Sprzężenie
Często w liczeniu granic pojawia się sugestia:Chodzi o skorzystanie z tego wzoru:Pomnóż przez sprzężenie
\(\displaystyle{ a-b= \frac{a ^{2}-b ^{2} }{a+b}}\)
Przykład 1
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\sqrt{ n^{2} +2n-1} -n )=...}\)\(\displaystyle{ a=\sqrt{ n^{2} +2n-1}}\)
\(\displaystyle{ b=n}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} = n^{2} +2n-1}\)
\(\displaystyle{ b ^{2}=n ^{2}}\)
Korzystamy zatem z naszego wzoru
\(\displaystyle{ ...=\lim_{n \to \infty } \frac{ n^{2} +2n-1-n ^{2} }{\sqrt{ n^{2} +2n-1}+n}}\)
I dalej liczymy granicę.
Przykład 2
Liczymy granicę takiego ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}=n^{3}- \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}\)
\(\displaystyle{ a=n^{3}}\)
\(\displaystyle{ b=\sqrt{n^{6}-5n^{3}}}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} =n^{6}}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} = n^{6}-5n^{3}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } a_{n}= \lim_{ n \to \infty } \frac{n^{6}-(n^{6}-5n^{3}) }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}} =\lim_{ n \to \infty } \frac{n^{6}- n^{6}+5n^{3} }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{ 5n^{3} }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}}\)
Liczymy granicę dzieląc licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n ^{3}}\)
Przykład 3
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[3]{n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } -n=...}\)Wzór:
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 }}\)\(\displaystyle{ (a-b)= \frac{a^{3}-b^{3}}{(a^{2}+ab+b^{2})}}\)
\(\displaystyle{ b=n}\)
\(\displaystyle{ a ^{3} = n ^{3}+ 5n ^{2} + 6}\)
\(\displaystyle{ b ^{3} =n ^{3}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=\sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ a \cdot b =\sqrt[3]{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } \cdot n}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} =n ^{2}}\)
\(\displaystyle{ ...= \lim_{ n \to \infty } \frac{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 -n ^{3} }{\sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) ^{2} }+ \sqrt[3]{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } \cdot n + n ^{2} }=\\ = \lim_{ n \to \infty } \frac{ 5n ^{2} + 6 }{ \sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 )(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) } +n \cdot \sqrt[3]{n ^{3}( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) } + n ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) }= n \cdot \sqrt[3]{ ( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) }}\)
W pierwszym pierwiastku mnożymy to co jest pod pierwiastkiem i robimy to samo co w drugim pierwiastku. Licznik i mianownik dzielimy przez \(\displaystyle{ n ^{2}}\)
Przykład 4
\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0} \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} -1}{ \sqrt{n ^{2} +25} -5}=\lim_{n \to 0} \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} -1}{ \sqrt{n ^{2} +25} -5} \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} +1}{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} \cdot \frac{\sqrt{n ^{2} +25} +5}{\sqrt{n ^{2} +25}+5}=\\ \\=\lim_{n \to 0} \frac{ n ^{2} +1 -1 }{ n ^{2} +25 -25} \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} \cdot \frac{\sqrt{n ^{2} +25} +5}{1}=\lim_{n \to 0} \frac{ n ^{2} }{ n ^{2} } \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} =\\= \lim_{n \to 0} \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1}= \frac{ \sqrt{0 ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{0 ^{2} +1} +1}=...}\)
Zostają proste rachunki
cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jakwniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )