Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
Pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f}\) w kierunku wektora \(\displaystyle{ v}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) nazywamy \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial v}(x_0)= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}}\).
Jeżeli pochodne cząstkowe są ciągłe w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\), a \(\displaystyle{ v}\) jest wektorem jednostkowym, to \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial v}(x_0)=v \cdot \textbf{grad} f(x_0,y_0)}\).
Przykład 1
Korzystając z definicji oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)=(0,0)}\) i kierunku \(\displaystyle{ v=\left[ \frac{1}{2},- \frac{\sqrt3}{2} \right]}\).
Ta granica nie istnieje, ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0^+} \frac{\left| t\right| }{t}=1 \\
\lim_{t \to 0^-} \frac{\left| t\right| }{t}=-1}\)
Pochodna kierunkowa w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje.
Przykład 2
Korzystając z definicji oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)= \left| x-y\right|}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)=(1,1)}\) i kierunku \(\displaystyle{ v=\left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right]}\).
Ta granica również nie istnieje (patrz przykład 1), więc nie istnieje pochodna kierunkowa w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\).
Przykład 3
Oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\sin x\sin y}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0)=(0,\pi)}\) i kierunku \(\displaystyle{ v= \left[ -\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right]}\).
Rozwiązanie:
Pochodne cząstkowe są ciągłe, więc możemy skorzystać ze wzoru na liczenie pochodnych cząstkowych przy użyciu gradientu funkcji. \(\displaystyle{ \textbf{grad} f=\left[ \frac{ \partial f}{ \partial x}, \frac{ \partial f}{ \partial y} \right]=\left[ \sin y\cos x, \sin x \cos y\right] \\
\frac{ \partial f}{ \partial v}(x_0,y_0)= v \cdot \textbf{grad} f(x_0,y_0) =\left[ -\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right] \cdot \left[ \sin y\cos x, \sin x \cos y\right] _{(0,\pi)}=\\=\left[ -\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right] \cdot [0,0]=0}\)
(mamy tutaj iloczyn skalarny wektorów)
Przykład 4
Oblicz pochodną kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,z)= \frac{z-x}{z+y}}\) w punkcie \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)=(1,0,-3)}\) i kierunku \(\displaystyle{ v=\left[ - \frac{6}{7}, \frac{3}{7},- \frac{2}{7} \right]}\).
Przykład 5
Wyznacz pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x,y,z)=xyz}\) w punkcie \(\displaystyle{ A=(5,1,2)}\) w kierunku od tego punktu do punktu \(\displaystyle{ B=(9,4,14)}\).
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=B-A=[4,3,12] \\
\left| AB\right| = \sqrt{4^2+3^2+12^2}=13}\)
We wzorze jest mowa o wektorze jednostkowym (jego długość musi być równa 1), więc musimy podzielić to przez 13, aby móc skorzystać ze wzoru. \(\displaystyle{ \frac{\vec{AB}}{13}=\left[ \frac{4}{13}, \frac{3}{13}, \frac{12}{13} \right]}\)
