Badanie przebiegu zmienności funkcji - jak wykonać krok po kroku
W niniejszym temacie zostaną przedstawione krok po kroku przykładowe rozwiązania zadań z zakresu przebiegu zmienności funkcji. Wśród zadań, z którymi się spotkałem, niektóre wymagały przykładowo jedynie znalezienia ekstremów, w innych natomiast należało wykonać pełne badanie przebiegu zmienności. Temat został tak rozplanowany, aby stanowił uniwersalny poradnik, jak rozwiązywać takie zadania - aby znaleźć odpowiedni materiał, należy kierować się następująco:a) wyznaczanie równań asymptot (pionowa, pozioma, ukośna) - sekcja 4 (należy przewijać artykuł w dół; w pewnym miejscu po lewej stronie znajduje się duża, zielona czwórka)
b) własności związane z pierwszą pochodną (monotoniczność, ekstrema) - sekcja 5
c) własności związane z drugą pochodną (wypukłość, punkty przegięcia) - sekcja 6
d) wykonanie tabelki podsumowującej - sekcja 7
Obecnie w temacie znajduje się jedno zadanie z pełnym rozwiązaniem; sukcesywnie będę dodawać kolejne. Ewentualne sugestie proszę zgłaszać na pw.
Zadanie 1: zbadać przebieg zmienności funkcji wielomianowej: \(\displaystyle{ f(x)=x^3-3x^2+x-3}\)
Rozwiązanie:
1. Wyznaczenie dziedziny:
\(\displaystyle{ x\in\mathbb R}\)
2. Znalezienie punktów przecięcia z osiami:
\(\displaystyle{ Ox}\) - należy przyrównać funkcję do 0:
\(\displaystyle{ f(x)=0\iff x^3-3x^2+x-3=0\iff x^2(x-3)+x-3=0\iff\left(x^2+1\right)(x-3)=0\Longrightarrow x=3}\)
stąd: \(\displaystyle{ A_1=(3,0)}\)
\(\displaystyle{ Oy}\) - należy obliczyć wartość funkcji dla \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ f(0)=-3}\)
stąd: \(\displaystyle{ B_1=(0,-3)}\)
3. Granice na krańcach przedziałów określoności
Funkcja jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem krańcami przedziałów określoności są \(\displaystyle{ +\infty}\) oraz \(\displaystyle{ -\infty}\); należy obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\left(x^3-3x^2+x-3\right)=\lim_{x\to+\infty}x^3\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty\\ \\ \lim_{x\to-\infty}\left(x^3-3x^2+x-3\right)=\lim_
{x\to-\infty}x^3\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[-\infty\cdot1]=-\infty}\)
4. Asymptoty: wzorujemy się na artykule
pionowe: ponieważ dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, asymptoty pionowe nie istnieją
ukośne (czyli również poziome - asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, której współczynnik \(\displaystyle{ a}\) jest równy 0):
prawostronna:
\(\displaystyle{ a_1=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(x^2-3x+1-\frac3x\right)=\lim_
{x\to\infty}x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty}\)
ponieważ granica określająca współczynnik \(\displaystyle{ a}\) jest równa \(\displaystyle{ +\infty}\), asymptota ukośna prawostronna nie istnieje.
lewostronna:
\(\displaystyle{ a_2=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(x^2-3x+1-\frac3x\right)=\lim_{x\to-\infty}x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty}\)
podobnie jak wyżej, asymptota ukośna lewostronna nie istnieje.
