicz wartość całki:
\(\displaystyle{ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, \dd x}\)
Ponieważ na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\) funkcja podcałkowa jest ograniczona, to całka na tym przedziale jest zbieżna. Wystarczy zatem zbadać zbieżność całki:\(\displaystyle{ \left( \int_{-\infty}^{-1} + \int_1^{+\infty} \right) e^{-x^2} \, \dd x \; .}\)
Korzystając z kryterium porównawczego oraz parzystości funkcji podcałkowej, mamy:\(\displaystyle{ \left( \int_{-\infty}^{-1} + \int_1^{+\infty} \right) e^{-x^2} \, \dd x = 2 \int_1^{+\infty} e^{-x^2} \, \dd x < 2 \int_1^{+\infty} e^{-x} \, \dd x = \frac{2}{e} < +\infty \; .}\)
Całka jest więc zbieżna.W celu obliczenia wartości całki, zauważmy, że:
\(\displaystyle{ I^2 = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, \dd x\right) \cdot \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \, \dd y\right) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- (x^2 + y^2)} \, \dd x \, \dd y}\)
Powyższą całkę możemy wyrazić jako granicę przy \(\displaystyle{ t\to +\infty}\) całek po kwaracie \(\displaystyle{ [-t,t]^2}\), tj.:\(\displaystyle{ I^2 = \lim_{t \to +\infty} \int_{-t}^{+t} \int_{-t}^{+t} e^{- (x^2 + y^2)} \, \dd x \, \dd y}\)
Zauważmy jednak, że funkcja podcałkowa jest dodatnia, zatem całka po danym kwadracie jest większa niż całka po kole o promieniu \(\displaystyle{ t}\) i mniejsza niż całka po kole o promieniu \(\displaystyle{ t \sqrt{2}}\). Możemy zatem skorzystać ze współrzędnych biegunowych i zapisać:\(\displaystyle{ \begin{align*}
\int_0^{2\pi} \int_0^{t } r e^{-r^2} \, \dd r \, \dd \varphi &\le \int_{-t}^{+t} \int_{-t}^{+t} e^{- (x^2 + y^2)} \, \dd x \, \dd y \le \int_0^{2\pi} \int_0^{t \sqrt{2}} r e^{-r^2} \, \dd r \, \dd \varphi \\
\pi \xleftarrow{t \to +\infty} \pi \left( 1 - e^{-t^2}\right) &\le \int_{-t}^{+t} \int_{-t}^{+t} e^{- (x^2 + y^2)} \, \dd x \, \dd y \le \pi \left( 1 - e^{-2t^2}\right) \xrightarrow{t \to +\infty} \pi
\end{align*}}\)
Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach mamy \(\displaystyle{ I^2 = \pi}\), ostatecznie zaś \(\displaystyle{ I = \sqrt{\pi}}\).\int_0^{2\pi} \int_0^{t } r e^{-r^2} \, \dd r \, \dd \varphi &\le \int_{-t}^{+t} \int_{-t}^{+t} e^{- (x^2 + y^2)} \, \dd x \, \dd y \le \int_0^{2\pi} \int_0^{t \sqrt{2}} r e^{-r^2} \, \dd r \, \dd \varphi \\
\pi \xleftarrow{t \to +\infty} \pi \left( 1 - e^{-t^2}\right) &\le \int_{-t}^{+t} \int_{-t}^{+t} e^{- (x^2 + y^2)} \, \dd x \, \dd y \le \pi \left( 1 - e^{-2t^2}\right) \xrightarrow{t \to +\infty} \pi
\end{align*}}\)
Przykłady z Forum (z rozwiązaniami)
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} x e^{-x^2} \, \mbox d x}\) - całka niewłasciwa
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{e^x+1}{x^2\cdot\sin{x}}{\mbox d x}}\), \(\displaystyle{ \int_{0}^{3}\frac{1+ \sin{x}}{\sqrt[4]{x^3}}{dx}}\) - kryterium ilorazowe oraz całka niewłaściwa
- Oblicz \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x^a} \, \mbox d x}\) - całka niewłaściwa
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_{1}^{+ \infty } (3x+1) e^{x} \mbox{d}x}\) - całka niewłaściwa
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( \frac{7}{\sqrt{x}}+x \right) \mbox{d} x}\) - całka niewłaściwa
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{x}{1-x} \, \mbox d x}\) - całka niewłaściwa
- Oblicz \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \,\mbox d x}\) - Całka oznaczona....
- Oblicz \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{ \mbox{d}x }{x \sqrt{ x^{2}-1 } }}\) - całka niewłaściwa
- Oblicz lub zbadaj zbieśność całek \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}\frac{\mbox d x}{(\sqrt[3]{3x+8})^{4}}}\), \(\displaystyle{ \int_{27}^{+\infty}\frac{\mbox d x}{(\sqrt[3]{x}-2)x}}\), \(\displaystyle{ \int_{9}^{+\infty}\frac{\mbox d x}{\sqrt[2]{x}(x-4)}}\), \(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty}\frac{\sqrt[2]{x} \mbox d x}{(x-1)^{2}}}\), \(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty}\frac{\mbox d x}{(\sqrt[2]{x}+1)x}}\) - całka niewłaściwa
- Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{x^4+16} \mbox d x}\) - całka niewłaściwa
- Oblicz \(\displaystyle{ \int_{1}^{+ \infty} \frac {\mbox d x}{x \sqrt{x^{2} - 1}}}\) - całka niewłaściwa - osobliwości
- Oblicz metodą residuów \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos2x\,\mbox d x}{(x^2+9)^2}}\) - całka niewłaściwa metodą residuum
- Zbadaj zbieżnosć \(\displaystyle{ \int_{\infty}^{5} \frac{xdx}{\sqrt{x^{5}-3}}}\), \(\displaystyle{ \int_{\infty}^{1} \sin^{2}\frac{1}{x} \mbox d x}\) - Kryterium ilorazowe całek niewłaściwych
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_{5}^{+\infty}\;{{x \,\mbox d x}\over{\sqrt{x^5-3}}}}\), \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{-1}\;{{e^{2x}+1}\over{e^x-1}}dx}\) - kryterium porównawcze/ilorazowe
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{-1} \frac{(x+1) \mbox{d}x }{ \sqrt{1-x^3} }}\), \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } \frac{x^2 \mbox{d}x }{x^3 - \sin x}}\) - Całki niewłaściwe - kryterium ilorazowe
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{(1+x) \ln(1+x) \cos (x)}{x^\frac{3}{2}} \mbox d x}\) - Zbieżność (zwykła i bezwzględna) całki niewłaściwej
- Zbadaj zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2 \sin x}{x^4+1} \mbox d x}\) - potrzebuje kryterium bezwzględne