\(\displaystyle{ \underline{\text{Twierdzenie (O Całkowaniu Przez Części)}}}\)
Jeśli funkcje \(\displaystyle{ u(x)}\) i \(\displaystyle{ v(x)}\) są różniczkowalne i istnieje całka nieoznaczona przynajmniej jednej z funkcji \(\displaystyle{ \color{brown}u(x)\cdot v'(x)}\) i \(\displaystyle{ \color{green}u'(x)\cdot v(x)}\),
to istnieje całka nieoznaczona drugiej z tych funkcji oraz prawdziwy jest wzór:
\(\displaystyle{ \int {\color{brown}u(x)\cdot v'(x)} \text{d}x = u(x)\cdot v(x)-\int {\color{green}u'(x)\cdot
v(x)}\text{d}x.}\)
Ilekroć będziemy się powoływać na wzór - chodzić będzie o powyższy wzór.
W przypadku, gdy mamy obliczyć całkę metodą "przez części" musimy funkcję podcałkową (tzn. tą funkcję z której liczymy całkę) przedstawić w postaci iloczynu funkcji \(\displaystyle{ u(x)\cdot v'(x)}\) i tutaj dla tych, którzy zaczynają swoją przygodę z całkami może pojawić się taki problem - którą funkcję przyjąć jako \(\displaystyle{ u(x)}\) a którą jako \(\displaystyle{ v'(x)}\) ?
Przykład 1
Obliczyć całkę \(\displaystyle{ {\color{red}\int x\sin x\text{d}x}}\)W tym przypadku funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji \(\displaystyle{ x\cdot\sin x}\).
Którą funkcję "opłaca" się tutaj przyjąć jako \(\displaystyle{ u(x)}\) a którą jako \(\displaystyle{ v'(x)}\) ?
Zauważmy, że jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ u(x)=x}\), to jej pochodna będzie już stałą (\(\displaystyle{ u'(x)=1}\)). Wówczas \(\displaystyle{ v'(x)=\sin x}\), czyli \(\displaystyle{ v(x)=-\cos x}\). Zatem całka występująca po prawej stronie wzoru będzie postaci \(\displaystyle{ \int \cos x\text{d}x}\) - jedna z podstawowych całek.
Jeśli byśmy przyjęli odwrotnie, to całka występująca po prawej stronie wzoru była by postaci \(\displaystyle{ \int x^{2}\cos x\text{d}x}\) - trudniejsza do policzenia niż całka wyjściowa.
Zatem:
\(\displaystyle{ \int \underbrace{x}_{u(x)}\underbrace{\sin x}_{v'(x)}
\text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\underbrace{x}_{u(x)}\cdot \underbrace{(-\cos x)}_{v(x)}-\int
\underbrace{1}_{u'(x)} \cdot \underbrace{(-\cos x)}_{v(x)}
\text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =-x\cos x+\int \cos x\text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =-x\cos x +\sin x +C}\)
Przykład 2
Obliczyć całkę \(\displaystyle{ {\color{red}\int x^{2}3^{x}\text{d}x}}\)Tutaj, argumentując podobnie jak w przykładzie pierwszym, "opłaca" się nam przyjąć \(\displaystyle{ u(x)=x^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ v'(x)=3^{x}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int \underbrace{x^{2}\cdot 3^{x}}_{u(x)\cdot v'(x)} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\underbrace{x^{2}\cdot\frac{3^{x}}{\ln 3}}_{u(x)\cdot v(x)} - \int \underbrace{2x\cdot\frac{3^{x}}{\ln 3}}_{u'(x)\cdot v(x)} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\ln 3}x^{2}3^{x} - \frac{2}{\ln 3} \int x\cdot 3^{x}\text{d}x=}\)
całkujemy drugi raz przez części, przyjmując \(\displaystyle{ u_{2}(x)=x}\) oraz \(\displaystyle{ v_{2}'(x)=3^{x}}\)
\(\displaystyle{ =
\frac{1}{\ln 3}x^{2}3^{x} - \frac{2}{\ln 3} \int \underbrace{x\cdot 3^{x}}_{u_{2}(x)\cdot v_{2}'(x)} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\ln 3}x^{2}3^{x} - \frac{2}{\ln 3} \left(
\underbrace{x\cdot\frac{3^{x}}{\ln 3}}_{u_{2}(x)\cdot v_{2}(x)} - \int \underbrace{1\cdot \frac{3^{x}}{\ln 3}}_{u_{2}'(x)\cdot v_{2}(x)} \text{d}x \right) =}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln 3}x^{2}3^{x}-\frac{2}{\ln^{2}3}x3^{x}+\frac{2}{\ln^{2}3}\int 3^{x}\text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{\ln 3}x^{2}3^{x}-\frac{2}{\ln^{2}3}x3^{x}+\frac{2}{\ln^{3}3}3^{x}+C}\)
Przykład 3
Obliczyć całkę \(\displaystyle{ {\color{red}\int x^{20}\ln x\text{d}x}}\)Tutaj, w odróżnieniu od dwóch poprzednich przykładów, "wygodniej' jest przyjąć \(\displaystyle{ u(x)=\ln x}\) oraz \(\displaystyle{ v'(x)=x^{20}}\). Wtedy \(\displaystyle{ u'(x)=\frac{1}{x}}\) oraz \(\displaystyle{ v(x)=\frac{1}{21}x^{21}}\). Zatem całka występująca po prawej stronie wzoru będzie całką funkcji potęgowej, którą to bardzo łatwo wyznaczyć.