5. własności związane z pierwszą pochodną
\(\displaystyle{ f^\prime(x)=3x^2-6x+1}\)
Monotoniczność oraz ekstrema funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą pierwszej pochodnej. Istnieją również inne metody; zostaną one przedstawione w dalszej części artykułu. Ponieważ funkcja jest różniczkowalna, warunkiem wystarczającym aby funkcja była monotoniczna w danym przedziale jest stałość znaku pochodnej w tym przedziale. Funkcja jest rosnąca w przedziale, w którym pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale, w którym pochodna jest ujemna. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest \(\displaystyle{ f^\prime(x)=0}\). Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum jest spełnianie przez pochodną określonych warunków w otoczeniu jej miejsca zerowego. Najpierw zostaną wyznaczone przedziały, w których pochodna ma stały znak lub wartość zerową:
\(\displaystyle{ f^\prime(x)>0\iff 3x^2-6x+1>0\Longrightarrow x\in\left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right)\\ \\ f^\prime(x)<0\iff 3x^2-6x+1<0\Longrightarrow x\in\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)\\ \\ f^\prime(x)=0\iff 3x^2-6x+1=0\\ \\ x_1=\frac{3-\sqrt6}{3}, \ \ x_2=\frac{3+\sqrt6}{3}}\)
Oznacza to, że funkcja jest monotoniczna rosnąca w przedziale
\(\displaystyle{ x\in\left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ x\in\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right)}\)
monotoniczna malejąca w przedziale
\(\displaystyle{ x\in\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)}\)
natomiast punktami podejrzanymi o istnienie ekstremów są
\(\displaystyle{ x_1=\frac{3-\sqrt6}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=\frac{3+\sqrt6}{3}}\)
W celu stwierdzenia, czy w punkcie podejrzanym znajduje się ekstremum, można skorzystać z wniosków wyciągniętych z definicji:
cytując:
Stosując powyższe twierdzenia do punktu \(\displaystyle{ x_1}\), można otrzymać wniosek:
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest dodatnia, natomiast na prawo jest ujemna - zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to maksimum;
analogicznie dla punktu \(\displaystyle{ x_2}\):
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest ujemna, natomiast na prawo jest dodatnia - zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_2}\) znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to minimum.
Istnieje możliwość zbadania istnienia ekstremum oraz jego rodzaju (maksimum lub minimum) za pomocą drugiej pochodnej, co zostanie opisane poniżej.
6. własności związane z drugą pochodną
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x)=6x-6}\)
Warto najpierw powrócić do zagadnienia badania ekstremów za pomocą drugiej pochodnej. Taka możliwość istnieje w przypadku gdy funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna. Podany wcześniej odnośnik wspomina o kryterium istnienia ekstremum w zależności od drugiej pochodnej:
a) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość większą od 0, w punkcie jest minimum
b) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość mniejszą od 0, w punkcie jest maksimum
c) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość zerową, przypadek jest nierozstrzygnięty - może tam istnieć zarówno ekstremum dowolnego rodzaju, jak i punkt przegięcia.
Dowód powyższych własności można znaleźć w podręczniku (nie: zbiorze zadań) analizy matematycznej.
Stosując powyższe kryterium do punktów \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\), można otrzymać
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x_1)=6\cdot\frac{3-\sqrt6}{3}-6=6-2\sqrt6-6=-2\sqrt6}\)
zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) istnieje ekstremum i jest to maksimum, co jest zgodne z wynikiem uzyskanym za pomocą poprzedniej metody.
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x_2)=6\cdot\frac{3+\sqrt6}{3}-6=6+2\sqrt6-6=2\sqrt6}\)
zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_2}\) istnieje ekstremum i jest to minimum.
Wypukłość i punkty przegięcia funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą drugiej pochodnej. Podobnie jak wcześniej, istnieją również inne metody, które zostaną przedstawione w dalszej części artykułu.
Funkcja jest wypukła w górę (wklęsła) gdy druga pochodna jest mniejsza od 0 oraz wypukła w dół (wypukła) gdy druga pochodna jest większa od 0. Warunkiem koniecznym istnienia punktu przegięcia jest \(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x)=0}\), ale podobnie jak poprzednio nie jest to warunek wystarczający. Z definicji punktu przegięcia, istnieje on wtedy gdy funkcja zmienia w tym punkcie wypukłość, musi zatem znajdować się pomiędzy przedziałami o różnej wypukłości. Najpierw należy wyznaczyć odpowiednie przedziały:
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x)>0\iff6x-6>0\Longrightarrow x\in(1,+\infty)\\ \\ f^{\prime\prime}(x)<0\iff6x-6<0\Longrightarrow x\in(-\infty,1)\\ \\ f^{\prime\prime}(x)=0\iff 6x-6=0\\ \\ x_1=1}\)
Oznacza to, że funkcja jest wypukła w dół dla \(\displaystyle{ x\in(1,+\infty)}\) oraz wypukła w górę dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty,1)}\). Ponieważ w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) następuje zmiana wypukłości, istnieje tam punkt przegięcia.
7. Na podstawie zgromadzonych danych należy wykonać tabelkę przebiegu zmienności funkcji.
\(\displaystyle{ \tiny\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& \left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right) & \frac{3-\sqrt6}{3}&\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ 1\right)&1&\left(1,\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)&\frac{3+\sqrt6}{3}&\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right) \\
\hline
f^\prime(x)&+&0&-&-&-&0&+\\
\hline
f^{\prime\prime}(x)&-&-&-&0&+&+&+\\
\hline
f(x)& _{-\infty}\nearrow^{-4+4\sqrt{\frac2{27}}}&\text{max}&^{-4+4\sqrt{\frac2{27}}}\searrow_{-4}&-4&^{-4}\searrow_{-4-4\sqrt{\frac2{27}}}&\text{min}&_{-4-4\sqrt{\frac2{27}}}\nearrow^{+\infty}\\ &\text{wypukła}&\text{wypukła}&\text{punkt przegięcia}&\text{wklęsła}&\text{wklęsła}&\text{wklęsła}\\ \hline\end{array}}\)
\(\displaystyle{ x\in\mathbb R}\)
2. Znalezienie punktów przecięcia z osiami:
\(\displaystyle{ Ox}\) - należy przyrównać funkcję do 0:
\(\displaystyle{ f(x)=0\iff x^3-3x^2+x-3=0\iff x^2(x-3)+x-3=0\iff\left(x^2+1\right)(x-3)=0\Longrightarrow x=3}\)
stąd: \(\displaystyle{ A_1=(3,0)}\)
\(\displaystyle{ Oy}\) - należy obliczyć wartość funkcji dla \(\displaystyle{ x=0}\)
\(\displaystyle{ f(0)=-3}\)
stąd: \(\displaystyle{ B_1=(0,-3)}\)
3. Granice na krańcach przedziałów określoności
Funkcja jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem krańcami przedziałów określoności są \(\displaystyle{ +\infty}\) oraz \(\displaystyle{ -\infty}\); należy obliczyć granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\left(x^3-3x^2+x-3\right)=\lim_{x\to+\infty}x^3\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty\\ \\ \lim_{x\to-\infty}\left(x^3-3x^2+x-3\right)=\lim_
{x\to-\infty}x^3\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[-\infty\cdot1]=-\infty}\)
4. Asymptoty: wzorujemy się na artykule
pionowe: ponieważ dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, asymptoty pionowe nie istnieją
ukośne (czyli również poziome - asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, której współczynnik \(\displaystyle{ a}\) jest równy 0):
prawostronna:
\(\displaystyle{ a_1=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(x^2-3x+1-\frac3x\right)=\lim_
{x\to\infty}x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty}\)
ponieważ granica określająca współczynnik \(\displaystyle{ a}\) jest równa \(\displaystyle{ +\infty}\), asymptota ukośna prawostronna nie istnieje.
lewostronna:
\(\displaystyle{ a_2=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(x^2-3x+1-\frac3x\right)=\lim_{x\to-\infty}x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty}\)
podobnie jak wyżej, asymptota ukośna lewostronna nie istnieje.
5. własności związane z pierwszą pochodną
\(\displaystyle{ f^\prime(x)=3x^2-6x+1}\)
Monotoniczność oraz ekstrema funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą pierwszej pochodnej. Istnieją również inne metody; zostaną one przedstawione w dalszej części artykułu. Ponieważ funkcja jest różniczkowalna, warunkiem wystarczającym aby funkcja była monotoniczna w danym przedziale jest stałość znaku pochodnej w tym przedziale. Funkcja jest rosnąca w przedziale, w którym pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale, w którym pochodna jest ujemna. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest \(\displaystyle{ f^\prime(x)=0}\). Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum jest spełnianie przez pochodną określonych warunków w otoczeniu jej miejsca zerowego. Najpierw zostaną wyznaczone przedziały, w których pochodna ma stały znak lub wartość zerową:
\(\displaystyle{ f^\prime(x)>0\iff 3x^2-6x+1>0\Longrightarrow x\in\left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right)\\ \\ f^\prime(x)<0\iff 3x^2-6x+1<0\Longrightarrow x\in\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)\\ \\ f^\prime(x)=0\iff 3x^2-6x+1=0\\ \\ x_1=\frac{3-\sqrt6}{3}, \ \ x_2=\frac{3+\sqrt6}{3}}\)
Oznacza to, że funkcja jest monotoniczna rosnąca w przedziale
\(\displaystyle{ x\in\left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ x\in\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right)}\)
monotoniczna malejąca w przedziale
\(\displaystyle{ x\in\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)}\)
natomiast punktami podejrzanymi o istnienie ekstremów są
\(\displaystyle{ x_1=\frac{3-\sqrt6}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=\frac{3+\sqrt6}{3}}\)
W celu stwierdzenia, czy w punkcie podejrzanym znajduje się ekstremum, można skorzystać z wniosków wyciągniętych z definicji:
cytując:
Na tej podstawie można wyciągnąć oczywiste wnioski, opisane tutaj: [url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#]Ekstremum[/url] ... _lokalnegoFunkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).
Stosując powyższe twierdzenia do punktu \(\displaystyle{ x_1}\), można otrzymać wniosek:
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest dodatnia, natomiast na prawo jest ujemna - zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to maksimum;
analogicznie dla punktu \(\displaystyle{ x_2}\):
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest ujemna, natomiast na prawo jest dodatnia - zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_2}\) znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to minimum.
Istnieje możliwość zbadania istnienia ekstremum oraz jego rodzaju (maksimum lub minimum) za pomocą drugiej pochodnej, co zostanie opisane poniżej.
6. własności związane z drugą pochodną
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x)=6x-6}\)
Warto najpierw powrócić do zagadnienia badania ekstremów za pomocą drugiej pochodnej. Taka możliwość istnieje w przypadku gdy funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna. Podany wcześniej odnośnik wspomina o kryterium istnienia ekstremum w zależności od drugiej pochodnej:
a) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość większą od 0, w punkcie jest minimum
b) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość mniejszą od 0, w punkcie jest maksimum
c) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość zerową, przypadek jest nierozstrzygnięty - może tam istnieć zarówno ekstremum dowolnego rodzaju, jak i punkt przegięcia.
Dowód powyższych własności można znaleźć w podręczniku (nie: zbiorze zadań) analizy matematycznej.
Stosując powyższe kryterium do punktów \(\displaystyle{ x_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\), można otrzymać
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x_1)=6\cdot\frac{3-\sqrt6}{3}-6=6-2\sqrt6-6=-2\sqrt6}\)
zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) istnieje ekstremum i jest to maksimum, co jest zgodne z wynikiem uzyskanym za pomocą poprzedniej metody.
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x_2)=6\cdot\frac{3+\sqrt6}{3}-6=6+2\sqrt6-6=2\sqrt6}\)
zatem w punkcie \(\displaystyle{ x_2}\) istnieje ekstremum i jest to minimum.
Wypukłość i punkty przegięcia funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą drugiej pochodnej. Podobnie jak wcześniej, istnieją również inne metody, które zostaną przedstawione w dalszej części artykułu.
Funkcja jest wypukła w górę (wklęsła) gdy druga pochodna jest mniejsza od 0 oraz wypukła w dół (wypukła) gdy druga pochodna jest większa od 0. Warunkiem koniecznym istnienia punktu przegięcia jest \(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x)=0}\), ale podobnie jak poprzednio nie jest to warunek wystarczający. Z definicji punktu przegięcia, istnieje on wtedy gdy funkcja zmienia w tym punkcie wypukłość, musi zatem znajdować się pomiędzy przedziałami o różnej wypukłości. Najpierw należy wyznaczyć odpowiednie przedziały:
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x)>0\iff6x-6>0\Longrightarrow x\in(1,+\infty)\\ \\ f^{\prime\prime}(x)<0\iff6x-6<0\Longrightarrow x\in(-\infty,1)\\ \\ f^{\prime\prime}(x)=0\iff 6x-6=0\\ \\ x_1=1}\)
Oznacza to, że funkcja jest wypukła w dół dla \(\displaystyle{ x\in(1,+\infty)}\) oraz wypukła w górę dla \(\displaystyle{ x\in(-\infty,1)}\). Ponieważ w punkcie \(\displaystyle{ x=1}\) następuje zmiana wypukłości, istnieje tam punkt przegięcia.
7. Na podstawie zgromadzonych danych należy wykonać tabelkę przebiegu zmienności funkcji.
\(\displaystyle{ \tiny\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& \left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right) & \frac{3-\sqrt6}{3}&\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ 1\right)&1&\left(1,\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)&\frac{3+\sqrt6}{3}&\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right) \\
\hline
f^\prime(x)&+&0&-&-&-&0&+\\
\hline
f^{\prime\prime}(x)&-&-&-&0&+&+&+\\
\hline
f(x)& _{-\infty}\nearrow^{-4+4\sqrt{\frac2{27}}}&\text{max}&^{-4+4\sqrt{\frac2{27}}}\searrow_{-4}&-4&^{-4}\searrow_{-4-4\sqrt{\frac2{27}}}&\text{min}&_{-4-4\sqrt{\frac2{27}}}\nearrow^{+\infty}\\ &\text{wypukła}&\text{wypukła}&\text{punkt przegięcia}&\text{wklęsła}&\text{wklęsła}&\text{wklęsła}\\ \hline\end{array}}\)