Rozkład na ułamki proste - przykłady

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Rozkład na ułamki proste - przykłady

Post autor: luka52 »

Przez ułamki proste (odpowiednio I i II rodzaju) rozumiemy następujące wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{A}{(ax+b)^k}, \quad \frac{Bx+C}{(cx^2 + dx+e)^p}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną, zaś pozostałe oznaczenia odnoszą się do stałych, przy czym \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ p}\) to liczby naturalne. Dodatkowo wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, tzn. \(\displaystyle{ d^2 - 4ec < 0}\) [1].

Umiejętność rozkładania wyrażeń wymiernych na sumę ułamków prostych jest kluczowa w wielu zagadnieniach analizy matematycznej, m.in. przy całkowaniu funkcji wymiernych, badaniu zbieżności szeregów lub obliczania ich sumy czy też przy obliczaniu odwrotnej transformaty Laplace'a.

Ogólny algorytm rozkładania wyrażenia wymiernego na sumę ułamków prostych przedstawimy na następujących przykładzach.

Spis przykładów
  1. Oblicz całkę
  2. [url=http://www.matematyka.pl/298450.htm#2]Oblicz całkę[/url]
  3. [url=http://www.matematyka.pl/298450.htm#3]Oblicz sumę szeregu[/url]
  4. [url=http://www.matematyka.pl/298450.htm#4]Oblicz odwrotną transformatę Laplace'a[/url]
  5. [url=http://www.matematyka.pl/298450.htm#5]Przykłady z Forum[/url]

