całkowanie przez podstawianie

[sdamian]

\(\displaystyle{ \underline{\text{Twierdzenie (\textsc{O Całkowaniu Przez Podstawianie})}}:}\)
\(\displaystyle{ \text{Jeśli } \varphi (x) \text{ jest funkcją różniczkowalną, jeśli istnieje całka nieoznaczona funkcji } f(x), \text{ to istnieje }}\)
\(\displaystyle{ \text{ całka nieoznaczona funkcji } f(\varphi (x)) \varphi '(x) \text{ i wyraża się ona wzorem:}}\)
\(\displaystyle{ \int f(\varphi (x))\cdot\varphi '(x)\text{d}x=\int f(t)\text{d}t}\)
\(\displaystyle{ \text{gdzie: } t=\varphi (x).}\)

Postaram się zilustrować powyższe twierdzenie na trzech poniższych przykładach:


Przykład 1.

\(\displaystyle{ \int\cos (7x+9)\text{d}x=\frac{1}{7}\int\cos (\underbrace{7x+9}_{\varphi (x)})\cdot \underbrace{7\text{d}x}_{\varphi '(x)\text{d}x}=\frac{1}{7}\int\cos (\underbrace{7x+9}_{t}) \cdot\text{d}(\underbrace{7x+9}_{t}) =\frac{1}{7}\int\cos t \text{d}t=\frac{1}{7}\sin t +C=\frac{1}{7}\sin (7x+9) +C}\)

Przykład 2.

\(\displaystyle{ \int\frac{\text{arcsin}^{10}x}{\sqrt{1-x^{2}}}\text{d}x=\int (\underbrace{\text{arcsin}x}_{\varphi (x)})^{10}\cdot \underbrace{\frac{\text{d}x}{\sqrt{1-x^{2}}}}_{\varphi '(x)\text{d}x}=\int (\underbrace{\text{arcsin}x}_{t})^{10}\cdot \underbrace{\text{d}(\text{arcsin}x)}_{\text{d}t}=\int t^{10}\text{d}t= \frac{1}{11}t^{11}+C=\frac{1}{11}\text{arcsin}^{11}x+C}\)

Przykład 3.

\(\displaystyle{ \int e^{\sqrt{x}}\text{d}x=}\)
podstawiamy:
\(\displaystyle{ \left|\begin{matrix}
\sqrt{x}=t\\
x=t^{2}\\
\text{d}x=2t\d\text{d}t\\
\end{matrix}\right|}\)
\(\displaystyle{ =\int e^{t}\cdot 2t\text{d}t=2\int te^{t}\text{d}t=}\)
teraz całkując przez części otrzymujemy:
\(\displaystyle{ =2(te^{t}-\int e^{t}\text{d}t)=2te^{t}-2e^{t}+C=}\)
wracając do podstawienia otrzymujemy wynik końcowy:
\(\displaystyle{ =2\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C}\)


\(\displaystyle{ a}\)