Rozkład LU macierzy- szukanie wyznacznika
Rozkład \(\displaystyle{ LU}\) macierzy w bardzo łatwy sposób daje nam możliwość policzenia wyznacznika macierzy. Uwaga ogólna:
Nie dla każdej macierzy ten rozkład da się wykonać. Są inne wersje tego rozkładu, które eliminują ten problem ( np rozkład \(\displaystyle{ PQLU}\))
Przykład 1
\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ r_{i} - r_{j}}\)
Oznacza, że odejmujemy od \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ j}\)-ty
\(\displaystyle{ r_{i} - k \cdot r_{j}}\)
Oznacza, że odejmujemy od \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ j}\)-ty pomnożony przez \(\displaystyle{ k}\)
\(\displaystyle{ r_{2} - r_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{3} - r_{1}}\)
\(\displaystyle{ L_{1}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L_{1} \cdot A = \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{bmatrix}= A_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{3} -2 r_{2}}\)
\(\displaystyle{ L_{2}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} = L_{2}= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}=U}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} =U}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot L _{1} \cdot A =U}\)
\(\displaystyle{ L= L^{-1} _{1} \cdot L^{-1} _{2}=...}\)
Czytelnik już doliczy
Wtedy :
\(\displaystyle{ DetA=Det(L \cdot U)= Det(L ) \cdot Det( U)}\)
Macierz \(\displaystyle{ L}\) to macierz trójkątna dolna
Macierz \(\displaystyle{ U}\) to macierz trójkątna górna
Wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej górnej to iloczyn wyrazów na przekątnej
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanieto też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )