Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany - zastosowania
Często w zadaniach z geometrii analitycznej potrzeba sprawnie określać np. równoległośc/prostopadłość wektorów, objętości prostych figur przestrzennych, czy też wyznaczać wektory/kierunkowe(normalne) dla prostych(płaszczyzn). Podniższy poradnik ma za zadanie przybliżyć nieco, wymienione w tytule,użyteczne w tych celach narzędzia.Miłej lektury
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny będziemy oznaczać symbolem \(\displaystyle{ \circ}\), pisząc np. \(\displaystyle{ \vec{a} \circ \vec{b}}\).Ponadto będą potrzebne dwie zależności, :
\(\displaystyle{ (1) \ \ \ \vec{a} \circ \vec{b}= x_1 x_2 + y_1 y_2 +z_1 z_2 \\
(2) \ \ \ \vec{a} \circ \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \sphericalangle( \vec{a} , \vec{b} )}\)
Teraz, uzbrojeni w tę wiedzę, możemy już przystąpić do rozkminiania konkretnych przykładów (2) \ \ \ \vec{a} \circ \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos \sphericalangle( \vec{a} , \vec{b} )}\)
Przykład 1.
Sprawdź czy wektory
a) \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,2,3)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(-4,5,-6)}\)
b) \(\displaystyle{ \vec{a}=(3,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,2,0)}\)
są prostopadłe.
Rozwiązanie:
Wyznaczyć kąt pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,3)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,-1,1)}\).
Rozwiązanie:
Wyznaczyć kąt pomiędzy wektorem \(\displaystyle{ \vec{a}=(4,3,0)}\) a płaszczyzną \(\displaystyle{ Oxz}\).
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \hline}\)
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy oznaczać będziemy symbolem \(\displaystyle{ \times}\), pisząc np. \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}}\).Tym razem godnym zapamiętania jest następujący fakt:
Jeśli \(\displaystyle{ \vec{a}=(x_1,y_1,z_1}\)) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(x_2,y_2,z_2)}\) , to zachodzi:
\(\displaystyle{ (3) \ \ \ \vec{a} \times \vec{b} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}}\)
Powyższy wzór może wydawać się dziwny- pod wyznacznikiem mamy bowiem zarówno liczby (np.\(\displaystyle{ x_{1}}\)) jak i wektory: \(\displaystyle{ \vec{i}=(1,0,0) , \vec{j}=(0,1,0) , \vec{k}=(0,0,1)}\). Nie jest to jednak w praktyce żaden problem, a sam wzór jest bardzo przydatny Kolejne własności pojawią się wraz z następnymi przykładami
Przykład 4.
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{b}}\) dla wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}=(2,3,4)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(1,2,5)}\)
Rozwiązanie:
Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,2,1)}\)
Rozwiązanie:
Sprawdź czy wektory \(\displaystyle{ \vec{a}=(2,4,6)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b} =(1,2,3)}\) są równoległe.
Rozwiązanie 1.:
Rozwiązanie 2.:
\(\displaystyle{ \hline}\)
Przykład 7.Znaleźć wektor prostopadły do wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,1,3)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}=(0,2,5).}\)
Rozwiązanie:
Iloczyn mieszany
Ostatnie z prezentowanych pojęć łączy oba poprzednie ze sobą. Jest szczególnie przydatne do obliczania objętości prostych figur przestrzennych. Będziemy je oznaczać symbolicznie jako \(\displaystyle{ ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )}\). Najpierw podajmy jednak nastepujace istotne zależności:
\(\displaystyle{ (6) \ \ \ ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )=( \vec{a} \times \vec{b} )\circ \vec{c} \\
(7) \ \ \ ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )=\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}}\)
Przykład 8.(7) \ \ \ ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )=\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ ( \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} )}\) dla \(\displaystyle{ ( \vec{a}=(1,2,2) , \vec{b}=(0,0,3) , \vec{c}=(1,1,4 )}\).
Rozwiązanie:
Czy wektory \(\displaystyle{ ( \vec{a}=(1,0,1) , \vec{b}=(2,0,3) , \vec{c}=(1,4,4 )}\) są współpłaszczyznowe (tzn. leżą w jednej płaszczyźnie) ?
Rozwiązanie:
Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ ( \vec{a}=(1,0,0) , \vec{b}=(2,5,4) , \vec{c}=(1,2,3)}\)
Rozwiązanie:
Oblicz objętość czworościanu rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}=(1,0,0),\vec{b}=(0,1,0),\vec{c}=(0,0,1)}\).
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \hline}\)
Wszelkie komentarze, uwagi co dodać/zmienić/usunąć, znalezione błędy proszę zgłaszać przez PW