Geometria analityczna w 3D - odległości
Postanowiłem założyć ten temat ze względu na mnogość zadań pojawiających się w dziale Geometria analityczna, dotyczących problemów liczenia odległości między punktami, prostymi i płaszczyznami. Zamiast szukania skomplikowanych sposobów rozwiązania, często w takich zadaniach wystarczy skorzystać z gotowego wzoru po dokonaniu kilku prostych obliczeń lub przekształceń.
W rozwiązaniach zadań będą wykorzystane następujące dwa wzory:
Odległość punktu \(\displaystyle{ P(x_0,y_0,z_0)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi:Ax+By+Cz+D=0}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ d(\pi,P)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\)
Dowód:
Odległość płaszczyzn równoległych \(\displaystyle{ \pi:Ax+By+Cz+D=0}\) i \(\displaystyle{ \pi^\prime:Ax+By+Cz+D^\prime=0}\) dana jest wzorem \(\displaystyle{ d(\pi,\pi^\prime)=\frac{|D-D^\prime|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\)
Odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) równoległej do \(\displaystyle{ \vec{u}}\), przechodzącej przez \(\displaystyle{ P_0}\), wynosi \(\displaystyle{ d(l,P)=\frac{|\vec{PP_0} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}}\).
Dowód:
Zadanie I
Znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ A(1,2,1)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi:2x+y+2z+1=0}\).
Rozwiązanie:
Korzystając, ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny, obliczamy szukaną odległość:
\(\displaystyle{ d(\pi,A)=\frac{|2 \cdot 1+2+2 \cdot 1+1|}{\sqrt{2^{2}+1+2^2}}=\frac{7}{3}}\)
Zadanie II
Znaleźć odległość płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi:5x-3y+7z=0}\) i \(\displaystyle{ \rho:-10x+6y-14z+2=0}\).
Rozwiązanie:
Odczytujemy wektory normalne podanych płaszczyzn:
\(\displaystyle{ \vec{u_\pi}=[5,-3,7]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_\rho}=[-10,6,-14]}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{5}{-10}=\frac{-3}{6}=\frac{7}{-14}=-\frac{1}{2}}\), to wspomniane wektory są równoległe, co oznacza, że płaszczyzny są również równoległe. Mnożymy zatem równanie drugiej płaszczyzny przez \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \rho:5x-3y+7z-1=0}\)
Następnie korzystamy ze wzoru na odległośc dwóch płaszczyzn równoległych:
\(\displaystyle{ d(\pi,\rho)=\frac{|0+1|}{\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}+7^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{83}}=\frac{\sqrt{83}}{83}}\).
Zadanie III
Znaleźć odległość płaszczyzn \(\displaystyle{ \pi:2x-z=0}\) i \(\displaystyle{ \rho:3x+y=0}\).
Rozwiązanie:
Odczytujemy wektory normalne podanych płaszczyzn:
\(\displaystyle{ \vec{u_\pi}=[2,0,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_\rho}=[3,1,0]}\)
Ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ t}\), że \(\displaystyle{ \vec{u_\pi}=t\vec{u_\rho}}\), to wektory normalne do podanych płaszczyzn nie są równoległe, co oznacza, że podane płaszczyzny przecinają się. Ich odległość wynosi zatem \(\displaystyle{ d(\pi,\rho)=0}\).
Zadanie IV
Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ P(1,2,1)}\) od prostej \(\displaystyle{ l:x-1=y=\frac{z+1}{2}}\).
Rozwiązanie:
Odczytujemy wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{u}}\) prostej \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,1,2]}\), oraz znajdujemy współrzędne dowolnego punktu tej prostej, np. \(\displaystyle{ P_0(1,0,-1)}\). Następnie wyznaczamy wektor \(\displaystyle{ \vec{PP_0}}\):
\(\displaystyle{ \vec{PP_0}=[1-1,0-2,-1-1]=[0,-2,-2]}\)
Na koniec korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej:
\(\displaystyle{ d(l,P)=\frac{|[0,-2,-2] \times [1,1,2]|}{\sqrt{1+1+2^2}}=\frac{|[-2,-2,2]|}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}}\)
Zadanie V
Obliczyć odległość prostych \(\displaystyle{ k:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+2}{5}}\) i \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=4t \\ y=6t+2 \\ z=10t \end{cases}}\).
Rozwiązanie:
Odczytujemy wektory kierunkowe podanych prostych:
\(\displaystyle{ \vec{u_k}=[2,3,5]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_l}=[4,6,10]}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=2}\), to wektory kierunkowe są równoległe, co oznacza, że również podane proste są równoległe. Wystarczy zatem wziąć jeden punkt prostej \(\displaystyle{ l}\) i obliczyć jego odległość od prostej k. Jednym z punktów prostej l jest \(\displaystyle{ P=(0,2,0)}\), a jednym z punktów prostej k jest \(\displaystyle{ P_0=(0,1,-2)}\), zatem:
\(\displaystyle{ \vec{PP_0}=[0-0,1-2,-2-0]=[0,-1,-2]}\)
\(\displaystyle{ d(k,l)=\frac{|[0,-1,-2]\times [2,3,5]|}{|2^2+3^2+5^2|}=\frac{|[1,-4,2]|}{\sqrt{38}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{38}}=\frac{\sqrt{798}}{38}}\)
Zadanie VI
Obliczyć odległość prostych \(\displaystyle{ k:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{5}}\) i \(\displaystyle{ l:x-1=\frac{y-4}{2}=\frac{z-7}{3}}\).
