Wykorzystanie tw. Lagrange'a do dowodzenia nierówności
Treść omawianego twierdzenia można znaleźć w Kompendium - https://matematyka.pl/104622.htm.Przykłady
- Udowodnij, że \(\displaystyle{ \tan x > x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left(0, \tfrac{\pi}{2} \right)}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \tan 0 = 0}\), możemy zapisać:\(\displaystyle{ \frac{\tan x - \tan 0}{x - 0} = \frac{1}{\cos^2 c} \Rightarrow \tan x = \frac{x}{\cos^2 c}}\),gdzie \(\displaystyle{ c \in (0, x)}\). Dla takiego \(\displaystyle{ c}\) jest więc \(\displaystyle{ \cos c < 1}\), stąd \(\displaystyle{ \cos^2 c < 1}\) i \(\displaystyle{ \left( \cos^2 c \right)^{-1} > 1}\). Zatem ostatecznie \(\displaystyle{ \tan x = x \left( \cos^2 c \right)^{-1} > x}\). - Udowodnij, że \(\displaystyle{ \ln x < x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}_+}\).
Zauważmy, że prawdziwa jest również nierówność \(\displaystyle{ \ln x \le x - 1}\), gdzie równość zachodzi jedynie dla \(\displaystyle{ x=1}\). Dowodząc ją, dowiedziemy również prawdziwość wyjściowej nierówności.- Dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\):
\(\displaystyle{ \frac{\ln x - \ln 1}{x - 1} = \frac{1}{c} \Rightarrow \ln x = \frac{1}{c} (x - 1) < x - 1}\)Ponieważ \(\displaystyle{ c \in (x,1)}\) i obie strony nierówności są ujemne.
Dalej możemy zapisać, że \(\displaystyle{ \ln x < x-1 < x}\). - Dla \(\displaystyle{ x = 1}\):
\(\displaystyle{ \ln 1 = 0 = 1-1 < 1}\), czyli jest \(\displaystyle{ \ln x < x}\) - Dla \(\displaystyle{ x>1}\):
\(\displaystyle{ \frac{\ln x - \ln 1}{x - 1} = \frac{1}{c} \Rightarrow \ln x = \frac{1}{c} (x - 1) < x-1 < x}\),gdzie \(\displaystyle{ c \in (1, x)}\)
- Dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\):
- Wykorzystując twierdzenie Lagrange'a pokaż, że \(\displaystyle{ \forall x, y \in \mathbb{R} \; :\; |\cos^{7} x - \cos^{7} y| \le 7 |x-y|}\):
Dla \(\displaystyle{ x = y}\) zachodzi oczywiście równość, w innym przypadku możemy zapisać:\(\displaystyle{ \left| \frac{\cos^{7} x - \cos^{7} y}{x - y} \right| = \left| 7 \cos c \cdot (- \sin c) \right| < 7 \Rightarrow |\cos^{7} x - \cos^{7} y| < 7 |x-y|}\),gdzie \(\displaystyle{ c = x + \lambda (y-x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \lambda \in (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ \forall t \in \mathbb{R} \; : \; |\cos t \sin t| = \tfrac{1}{2} | \sin 2 t| < 1}\).