Zatem:
\(\displaystyle{ \int \underbrace{x^{20}\cdot\ln x}_{v'(x)\cdot u(x)} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\underbrace{\frac{1}{21}x^{21}\cdot \ln x}_{v(x)\cdot u(x)} - \int \underbrace{\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{21}x^{21}}_{u'(x)\cdot v(x)} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{21}x^{21}\ln x - \frac{1}{21} \int x^{20} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{21}x^{21}\ln x-\frac{1}{21}\cdot\frac{1}{21}x^{21} +C=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{21}x^{21}\ln x-\frac{1}{441}x^{21} +C}\)
Przykład 4
Obliczyć całkę \(\displaystyle{ {\color{red}\int 5^{x} \sin x\text{d}x}}\)W tym przypadku nie ma znaczenia którą funkcję przyjmiemy jako \(\displaystyle{ u(x)}\) a którą jako \(\displaystyle{ v'(x)}\), ważne jednak jest to, że jeżeli przyjmiemy funkcję wykładniczą jako \(\displaystyle{ u(x)}\), a trygonometryczną jako \(\displaystyle{ v'(x)}\), to podczas drugiego całkowania przez części należy też tak przyjąć.
Zatem:
\(\displaystyle{ \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\int} \underbrace{\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{5^{x}\cdot \sin x}}_{u(x)\cdot v'(x)} \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\text{d}x}=}\)
\(\displaystyle{ =\underbrace{5^{x}(-\cos x)}_{u(x)\cdot v(x)}-\int \underbrace{5^{x}\ln 5\cdot (-\cos x)}_{u'(x)\cdot v(x)} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =-5^{x}\cos x+\ln 5 \int 5^{x}\cos x \text{d}x=}\)
Całkujemy poraz drugi przez części
\(\displaystyle{ =-5^{x}\cos x+\ln 5 \int \underbrace{5^{x}\cdot \cos x}_{u_{2}(x)\cdot v_{2}'(x)} \text{d}x=}\)
\(\displaystyle{ =-5^{x}\cos x+\ln 5 ( \underbrace{5^{x}\sin x}_{u_{2}(x)\cdot v_{2}(x)} - \int \underbrace{5^{x}\ln 5 \cdot \sin x}_{u_{2}'(x)\cdot v_{2}(x)} \text{d}x)=}\)
\(\displaystyle{ =-5^{x}\cos x+\ln 5\cdot 5^{x}\sin x \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{-\ln^{2}5}
\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\int 5^{x}\sin x \text{d}x}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1}{\color{red}\int 5^{x} \sin x\text{d}x}=-5^{x}\cos x+\ln 5\cdot 5^{x}\sin x \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{-\ln^{2}5}
\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\int 5^{x}\sin x \text{d}x}}\)
Zatem otrzymaliśmy równanie, w którym niewiadomą jest \(\displaystyle{ \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\int 5^{x}\sin x\text{d}x}}\)
Przenosimy składnik \(\displaystyle{ \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{\ln^{2}5}
\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\int 5^{x}\sin x \text{d}x}}\) na lewą stronę równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{(1+\ln^{2}5)}\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\int 5^{x}\sin x\text{d}x}=-5^{x}\cos x+\ln 5\cdot 5^{x}\sin x+C}\)
Teraz dzielimy obustronnie powyższą równość przez \(\displaystyle{ \textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{1+\ln^{2}5}}\) i otrzymujemy ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{\int 5^{x}\sin x\text{d}x}=\frac{-1}{1+\ln^{2}5}5^{x}\cos x+\frac{\ln 5}{1+\ln^{2}5}5^{x}\sin x+C}\)
Zdaję sobie sprawę z tego, że powyższe przykłady są bardzo proste, mam jednak nadzieję, że będą one pomocne dla tych, którzy zaczynają swoją "przygodę z całkami"