Zastosowanie tranformaty Laplace'a

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
miodzio1988

Zastosowanie tranformaty Laplace'a

Post autor: miodzio1988 »

Zastosowanie tranformaty Laplace'a
Będziemy korzystać przede wszystkim :

1) z tablic :




2) ze wzoru na transformatę pochodnej:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - s^{n - 2} f'(0^+)- ... - f^{(n - 1)}(0^+)}\)
3) z twierdzenia Borela:
Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f _{1} \right\}=F _{1}}\), \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ f _{2} \right\}=F _{2}}\) oraz \(\displaystyle{ F _{1}}\) i \(\displaystyle{ F _{1}}\) są zbieżne bezwzględnie dla \(\displaystyle{ s=s _{0}}\) , to

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{f_{1}*f_{2} \right\}(s _{0})=F _{1} (s _{0}) \cdot F _{2}(s _{0})}\)

gdzie \(\displaystyle{ f _{1}* f _{2}(t):= \int_{0}^{t}f _{1}(u) \cdot f _{2}(t-u)du}\)
Zadanie I
Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ y(t)}\), która spełnia równanie:

\(\displaystyle{ y(t)= 2 \cdot t+ \int_{0}^{t}\sin(t-u)y(u)du}\)

Z warunkiem początkowym:

\(\displaystyle{ y(0 ^{+})=0}\)

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s)}\)

Transformując obie strony i korzystając z twierdzenia Borela otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{1}{s ^{2} }+ \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s) \cdot \mathcal{L}\left\{ \sin(t) \right\}(s)}\)

\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{1}{s ^{2} }+Y(s) \cdot \frac{1}{s ^{2}+1 }}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ Y(s)}\) :

\(\displaystyle{ Y(s)(1- \frac{1}{s ^{2} +1})= \frac{1}{s ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ Y(s)( \frac{s ^{2} }{s ^{2} +1})= \frac{1}{s ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ Y(s)= \frac{s ^{2}+1 }{s ^{4} }= \frac{1}{s ^{2} }+ \frac{1}{s ^{4} }}\)

Znowu korzystając z tablic liczymy transformatę odwrotną tej funkcji otrzymując rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y(t)= t+ \frac{t ^{3} }{3!}}\)

\(\displaystyle{ y(t)= t+ \frac{t ^{3} }{6}}\)


Zadanie II
Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ y(t)}\), która spełnia równanie:

\(\displaystyle{ y'(t)= 1}\)

(nie zadajemy warunku początkowego zatem rozwiązaniem będzie rodzina funkcji, a nie jedne konkretna)

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s)}\)

Transformując obie strony i korzystając ze wzoru :
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0^+)}\)
otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ s \cdot Y(s) - f(0^+)= \frac{1}{s}}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ Y(s)}\):

\(\displaystyle{ s \cdot Y(s) = \frac{1}{s}+ f(0^+)}\)

\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{1}{s ^{2} }+ \frac{1}{s} \cdot f(0^+)}\)

Liczymy tranformatę odwrotną:

\(\displaystyle{ y(t)=t+ f(0^+)}\)

czyli to samo co by nam wyszło gdybyśmy liczyli całkując obie strony.


Zadanie III
Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ y(t)}\), która spełnia równanie:

\(\displaystyle{ y''(t)-3 \cdot y'(t)+2y=2}\)

Z warunkami początkowymi:

\(\displaystyle{ y(0 ^{+})=y'(0 ^{+})=0}\)

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ y(t) \right\}(s)}\)

Transformując obie strony i korzystając ze wzorów :
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0^+)}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0^+) - f'(0^+)}\)
otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ s ^{2} \cdot Y(s) -3 \cdot s \cdot Y(s)+2 \cdot Y(s)= \frac{2}{s}}\)

\(\displaystyle{ Y(s) (s ^{2} -3s+2) = \frac{2}{s}}\)

\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{2}{(s ^{2} -3s+2)s}}\)

\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{2}{ (s-1)(s-2)s}}\)

Stosujemy rozkład na ułamki proste:

\(\displaystyle{ \frac{2}{ (s-1)(s-2)s}= \frac{A}{ s}+ \frac{B}{ (s-1) }+ \frac{C}{ (s-2) }}\)

(stałe już każdy może obie wyliczyć)

I odwracamy transformatę:

\(\displaystyle{ y(t)=A+B \cdot e ^{t} + C \cdot e ^{2t}}\)


Skorzystaliśmy ze wzoru na przysunięcie transformaty:
\(\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)}\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)}\)


Uwaga!!!

Bardzo ważny wzór na odwracanie transformaty Laplace'a :

Jeżeli \(\displaystyle{ Y(s)}\)
ma bieguny w punktach \(\displaystyle{ s _{0}, s _{1},...,s _{n}}\), to:

\(\displaystyle{ \frac{f(t ^{+})+f(t ^{-} ) }{2} = \sum_{j=0}^{n} res _{s=s _{j} } (e ^{st} \cdot Y(s))}\)

\(\displaystyle{ Y(s): = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}(s)}\)

Zastosowanie ów wzoru przy okazji tematu o odwracaniu transformaty Laplace'a.
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW

Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie
to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )
Ostatnio zmieniony 13 lut 2011, o 22:16 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
ODPOWIEDZ