Liczby zespolone- rozwiązywanie nierówności i równości
Gdy mamy równość nierówność warto na początku zawsze spróbować zastosować podstawienie:\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ a, b \in R}\)
Przykład 1
\(\displaystyle{ \left| z \right| \le 2}\)
Skorzystamy z definicji modułu:
\(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{a ^{2}+b ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2}+b ^{2} } \le 2}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2} \le 2 ^{2}}\)
Mamy koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\)
Przykład 2
\(\displaystyle{ \left| z +1 \right| \le 4}\)
\(\displaystyle{ \left| a+bi +1 \right| \le 4}\)
\(\displaystyle{ \left| (a+1) + bi \right| \le 4}\)
Skorzystamy z definicji modułu:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a+1) ^{2}+b ^{2} } \le 4}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ (a+1) ^{2}+b ^{2} \le 4 ^{2}}\)
Mamy koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 4}\)
Przykład 3
\(\displaystyle{ \left| z +i \right| \le 5}\)
\(\displaystyle{ \left| a+bi +i \right| \le 5}\)
\(\displaystyle{ \left| a + (b+1)i \right| \le 5}\)
Skorzystamy z definicji modułu:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a ) ^{2}+(b+1) ^{2} } \le 5}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ a ^{2}+(b+1) ^{2} \le 5 ^{2}}\)
Mamy koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,-1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 5}\)
Przykład 4
\(\displaystyle{ \left| z -i-1 \right| \le 3}\)
\(\displaystyle{ \left| a+bi -i-1 \right| \le 3}\)
\(\displaystyle{ \left| (a-1) + (b-1)i \right| \le 3}\)
Skorzystamy z definicji modułu:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a-1 ) ^{2}+(b-1) ^{2} } \le 3}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ (a-1) ^{2}+(b-1) ^{2} \le 3 ^{2}}\)
Mamy koło o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\)
Przykład 5
\(\displaystyle{ \left| z \right| \le -1}\)
Nie istnieje liczba \(\displaystyle{ z}\) spełniająca dane równanie.
Uwaga:
\(\displaystyle{ \left| z \right| \ge 0}\)
Przykład 6
\(\displaystyle{ 2 \le \left| z \right| \le 3}\)
\(\displaystyle{ 2 \le \left| a+bi \right| \le 3}\)
\(\displaystyle{ 2 \le \left| (a ) + (b )i \right| \le 3}\)
Skorzystamy z definicji modułu:
\(\displaystyle{ 2 \le \sqrt{(a ) ^{2}+(b ) ^{2} } \le 3}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ 2 ^{2} \le (a ) ^{2}+(b ) ^{2} \le 3 ^{2}}\)
Mamy pierścień w tym przypadku.
Przykład 7
\(\displaystyle{ \left| z -i-1 \right| =3}\)
\(\displaystyle{ \left| a+bi -i-1 \right| = 3}\)
\(\displaystyle{ \left| (a-1) + (b-1)i \right| = 3}\)
Skorzystamy z definicji modułu:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a-1 ) ^{2}+(b-1) ^{2} } = 3}\)
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\(\displaystyle{ (a-1) ^{2}+(b-1) ^{2} =3 ^{2}}\)
Mamy okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 3}\)
Przykład 8 (ważny)
\(\displaystyle{ Im \left(z+1 \right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ Im(z)= Im(a+bi)=b}\)
\(\displaystyle{ Re(z)= Im(a+bi)=a}\)
\(\displaystyle{ Im \left(a+bi+1 \right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ Im \left( (a+1)+bi \right) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ b \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \in R}\)
Zatem mamy \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) ćwiartkę.
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jakwniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )