Całki wielokrotne i krzywoliniowe - pełne rozwiązania

[Chromosom]

Całki wielokrotne oraz krzywoliniowe - pełne rozwiązania

W niniejszym temacie będę sukcesywnie zamieszczać pełne rozwiązania zadań z zakresu zastosowania całek wielokrotnych, krzywoliniowych i powierzchniowych, z jakimi spotkałem się podczas swojej pracy w dziedzinie matematyki. Rozwiązanie będzie uwzględniać wszystkie przekształcenia aż do momentu uzyskania wyniku. Ewentualne sugestie proszę zgłaszać na pw.



Zastosowanie całek podwójnych:

Zadanie 1 - obliczenie pola figury płaskiej za pomocą całki podwójnej:    

Wyprowadzić wzór na pole koła.

Rozwiązanie
We współrzędnych kartezjańskich koło jest opisane nierównością \(\displaystyle{ K\colon x^2+y^2\le R^2}\); pole można wyrazić całką

\(\displaystyle{ S=\iint\limits_K\,\text dx\,\text dy}\)

po zamianie zmiennych na biegunowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=r\cos\phi\\ y=r\sin\phi\end{cases},\ r\in[0,\,R],\ \ \phi\in[0,\,2\pi]}\)

całka przyjmie postać

\(\displaystyle{ S=\iint\limits_D\,r\,\text dr\,\text d\phi=\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}\int\limits^{r=R}_{r=0}r\,\text dr\,\text d\phi=\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}\,\text d\phi\int\limits^{r=R}_{r=0}r\,\text dr=2\pi\cdot\frac{R^2}{2}=\pi R^2}\)

Zadanie 2 - obliczenie objętości bryły:    

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

\(\displaystyle{ z=0, z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2},\ \ x=c,\ x=d,\ y=e,\ y=f,\ \ c<d,\ \ e<f}\)

Rozwiązanie

Należy skorzystać z całki podwójnej i podstawić równanie ograniczającej bryły oraz granice całkowania:

\(\displaystyle{ \int\limits^d_e\int\limits^f_e\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\,\text dy\,\text dx=\int\limits^d_c\left|\frac{x^2y}{a^2}+\frac{y^3}{3b^2}\right|\limits^f_e\,\text dx=\int\limits^d_c\left(\frac{x^2(f-e)}{a^2}+\frac{f^3-e^3}{3b^2}\right)\,\text dx=\\ \\=\left|\frac{x^3(f-e)}{3a^2}+\frac{x\left(f^3-e^3\right)}{3b^2}\right|\limits^d_c=\frac{\left(d^3-c^3\right)(f-e)}{3a^2}+\frac{(d-c)\left(f^3-e^3\right)}{3b^2}}\)

Zastosowanie całek potrójnych:

Zadanie 1 - obliczenie objętość bryły:    

Obliczyć objętość bryły ograniczonej równaniami \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\le R^2,\ \ a^2\left(x^2+y^2\right)\le z^2}\)
Rozwiązanie
Powyższy przykład można rozwiązać korzystając ze współrzędnych walcowych, jednakże zastosowane zostaną współrzędne sferyczne w celu przedstawienia metody postępowania. Podstawiając do równań określających bryłę związki

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta\end{cases}}\)

można otrzymać następującą postać równań ograniczających bryłę

\(\displaystyle{ (r\sin\theta\cos\phi)^2+(r\sin\theta\sin\phi)^2+(r\cos\theta)^2\le R^2\\ \\r^2\left(\sin^2\theta\left(\cos^2\phi+\sin^2\phi\right)+\cos^2\theta\right)\le R^2\\ \\r^2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\le R^2\\ \\r^2\le R^2\\ \\0\le r\le R\\ \\ \\ \\ a^2\left((r\sin\theta\cos\phi)^2+(r\sin\theta\sin\phi)^2\right)\le r^2\cos^2\theta\\ \\ a^2r^2\sin^2\theta\le r^2\cos^2\theta\\ \\a^2\sin^2\theta\le1-\sin^2\theta\\ \\0\le\theta\le\arcsin\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\\ \\0\le\arccos\theta\le\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}}\)

całka przyjmuje postać

\(\displaystyle{ V=\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}\ \ \int\limits^{\theta=\arccos\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}}_{\theta=0}\ \ \int\limits^{r=R}_{r=0}r^2\sin\theta\,\text dr\,\text d\theta\,\text d\phi=\frac23\pi R^3\Bigl|-\cos\theta+C\Bigr|\limits^{\arccos\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}}_0=\\ \\ = \frac23\pi R^3\left(1-\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right)}\)