1. Oblicz całkę
\(\displaystyle{ I = \int \frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} \, \mbox d x}\)
Pierwiastków wielomianu z mianownika szukamy w postaci dzielników wyrazu wolnego, czyli \(\displaystyle{ -6}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem, zatem możemy dalej zapisać:
\(\displaystyle{ $\begin{align*} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 &= (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x^2 - 3x - 2x + 6) \\
& = (x-1)(x-2)(x-3) \end{align*} $}\)
Zatem w rozkładzie funkcji podcałkowej na ułamki proste, występować będą tylko ułamki I rodzaju.
\(\displaystyle{ \frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}}\)
Zakładamy, że \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3) \neq 0}\) i mnożymy przez to wyrażenie obustronnie powyższą tożsamość
\(\displaystyle{ 6 - 4x \equiv A (x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C (x-1)(x-2) \quad (1)}\)
Wymnażamy wyrażenia po prawej i porządkujemy wyrazy
\(\displaystyle{ 6 - 4x \equiv (A+B+C)x^2 + (-5A -4B - 3C) x + (6A + 3 B + 2 C)}\)
Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \(\displaystyle{ x}\) po obu stronach tożsamości otrzymamy układ trzech równań liniowych.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \phantom{-}0 & = A+B+C \\
-4 &= -5A - 4B - 3C \\
\phantom{-}6 &= 6A + 3 B + 2 C\end{cases}}\)
Czytelnik może spróbować rozwiązać ten układ znanymi sobie metodami, jednak do wyznaczenia stałych \(\displaystyle{ A, B, C}\) możemy posłużyć się innym rozumowaniem. Otóż podstawmy do równania \(\displaystyle{ (1)}\) kolejno \(\displaystyle{ x=1, \; x=2, \; x=3}\), co da nam:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 & = 2A \\ -2 & = -B \\ -6 &= 2C \end{cases}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{6 - 4x}{x^3 - 6x^2 + 11 x - 6} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-3}}\)
Rozwiązaniem zadania jest rodzina funkcji:
\(\displaystyle{ I = \int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x-3} \right) \, \mbox d x = \ln |x+1| + 2 \ln |x-2| - 3 \ln |x-3| +C}\)
2. Oblicz całkę
\(\displaystyle{ I = \int \frac{\mbox d x}{4 + x^4}}\)
Wydawać by się mogło, że funkcja podcałkowa jest już ułamkiem prostym - wielomian z mianownika nie ma pierwiastków rzeczywistych. Tak jednak nie jest. Spoglądając na to jak zostały przez nas zdefiniowane ułamki proste widzimy, że wielomian \(\displaystyle{ x^4 + 4}\) powinien dać się rozłożyć na iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia. Istotnie, posłużmy się wzorami skróconego mnożenia by zapisać:
\(\displaystyle{ x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = \left[ (x^2 + 2) - 2 x \right] \cdot \left[ (x^2 + 2) + 2 x \right]}\)
Rozkład na ułamki proste będzie miał postać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4 + x^4} \equiv \frac{A x + B}{x^2 - 2x + 2} + \frac{C x + D}{x^2 + 2x + 2}}\)
Mnożymy tożsamość obustronnie przez \(\displaystyle{ 4+x^4}\) oraz porządkujemy wyrażenia:
\(\displaystyle{ 1 \equiv (A + C)x^3 + (2A + B - 2 C + D) x^2 + 2(A + B + C - D)x + 2(B+D)}\)
jest to równoważne następującemu układowi równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} A + C & = 0 \\ 2A + B - 2 C + D &= 0 \\ 2(A + B + C - D) & = 0 \\ 2B + 2D & = 1 \end{cases}}\)
Układ ten można uprościć. Z pierwszego równania wyznaczamy \(\displaystyle{ A = - C}\), z ostatniego zaś \(\displaystyle{ B = \tfrac{1}{2} - D}\). Wstawiamy te zależności do drugiego i trzeciego równania otrzymując
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2 C + \frac{1}{2} - D - 2C + D & = 0 \\ 2 \left( -C + \frac{1}{2} - D + C - D \right) & = 0 \end{cases}}\)
Od razu możemy odczytać, że \(\displaystyle{ C = \frac{1}{8} = - A}\) oraz \(\displaystyle{ D = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - B}\). Pozwala to nam zapisać całkę w następującej postaci:
\(\displaystyle{ I = \int \left( \frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2} + \frac{ \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 + 2x + 2} \right) \, \mbox d x}\)
W tym miejscu zwróćmy uwagę na to, że ułamki proste II rodzaju nie są w ogólności wygodne do całkowania. Jest na to jednak sposób - należy tak przekształcić licznik by znalazła się w nich pochodna trójmianu kwadratowego (z dokładnością do stałej multiplikatywnej) z mianownika plus ,,reszta''. By lepiej zobrazować tę ideę, posłużymy się przykładem.
\(\displaystyle{ \frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2}}\)
Pochodna trójmianu z mianownika to \(\displaystyle{ (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2}\), możemy to dalej przekształcić:
\(\displaystyle{ $ \begin{align*} 2x - 2 &= - 16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \right) \\
& = - 16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \right)\\
& = -16 \left( - \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} \right) + 2\end{align*} $}\)
W ten sposób otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{ -\frac{1}{8} x + \frac{1}{4} }{x^2 - 2x + 2} = \frac{ - \frac{1}{16} \left[ (2x-2) - 2 \right] }{x^2 - 2x + 2} = -\frac{1}{16} \frac{(x^2 - 2x + 2)'}{x^2 - 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{x^2 - 2x +2}}\)
Dodatkowo trójmian kwadratowy w drugim ułamku zapiszmy w postaci kanonicznej: \(\displaystyle{ x^2 - 2x +2 = (x-1)^2 + 1}\).
Postępując analogicznie z drugim ułamkiem prostym powstałym w wyniku rozkładu funkcji podcałkowej z \(\displaystyle{ I}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ I = \int \left( -\frac{1}{16} \frac{(x^2 - 2x + 2)'}{x^2 - 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{(x-1)^2 + 1} + \frac{1}{16} \frac{(x^2 + 2x + 2)'}{x^2 + 2x+ 2} + \frac{1}{8} \frac{1}{(x+1)^2 + 1} \right) \, \mbox d x}\)
Korzystając z podstawowych wzorów na całkowanie otrzymamy:
\(\displaystyle{ I = - \frac{1}{16} \ln | x^2 - 2 x + 2| + \frac{1}{8} \arctan (x-1) + \frac{1}{16} \ln | x^2 + 2x + 2| + \frac{1}{8} \arctan (x+1) + C}\)

3. Oblicz sumy następujących szeregów:
\(\displaystyle{ S_1 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)}, \quad S_2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2}}\)
Rozkładu na ułamki proste dokonamy przez przekształcenia elementarne:
\(\displaystyle{ $\begin{align*} S_1 & = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n (n+1)} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n + 1 - n}{n (n+1)} \\
& = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} \right) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
& = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots = 1
\end{align*}$}\)
\(\displaystyle{ $\begin{align*} S_2 & = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(n + 1)^2 - n^2}{n^2 (n+1)^2} \\
& = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} - \frac{n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) \\
& = \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \ldots = 1
\end{align*}$}\)

4. Oblicz odwrotną transformatę Laplace'a z: [url=http://www.matematyka.pl/298450.htm#a][2][/url]
\(\displaystyle{ F(s) = \frac{s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1}{s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s}}\)
Oczywistym pierwiastkiem mianownika jest \(\displaystyle{ s=0}\). Kolejnych pierwiastków szukamy przez sprawdzanie czy któryś z dzielników liczby 3 nie jest pierwiastkiem. Okazuje się, że \(\displaystyle{ s=-3}\) jest pierwiastkiem. Stąd:
\(\displaystyle{ s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s = s(s^3 + 4s^2 + 4s+ 3) = s (s+3)(s^2 + s + 1)}\)
Rozkład na sumę ułamków prostych ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1}{s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s} \equiv \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 3} + \frac{D s + E}{s^2 + s + 1}}\)
Tożsamość mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ s^4 + 4 s^3 + 4 s^2 + 3 s}\) i porządkujemy wyrazy:
\(\displaystyle{ s^3 + 6 s^2 + 15 s + 1 \equiv (A + B + C)s^3 + (4A + B + 3 C +D)s^2 + (4A + B + 3 D) s + 3A}\)
Jest to równoważne następującemu układowi równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A + B + C & = 1 \\ 4A + B + 3 C +D & = 6 \\ 4A + B + 3 D & = 15 \\ 3A & = 1
\end{cases}}\)
Z ostatniego równania mamy od razu \(\displaystyle{ A = \tfrac{1}{3}}\), co w połączeniu z pierwszym daje: \(\displaystyle{ B = \tfrac{2}{3} - C}\). Możemy zatem przepisać drugie i trzecie równanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - C + 3C + D & = 6 \\
\frac{4}{3} + \frac{2}{3} - C + 3 D & = 15 \end{cases}}\)
Ostatecznie otrzymujemy następujący rozkład na sumę ułamków prostych:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \frac{1}{s} + \frac{17}{21} \frac{1}{s+3} + \frac{1}{7} \frac{30 - s}{s^2 + s + 1}}\)
Transformaty odwrotne dwóch pierwszych ułamków możemy zapisać od razu:
\(\displaystyle{ $ \begin{align*} \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s} \right\} & = u(t) \\
\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s+3} \right\} & = e^{-3t} \cdot u(t) \end{align*}}\)
Przez \(\displaystyle{ u}\) oznaczyliśmy funkcję skoku jednostkowego. Ostatni ułamek, jako ułamek prosty, nie jest najbardziej praktycznym wyborem. W tym celu doprowadzimy go do następującej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{30 - s}{s^2 + s + 1} = \frac{30 - s}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} \equiv A \frac{s + \frac{1}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} + B \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2}}\)
Taka postać ułamków pozwoli od razu zapisać transformatę odwrotną jako funkcje sinus i kosinus przesunięte w dziedzie \(\displaystyle{ s}\). Prosty rachunek daje odpowiedź w postaci:
\(\displaystyle{ G(s) = \frac{30 - s}{s^2 + s + 1} = - \frac{s + \frac{1}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2} + \frac{61}{\sqrt{3}} \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left( s + \frac{1}{2} \right) ^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^2}}\)
Stąd zaś:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ G(s) \right\} = - e^{-t/2} \cos \frac{\sqrt{3} t}{2} u(t) + \frac{61}{\sqrt{3}} e^{-t/2} \sin \frac{\sqrt{3} t}{2} u(t)}\)
W celu zakończenia zadania należy połączyć ze sobą wyniki kolejnych etapów rozwiązania.



5. Przykłady z Forum, z rozwiązaniami:
  • Rozłóż na ułamki proste: \(\displaystyle{ \frac{ 3x^{2}+2x+1}{ x^{4}+x^{3}-x-1}}\), \(\displaystyle{ \frac{ 3x^{2}+3x+2}{(x^{2}+2x+5)(x-1)}}\) - http://www.matematyka.pl/108691.htm
  • Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int \frac{3x-1}{(x+2)(x^{2}+4x+6)} \mbox d x}\) - http://www.matematyka.pl/112894.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{100}{x\left( 2x^2+3x+4 \right)}}\) - http://www.matematyka.pl/288631.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{1}{x(x-1)(x-2)}}\) - http://www.matematyka.pl/170771.htm#p635507
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{9-t}{t^2-2t+1}}\) - http://www.matematyka.pl/269192.htm#p4806408
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{6x ^{2}+4 }{ x^{4} +4}}\) - http://www.matematyka.pl/176840.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{x ^{5}+x ^{4}-8 }{x ^{3}+4x }}\) - http://www.matematyka.pl/156640.htm#p585774
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{x+1}{x(x^2+x-6)}}\) - http://www.matematyka.pl/75194.htm
  • Podaj rozkład \(\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)(x+2)(x^2-3)}}\) - http://www.matematyka.pl/76625.htm#p289255
  • Podaj rozkład \(\displaystyle{ \frac{1}{s(s^2-2s+2)}}\) - http://www.matematyka.pl/210201.htm#p779596
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x^{3}-x^{2}-2x}}\) - http://www.matematyka.pl/114537.htm#p419207
  • Podaj rozkład \(\displaystyle{ \frac{1}{(x+2)^2(x+3)^2}}\) - http://www.matematyka.pl/53486.htm#p210846
  • Podaj rozkład \(\displaystyle{ \frac{15-6z}{(z^2-5z+4)^2}}\) - http://www.matematyka.pl/159348.htm#p594905
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{s ^{3}-s ^{2}+2s-2 }{s ^{2}(s ^{2} -2s) }}\) - http://www.matematyka.pl/72945.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{x^4 - 2}{x^3 +x}}\) - http://www.matematyka.pl/1676.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{1}{x^3 + x}}\) - http://www.matematyka.pl/237031.htm#p882684
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{1}{s^2(s+1)}}\) - http://www.matematyka.pl/148789.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)}}\) - http://www.matematyka.pl/294002.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{4x - 5}{(x + 1 ) \, ( x - 2 )}}\), \(\displaystyle{ \frac{4 \, x^{2} - 11 \, x - 18 }{x \, (x + 2 ) \, ( x - 3 )}}\) - http://www.matematyka.pl/237781.htm
  • Rozłóż na ułamki proste \(\displaystyle{ \frac{3+2s+s^2}{(1+s)^3}}\) - http://www.matematyka.pl/217319.htm
  • (Odwrotna transformata Laplace'a) \(\displaystyle{ \frac{s+2}{s^2+2s+5}}\) - http://www.matematyka.pl/280931.htm
  • (Odwrotna transformata Laplace'a) \(\displaystyle{ \frac{8s+7}{ s^{2}+6s+18 }}\) - http://www.matematyka.pl/277815.htm
  • (Odwrotna transformata Laplace'a) \(\displaystyle{ \frac{2p}{(p^2+4p+8)^2}}\) - http://www.matematyka.pl/155911.htm
  • (Odwrotna transformata Laplace'a) \(\displaystyle{ \frac{0,169s+0,504}{s^2+2,572s+4,771}}\) - http://www.matematyka.pl/126154.htm
  • (Odwrotna transformata Laplace'a) \(\displaystyle{ \frac{4}{(s+1)(s+2)}}\) - http://www.matematyka.pl/67488.htm
  • (Odwrotna transformata Laplace'a) \(\displaystyle{ \frac{1}{s(s-3)}}\) - http://www.matematyka.pl/16605.htm#p76009
  • (Odwrotna transformata Laplace'a) \(\displaystyle{ \frac{2s^3+s^2+2s+2}{s^4+1}}\) - http://www.matematyka.pl/38483.htm


Wszelkie komentarze odnośnie tego postu proszę kierować na [url=http://www.matematyka.pl/ucp.php?i=pm&mode=compose&u=6699][/url]

Źródła:
1. W. Krysicki, L. Włodarski, ,,Analiza matematyczna w zadaniacz, cz. I'', wydanie XXV
2. Arasis, Odwrotna transformata Laplace'a, http://www.matematyka.pl/298053.htm
ODPOWIEDZ