Rozwiązanie:
Odczytujemy wektory kierunkowe podanych prostych:
\(\displaystyle{ \vec{u_k}=[2,3,5]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_l}=[1,2,3]}\)
Powyższe wektory nie są równoległe, co oznacza, że proste się przecinają lub są zwichrowane. Sprawdzamy zatem, czy proste leżą w jednej płaszczyźnie. Jeden ze sposobów:
Odczytujemy dowolne punkty \(\displaystyle{ P_1,P_2}\) należące odpowiednio do prostych \(\displaystyle{ k,l}\):
\(\displaystyle{ P_1=(-1,1,2)\\
P_2=(1,4,7)}\)
Budujemy macierz, której pierwszym wierszem jest wektor \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}=[1+1,4-1,7-2]=[2,3,5]}\), a pozostałymi dwoma wierszami są wektory kierunkowe rozważanych prostych, i obliczamy jej wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 2&3&5 \\ 2&3&5 \\ 1&2&3 \end{matrix}\right|=0}\)
Wyznacznik macierzy wynosi \(\displaystyle{ 0}\), co oznacza, że proste leżą w jednej płaszczyźnie; skoro nie są równoległe, to muszą się przecinać. Ich odległość wynosi zatem \(\displaystyle{ d(k,l)=0}\).
Zadanie VII
Obliczyć odległość prostych \(\displaystyle{ k:\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{2}}\) i \(\displaystyle{ l:x-5=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{2}}\).
Rozwiązanie:
Odczytujemy wektory kierunkowe podanych prostych:
\(\displaystyle{ \vec{u_k}=[3,2,2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{u_l}=[1,2,2]}\)
Powyższe wektory nie są równoległe, co oznacza, że proste się przecinają lub są zwichrowane. Sprawdzamy zatem, czy proste leżą w jednej płaszczyźnie. Odczytujemy dowolne punkty \(\displaystyle{ P_1,P_2}\) należące odpowiednio do prostych \(\displaystyle{ k,l}\):
\(\displaystyle{ P_1=(-1,-2,0)\\
P_2=(5,2,2)}\)
Budujemy macierz, której pierwszym wierszem jest wektor \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}=[5+1,2+2,2-0]=[6,4,2]}\), a pozostałymi dwoma wierszami są wektory kierunkowe rozważanych prostych, i obliczamy jej wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 3&2&2 \\ 1&2&2 \\ 6&4&2 \end{matrix}\right|=-8 \neq 0}\)
Wyznacznik macierzy jest różny od zera, co oznacza, że proste są zwichrowane. Znajdźmy zatem płaszczyznę równoległą do obu tych prostych i zawierającą prostą \(\displaystyle{ l}\). Jej wektor normalny możemy obliczyć jako \(\displaystyle{ \vec{N}=\vec{u_k} \times \vec{u_l}=[0,-4,4]}\). Dla uproszczenia, możemy użyć równoległego do niego wektora \(\displaystyle{ \vec{N^\prime}=[0,-1,1]}\). Do szukanej płaszczyzny należy \(\displaystyle{ P_2}\), w związku z czym możemy zapisać równanie szukanej płaszczyzny jako:
\(\displaystyle{ 0(x-5)-(y-2)+(z-2)=0\\
-y+z=0}\)
Znajdujemy szukaną odległość między prostymi jako odległość dowolnego z punktów prostej \(\displaystyle{ k}\) (np. \(\displaystyle{ P_1}\)) od wyznaczonej płaszczyzny:
\(\displaystyle{ d(k,l)=\frac{|2+0|}{\sqrt{(-1)^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}}\)
Zadanie VIII
Obliczyć odległość prostej \(\displaystyle{ k:\frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{2}}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi:x+2y+z-4=0}\).
Rozwiązanie:
Równanie podanej prostej przekształcamy na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3t-1 \\ y=2t-2 \\z=2t \end{cases}}\)
Badamy wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. W tym celu wstawiamy przepisy na \(\displaystyle{ x,y,z}\) do równania płaszczyzny i badamy ilość rozwiązań otrzymanego równania.
\(\displaystyle{ (3t-1)+2(2t-2)+2t-4=0\\
9t=9\\
t=1}\)
Równanie posiada jedno rozwiązanie, co oznacza, że prosta przebija płaszczyznę. Szukana odległość wynosi zatem \(\displaystyle{ d(l,\pi)=0}\).
Zadanie IX
Obliczyć odległość prostej \(\displaystyle{ k:\frac{x}{3}=y-2=\frac{z}{3}}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi:3x+3y-4z=0}\).
Rozwiązanie:
Równanie podanej prostej przekształcamy na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3t \\ y=t+2 \\z=3t \end{cases}}\)
Badamy wzajemne położenie prostej i płaszczyzny. W tym celu wstawiamy przepisy na \(\displaystyle{ x,y,z}\) do równania płaszczyzny i badamy ilość rozwiązań otrzymanego równania.
\(\displaystyle{ 3\cdot 3t+3(t+2)-4 \cdot 3t=0\\
6=0}\)
Otrzymana sprzeczność oznacza, że równanie nie ma rozwiązań, zatem prosta i płaszczyzna są równoległe. Ich odległość można wyznaczyć jako odległość dowolnego punktu \(\displaystyle{ l}\) od prostej \(\displaystyle{ \pi}\), np. punktu \(\displaystyle{ P(0,2,0)}\):
\(\displaystyle{ d(l,\pi)=\frac{|6|}{3^2+1+3^2}=\frac{6}{\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{19}}{19}}\).
Wszelkie uwagi dotyczące tego tematu proszę pisać na PW.