Zadanie 2 - obliczenie momentu bezwładności bryły przestrzennej:    

Obliczyć moment bezwładności jednorodnego walca o promieniu \(\displaystyle{ R}\), wysokości \(\displaystyle{ H}\) oraz masie \(\displaystyle{ m}\) wokół osi przechodzącej przez środki jego podstaw.

Rozwiązanie
Niech oś obrotu walca pokrywa się z osią \(\displaystyle{ Oz}\) trójwymiarowego układu współrzędnych. Moment bezwładności bryły wokół osi \(\displaystyle{ Oz}\) wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ I=\iiint\limits_m\left(x^2+y^2\right)\,\text dm=\iiint\limits_V\left(x^2+y^2\right)\lambda(x,y,z)\,\text dV}\)

Najpierw można wyznaczyć wyrażenie określające stałą gęstość walca:

\(\displaystyle{ \lambda=\frac mV=\frac{m}{\pi R^2H}}\)

Walec wygodnie jest przedstawić we współrzędnych walcowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=\rho\cos\phi\\y=\rho\sin\phi\\z=z\end{cases}\ \ \rho\in[0,\,R],\ \ \phi\in[0,\,2\pi],\ \ z\in[0,\,H]}\)

stąd

\(\displaystyle{ I=\frac{m}{\pi R^2H}\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}\int\limits^{\rho=R}_{\rho=0}\int\limits^{z=H}_{z=0}\left(\rho^2\cos^2\phi+\rho^2\sin^2\phi\right)\rho\,\text dz\,\text d\rho\,\text d\phi=\frac{m}{\pi R^2H}\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}\,\text d\phi\int\limits^{z=H}_{z=0}\,\text dz\int\limits^{\rho=R}_{\rho=0}\rho^3\,\text d\rho=\\ \\ =\frac{m}{\pi R^2H}\cdot2\pi\cdot H\cdot\frac{R^4}{4}=\frac12mR^2}\)

Zadanie 3 - obliczenie objętość bryły ograniczonej powierzchniami:    

Zadanie:
Obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami \(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2}\) oraz \(\displaystyle{ z=12-x^2-y^2}\), znajdującego się wewnątrz stożka.

Objętość obszaru jest całką potrójną po obszarze:

\(\displaystyle{ V=\iiint\limits_V\text dx\,\text dy\,\text dz}\)

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że górnym ograniczeniem jest powierzchnia \(\displaystyle{ z=12-x^2-y^2}\), natomiast dolnym - górna gałąź stożka: \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\). W obszarze, w którym bryła jest ograniczona, zachodzi \(\displaystyle{ 12-x^2-y^2\ge\sqrt{x^2+y^2}}\), zatem granice całkowania po \(\displaystyle{ z}\) są nastepujące: \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}\le z\le12-x^2-y^2}\). Rzut bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy}\) można wyznaczyć poprzez porównanie równań powierzchni ograniczających:

\(\displaystyle{ 12-x^2-y^2=\sqrt{x^2+y^2}}\)

Warto jest zastosować współrzędne walcowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=r\cos\phi\\ y=r\sin\phi\\ z=z\\ |J|=r\end{cases}}\)

Wtedy równanie przyjmuje postać

\(\displaystyle{ 12-r^2=r\\ r^2+r-12=0\\ (r-3)(r+4)=0\\ r=3\vee r=-4}\)

Jedynie dodatnie rozwiązanie jest zgodne z definicją współrzędnych biegunowych, zatem rzutem bryły na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy}\) jest koło o środku w początku płaszczyzny oraz promieniu \(\displaystyle{ r=2}\). Przekształcając na współrzędne walcowe:

