Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany - zastosowania

[Kamil_B]

Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany - zastosowania

Często w zadaniach z geometrii analitycznej potrzeba sprawnie określać np. równoległośc/prostopadłość wektorów, objętości prostych figur przestrzennych, czy też wyznaczać wektory/kierunkowe(normalne) dla prostych(płaszczyzn). Podniższy poradnik ma za zadanie przybliżyć nieco, wymienione w tytule,użyteczne w tych celach narzędzia.
Miłej lektury

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny będziemy oznaczać symbolem \(\displaystyle{ \circ}\), pisząc np. \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}}\).
Ponadto będą potrzebne dwie zależności, :

\(\displaystyle{ (1) \ \ \ \vec{a} \circ \vec{b}= x_1 x_2 + y_1 y_2 +z_1 z_2 \\
(2) \ \ \ \vec{a} \circ \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \sphericalangle( \vec{a} , \vec{b} )}\)

Teraz, uzbrojeni w tę wiedzę, możemy już przystąpić do rozkminiania konkretnych przykładów
Przykład 1.
Sprawdź czy wektory
a) \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,2,3)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(-4,5,-6)}\)
b) \(\displaystyle{ \vec{a}=(3,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,2,0)}\)
są prostopadłe.

Rozwiązanie:    

Wykorzystamy wzór \(\displaystyle{ (1)}\). Jeśli otrzymamy 0, to będzie oznaczać( na mocy \(\displaystyle{ (2)}\) ), że podane wektory są prostopadłe. W przeciwnym razie nie są oczywiście prostopadłe.
a) Mamy więc: \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 5 +3 \cdot (-6)=(-4)+(10)+(-18)=-12 \neq 0}\). Zatem wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\) nie są prostopadłe.
b) Tutaj z kolei otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 2 +0 \cdot 0=0}\). Zatem wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\) są, w tym przypadku, prostopadłe.
Warto zauważyć, że wektory \(\displaystyle{ (3,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,2,0)}\) leżą, odpowiednio, na osi Ox oraz Oy- intuicyjnie ich prostopadlość jest więc oczywista ( bo osie są prostopadłe)

Przykład 2.
Wyznaczyć kąt pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,3)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,-1,1)}\).

Rozwiązanie:    

Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ (1)}\) mamy: \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}=2}\). Z drugiej strony, dzieki \(\displaystyle{ (2)}\) możemy napisać \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}= \sqrt{11} \cdot \sqrt{2}\cdot \cos( \sphericalangle ( \vec{a}, \vec{b} ) )}\). Przyrównując policzone wartości otrzymujemy, że \(\displaystyle{ cos( \sphericalangle ( \vec{a}, \vec{b} ) )=\frac{\sqrt{22}}{11}}\). Stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle ( \vec{a}, \vec{b} )=\arccos(\frac{\sqrt{22}}{11})}\) i z tablic trygonometrych odczytujemy, że \(\displaystyle{ \sphericalangle ( \vec{a}, \vec{b}) \approx 62^{\circ}}\)

Przykład 3.
Wyznaczyć kąt pomiędzy wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}=(4,3,0)}\) a płaszczyzną \(\displaystyle{ Oxz}\).

Rozwiązanie:    

Czym jest szukany kąt ? Ano niczym innym jak kątem pomiędzy wspomnianym wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz jego rzutem prostopadłym \(\displaystyle{ \vec{b}}\) na tę płaszczyznę. Ponadto płaszczyzna \(\displaystyle{ Oxz}\) to wszystkie te punkty, które (na pewno) na drugiej współrzędnej mają \(\displaystyle{ 0}\). Stąd \(\displaystyle{ \vec{b}= (4,0,0)}\). Teraz postępujemy podobnie jak w Przykładzie 2 i otrzymujemy \(\displaystyle{ \arccos \sphericalangle ( \vec{a}, \vec{b} )=\frac{4}{5}}\), czyli \(\displaystyle{ \sphericalangle( \vec{a}, \vec{b} ) \approx 53^{\circ}.}\)

\(\displaystyle{ \hline}\)

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy oznaczać będziemy symbolem \(\displaystyle{ \times}\), pisząc np. \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}}\).
Tym razem godnym zapamiętania jest następujący fakt:
Jeśli \(\displaystyle{ \vec{a}=(x_1,y_1,z_1}\)) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)}\) , to zachodzi:

\(\displaystyle{ (3) \ \ \ \vec{a} \times \vec{b} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}}\)

Powyższy wzór może wydawać się dziwny- pod wyznacznikiem mamy bowiem zarówno liczby (np.\(\displaystyle{ x_{1}}\)) jak i wektory: \(\displaystyle{ \vec{i}=(1,0,0) , \vec{j}=(0,1,0) , \vec{k}=(0,0,1)}\). Nie jest to jednak w praktyce żaden problem, a sam wzór jest bardzo przydatny
Kolejne własności pojawią się wraz z następnymi przykładami

Przykład 4.
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}}\) dla wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}=(2,3,4)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(1,2,5)}\)

Rozwiązanie:    

Korzystamy z powyższego wzoru \(\displaystyle{ (3)}\) i metody Sarrusa liczenia wyznacznika trzeciego stopnia:
\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&3&4\\1&2&5\end{vmatrix}=15 \vec{i} +4\vec{j} +4\vec{k} -10\vec{j}-8\vec{i} -3\vec{k}=7\vec{i} -6\vec{j}+\vec{k}=(7,-6,1)}\)
Szukany wektor to \(\displaystyle{ (7,-6,1).}\)

Przykład 5.
Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,2,1)}\)

Rozwiązanie:    

Jeśli przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczymy pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\) , to zachodzi ważny wzór:

\(\displaystyle{ (4) \ \ \ P= \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\)

Tutaj otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ P= \left|(-1,-1,2) \right|=\sqrt{6}}\)

Przykład 6.
Sprawdź czy wektory \(\displaystyle{ \vec{a}=(2,4,6)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b} =(1,2,3)}\) są równoległe.

Rozwiązanie 1.:    

Skorzystamy z własnosci iloczynu wektorowego, mówiącej, że

\(\displaystyle{ (5) \ \ \ \vec{a} \times \vec{b} =0 \Leftrightarrow \vec{a} \parallel \vec{b} .}\)

Tutaj oczywiście powyższa własność zachodzi,czyli wspomniane wektory są istotnie równoległe.

Rozwiązanie 2.:    

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \vec{a}= 2 \vec{b}}\) , co oznacza że te wektory są liniowo zależne, a więc leżą na jednej prostej. Tym samym muszą być równoległe.

\(\displaystyle{ \hline}\)

Przykład 7.
Znaleźć wektor prostopadły do wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,3)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,2,5).}\)

Rozwiązanie:    

Ten przykład jest szczególnie ważny, gdyż w ten sposób można często wyznaczyć wektor normalny pewnej płaszczyzny Ale do rzeczy - szukany wektor to właśnie \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}}\).
Tutaj jest to zatem \(\displaystyle{ (-1,-5,2).}\)

Iloczyn mieszany

Ostatnie z prezentowanych pojęć łączy oba poprzednie ze sobą. Jest szczególnie przydatne do obliczania objętości prostych figur przestrzennych. Będziemy je oznaczać symbolicznie jako \(\displaystyle{ ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )}\). Najpierw podajmy jednak nastepujace istotne zależności:

\(\displaystyle{ (6) \ \ \ ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )=( \vec{a} \times \vec{b} )\circ \vec{c} \\
(7) \ \ \ ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )=\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}}\)

Przykład 8.
Wyznacz \(\displaystyle{ ( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} )}\) dla \(\displaystyle{ ( \vec{a}=(1,2,2) , \vec{b}=(0,0,3) , \vec{c}=(1,1,4 )}\).

Rozwiązanie:    

Korzystamy ze wzoru (7) i metody Sarrusa:
\(\displaystyle{ ( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} )=\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}=0+6+0-0-3+0=3}\)

Przykład 9.
Czy wektory \(\displaystyle{ ( \vec{a}=(1,0,1) , \vec{b}=(2,0,3) , \vec{c}=(1,4,4 )}\) są współpłaszczyznowe (tzn. leżą w jednej płaszczyźnie) ?

Rozwiązanie:    

Tutaj przyda się następująca własność iloczynu mieszanego:

\(\displaystyle{ (8) \ \ \ ( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} )=0 \Leftrightarrow \vec{a},\vec{b},\vec{c}}\) są wpółpłaszczyznowe.

Korzystamy więc z metody podanej w Przykładzie 8 i mamy, że \(\displaystyle{ (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=-4 \neq 0}\), czyli podane wektory nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Warto ponadto dodać, że współpłaszczyznowość jest równoważna liniowej zależności, co często przydaje się np. przy określaniu bazy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\).

Przykład 10.
Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ ( \vec{a}=(1,0,0) , \vec{b}=(2,5,4) , \vec{c}=(1,2,3)}\)

Rozwiązanie:    

Teraz z kolei skorzystamy z tego, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) oznacza objętość szukanego równoległościanu, to

\(\displaystyle{ (9) \ \ \ V= \left| (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) \right|}\)

Stąd tutaj \(\displaystyle{ V=7}\)

Przykład 11.
Oblicz objętość czworościanu rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,0,0),\vec{b}=(0,1,0),\vec{c}=(0,0,1)}\).

Rozwiązanie:    

Skorzystamy z tego, że jeśli \(\displaystyle{ V}\) oznacza szukaną objętość to mamy:

\(\displaystyle{ (10) \ \ \ V=\frac{1}{6} \left|( \vec{a},\vec{b},\vec{c} ) \right|}\)

Tutaj oczywiście \(\displaystyle{ V=\frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ \hline}\)

Wszelkie komentarze, uwagi co dodać/zmienić/usunąć, znalezione błędy proszę zgłaszać przez PW