\(\displaystyle{ V=\iiint\limits_\Omega r\,\text dr\,\text dz\,\text d\phi=\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}\text d\phi\int\limits^{r=3}_{r=0}r\left(\int\limits^{z=12-r^2}_{z=r}\text dz\right)\,\text dr=2\pi\int\limits^{r=3}_{r=0}\left(12r-r^2-r^3\right)\,\text dr=\\ \\=2\pi\left|6r^2-\frac13r^3-\frac14r^4\right|^{r=3}_{r=0}=2\pi\left(6\cdot3^2-\frac13\cdot3^3-\frac14\cdot3^4\right)=\frac{99}{2}\pi}\)

Zadanie 4 - obliczenie masy bryły o gęstości określonej równaniem:    

Obliczyć masę obszaru ograniczonego powierzchniami:

\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+z=2\\ x+z=1\\ y^2=x\\ y=0\end{cases}\quad y>0}\)

gdy \(\displaystyle{ \lambda(x,y,z)=y}\).

Masa obszaru wyraża się zależnością:

\(\displaystyle{ m=\iiint\limits_V\lambda(x,y,z)\,\text dV=\iiint\limits_Vy\,\text dx\,\text dy\,\text dz}\)

Równania, w których występuje zmienna \(\displaystyle{ z}\), można przekształcić następująco:

\(\displaystyle{ \begin{cases}z=2-2x=2(1-x)\\ z=1-x\end{cases}}\)

Rzut obszaru na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy}\) można wyznaczyć na podstawie równań ograniczających: \(\displaystyle{ 2(1-x)=1-x\iff 1-x=0\iff x=1}\), ponadto \(\displaystyle{ y^2=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=0}\). Po wykonaniu całkowania po zmiennej \(\displaystyle{ z}\), wygodnie będzie wykonać całkowanie po zmiennej \(\displaystyle{ x}\), a następnie po \(\displaystyle{ y}\). Granice całkowania mają postać:

\(\displaystyle{ 2(1-x)\le z\le1-x\\ y^2\le x\le1\\ 0\le y\le1}\)

zatem całka przyjmuje postać

\(\displaystyle{ m=\int\limits^{y=1}_{y=0}\int\limits^{x=1}_{x=y^2}\int\limits^{z=2(1-x))}_{z=1-x}y\,\text dx\,\text dy\,\text dz=\int\limits^{y=1}_{y=0}y\int\limits^{x=1}_{x=y^2}(1-x)\,\text dx\,\text dy=\int\limits^{y=1}_{y=0}y\left|x-\frac{x^2}{2}\right|^{x=1}_{x=y^2}\,\text dy=\\ \\=\int\limits^{y=1}_{y=0}y\left(1-\frac12-y^2+\frac{y^4}{2}\right)\,\text dy=\int\limits^{y=1}_{y=0}\left(\frac12y-y^3+\frac{y^5}{2}\right)\,\text dy=\left|\frac14y^2-\frac14y^4+\frac1{12}y^6\right|^{y=1}_{y=0}=\\ \\=\frac14-\frac14+\frac1{12}-0+0-0=\frac1{12}}\)

Zastosowanie całek krzywoliniowych:

Zadanie 1 - obliczenie długość łuku:    

Obliczyć długość łuku krzywej \(\displaystyle{ y=\cosh x}\) dla \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\)
Rozwiązanie
Różniczka łuku ma postać:
\(\displaystyle{ \text dl=\sqrt{1+\bigl(f^\prime(x)\bigr)^2}\,\text dx\\ \\y^\prime(x)=\sinh x\\ \\ \text dl=\sqrt{1+(\sinh x)^2}\,\text dx=\cosh x\,\text dx\\ \\ l=\int\limits_K\,\text dl=\int\limits^1_0\cosh x\,\text dx=\left|\sinh x+C\right|^1_0=\sinh1-\sinh0=\frac{e^1-e^{-1}}{2}-\frac{e^0-e^{-0}}{2}=\frac12\left(e-\frac1e\right)}\)

Zadanie 2 - obliczenie masę łuku krzywej o podanej gęstości:    

Obliczyć masę łuku krzywej \(\displaystyle{ y=x^2}\) dla \(\displaystyle{ x\in[0,4]}\) gdy gęstość dana jest równaniem \(\displaystyle{ \lambda(x,y)=x^3}\)

\(\displaystyle{ m=\int\limits_K\rho(x,y)\,\text dl=\int\limits^4_0x^3\sqrt{1+4x^2}\,\text dx}\)

najpierw można obliczyć całkę nieoznaczoną

\(\displaystyle{ \int x^3\sqrt{1+4x^2}\,\text dx=\int\frac14x^2\sqrt{1+4x^2}\cdot4x\,\text dx}\)

podstawienie \(\displaystyle{ 1+4x^2=t^2}\) prowadzi do równości \(\displaystyle{ 4x\,\text dx=t\,\text dt}\), ponadto \(\displaystyle{ x^2=\frac14\left(t^2-1\right)}\), całka przyjmuje postać

\(\displaystyle{ \int\frac1{16}\left(t^2-1\right)\cdot t\cdot t\,\text dt=\frac1{16}\int\left(t^4-t^2\right)\,\text dt=\frac1{80}t^5-\frac1{48}t^3=\frac1{80}\left(1+4x^2\right)^\frac52-\frac1{48}\left(1+4x^2\right)^\frac32}\)

po podstawieniu granic całkowania, ostateczny wynik wynosi

\(\displaystyle{ m=\frac1{80}\cdot 5^\frac52-\frac1{48}\cdot5^\frac32=\frac1{16}\cdot5^\frac32-\frac1{48}\cdot5^\frac32=\frac5{24}\sqrt5}\)

Zadanie 3 - obliczenie pracę wykonaną w polu sił:    

Obliczyć pracę w polu sił \(\displaystyle{ \mathbf F(x,y)=\left[x^2-y^2,\ x^2+y^2\right]}\) wykonaną nad ciałem poruszającym się po okręgu \(\displaystyle{ K\colon x^2+y^2=R^2}\) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rozwiązanie
Sposób 1: ponieważ niezależnie od początkowego punktu ciało zakreśla pełny okrąg, początkowe jego położenie nie ma wpływu na wykonaną pracę.
Praca zostanie obliczona za pomocą całki krzywoliniowej skierowanej. Zgodnie z definicją

\(\displaystyle{ W=\int\limits_K\mathbf F\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)\circ\text d\mathbf l=\int\limits_KP(x,y)\,\text dx+Q(x,y)\,\text dy}\)

Różniczka łuku oraz współrzędne wektora siły zostaną wyrażone za pomocą równań parametrycznych. Niech \(\displaystyle{ x=R\cos t,\ \ y=R\sin t,\ \ t\in[0,\,2\pi]}\). Wtedy

\(\displaystyle{ W=\int\limits^{2\pi}_0P(x,y)\,\text dx+Q(x,y)\,\text dy=\\ \\ = \int\limits^{2\pi}_0R^2\left(\cos^2t-\sin^2t\right)\cdot(-R\sin t)\,\text dt+R^2\left(\cos^2t+\sin^2t\right)\cdot(R\cos t)\,\text dt=\\ \\ = \int\limits^{2\pi}_0R^3\left(-\cos^2t\sin t+\left(1-\cos^2t\right)\sin t+\cos t\right)\,\text dt=R^3\int\limits^{2\pi}_0\left(-2\cos^2t\sin t+\sin t+\cos t\right)\,\text dt=R^3\left|\frac23\cos^3t-\cos t+\sin t+C\right|^{2\pi}_0=0}\)

Sposób 2:
Można wykorzystać twierdzenie Greena:

\(\displaystyle{ W=\oint\limits_{\partial A}P(x,y)\,\text dx+Q(x,y)\,\text dy=\iint\limits_A\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\text dx\,\text dy}\)

Rotacja pola wektorowego:

\(\displaystyle{ \mathrm{rot}\,\mathbf F=\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y}\right)\times\left(x^2-y^2,\ x^2+y^2\right)=2x+2y}\)

stąd

\(\displaystyle{ W=\iint\limits_D(2x+2y)\,\text dx\,\text dy}\)

przekształcając na współrzędne biegunowe

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=r\cos\phi\\ y=r\sin\phi\end{cases},\ \ r\in[0,\,R],\ \ \phi\in[0,\,2\pi]}\)

zatem

\(\displaystyle{ W=\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}\int\limits^{r=R}_{r=0}(2r\cos\phi+2r\sin\phi)r\,\text dr\,\text d\phi=\int\limits^{\phi=2\pi}_{\phi=0}(\sin\phi+\cos\phi)\,\text d\phi\int\limits^{r=R}_{r=0}2r^2\,\text dr=0\cdot\frac23R^3=0}\)