propozyjce zadań - konkurs 2011

[scyth]

W tym temacie podajemy zadania na konkurs. Mile widziana sugestia kategorii (gimnazjum/liceum/studia).

[Sylwek]

Ogólnie:
2 - chyba za łatwe jak na taki konkurs (ew. dla gimnazjum)
4 - zadanie bardzo "siłowe" i dość proste, raczej się nie spodoba, bo idzie na przypadki (ew. dla gimnazjum)
1,3 - gimnazjum
5,6 - liceum

---

1. Pokaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ t>0}\), że dla każdej czwórki liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniających równość \(\displaystyle{ a \cdot b \cdot c \cdot d=1}\) zachodzi następująca nierówność: \(\displaystyle{ \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}>t}\). Czy zbiór dodatnich \(\displaystyle{ t}\), które spełniają powyższą nierówność, przyjmuje wartość największą? Jeśli tak, wskaż ją.

---

2. Na ile sposobów można wybrać 8 liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots,a_8}\) takich, że: \(\displaystyle{ 1 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_8 \le 8}\)?

---

3. Niech \(\displaystyle{ S(n)}\) oznacza sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ n>1}\) oraz \(\displaystyle{ n \neq 10}\), to istnieje dokładnie jedna liczba całkowita \(\displaystyle{ A \ge 2}\) taka, że: \(\displaystyle{ S(k)+S(A-k)=n}\) dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ k}\) spełniającego nierówność: \(\displaystyle{ 0<k<A}\)

---

4. Znajdź wszystkie całkowite dodatnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\), które spełniają równanie: \(\displaystyle{ (8a-5b)^2+(3b-2c)^2+(3c-7a)^2=2}\).

---

5. Udowodnij, że dla pewnego \(\displaystyle{ c>0}\) nierówność: \(\displaystyle{ |2^{1/3} - \frac{m}{n}|>\frac{c}{n^3}}\) zachodzi dla wszystkich par liczb całkowitych \(\displaystyle{ m,n}\), przy czym \(\displaystyle{ n \ge 1}\).

---

6. Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}}\), \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\). Niech \(\displaystyle{ F(x)=f^n(x)}\) (\(\displaystyle{ n}\) - ustalona liczba całkowita, \(\displaystyle{ n \ge 3}\)), gdzie \(\displaystyle{ f^n(x)=\underbrace{f(f(\ldots(f(x))\ldots))}_{n}}\) (n-krotne złożenie funkcji \(\displaystyle{ f}\)). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ F(0)=0}\), to \(\displaystyle{ F(x)=x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), dla których funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest określona.

[luka52]

Propozycje dla studentów:

1. Oblicz \(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} \left( x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{2 \cdot 4} - \frac{x^7}{2 \cdot 4 \cdot 6} + \ldots \right) \cdot \left( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2^2 \cdot 4^2 } + \frac{x^6}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^2} + \ldots \right) \; \mbox d x}\)


2. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją rzeczywistą, dwukrotnie różniczkowalną, spełniającą następującą zależność:

\(\displaystyle{ f(x) + f''(x) = - x g(x) f'(x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ \foralla x \in \mathbb{R} : g(x) \ge 0}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |f(x)|}\) jest ograniczona.

3. Czy łuk paraboli wewnątrz koła jednostkowego może mieć długość większą niż \(\displaystyle{ 4}\)? Odpowiedź uzasadnij.

4. Mając dany wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), skończony ciąg różnych liczb \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_k}\) nazywamy cyklem długości \(\displaystyle{ k}\) dla \(\displaystyle{ P}\) jeśli \(\displaystyle{ P(a_i) = a_{i+1}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le k-1}\) i \(\displaystyle{ P(a_k) = a_1}\). Jeśli wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_i}\) są całkowite, to cykl nazywamy cyklem całkowitym.
Udowodnij lub obal tezę, że wszystkie wielomiany o współczynnikach całkowitych mają cykl całkowity długości \(\displaystyle{ \ge 2}\).


Wg mnie 2 i 4 wymagają "trochę" zastanowienia, natomiast 1 i 3 w sumie nie powinny sprawić problemu.

[mol_ksiazkowy]

gimnazjum
1. Rowziąż równanie i przeprowadź dyskusję ilości jego rozwiązań w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ x^3(x+1)=2(x+a)(x+2a)}\)
2. Znaleźć wszystkie funkcje b\(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) takie, ze:
(1) \(\displaystyle{ f(R)=<0, +\infty)}\)
(2) \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\)
(3) \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\)
3. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie \(\displaystyle{ 3}\) orłów w \(\displaystyle{ 10}\) rzutach monetą, czy \(\displaystyle{ 30}\) orłów w \(\displaystyle{ 100}\)
rzutach monetą ? Odpowiedz uzasadnij

liceum
1. Znajdź wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) liczb rzeczywistych, które spełniają układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=0\\x^3+y^3+z^3=18\\ x^7+y^7+z^7=2058\end{cases}}\)
2. Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą naturalną i \(\displaystyle{ c_1,...,c_n}\) dowolnymi liczbami całkowitymi.
Dla permutacji \(\displaystyle{ a=(a_1,...,a_n)}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,...,n \}}\) określa się
\(\displaystyle{ S(a)=\sum_{i=1}^{n} c_ia_i}\). Wykazać, że istnieje permutacje \(\displaystyle{ a \neq b}\) takie, że
\(\displaystyle{ n!}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ S(a)-S(b)}\)
3. W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe półproste, wychodzące z jednego punktu. Udowodnić, że dowolny trójkąt ostrokątny można umieścić tak, że każdy z jego wierzchoków leży na innej półprostej.

[Sylwek]

Proponowałbym:

# dla gimnazjum:
- 2 @gim od Mola
- 1 @LO od Mola
- 1,2,3 ode mnie
tylko nie będzie geometrii w tej kategorii, a tak nie powinniśmy robić

# a dla LO:
- 5,6 ode mnie
- 2,3@LO od Mola
- 4 od Luka

Niewykorzystane na razie: 1,3@gim od mola, 4 ode mnie.

Ewentualnie można dać 1 @LO od mola dla LO, a zamiast tego dla gimnazjum 4 ode mnie. Chociaż lepiej jakąś geometrię dla gimnazjalistów zaproponować i zastąpić nią któreś z w.w. zaproponowanych zadań, nie mam na razie pomysłu na coś łatwego i ciekawego, masz molu coś ciekawego może pod ręką?

[mol_ksiazkowy]

masz molu coś ciekawego może pod ręką?

(mam takie )
1. Z dziewięciu zapałek ułożono trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2, 3, 4}\). Czy można podzielić go na dwa obszary o równych polach, kłądąc jeszcze dwie zapałki ?
Uwaga: Dodatkowe zapałki nie mogą nakładać się, ani wystawać poza trójkąt

2. Żadne trzy z siedmiu dowolnie wybranych punktów płaszczyzny nie są współliniowe. Wykazać że można wśród nich znależć trzy wierzchołki trójkąta, którego jeden z kątów jest większy niż \(\displaystyle{ 120^{o}}\)

3. Czy istnieje na płaszczyznie skonczony zbiór odcinków \(\displaystyle{ X= \{I_1,I_2,...,I_n \}}\) takich , że
oba końce każdego z nich leżą we wnętrzu innych odcinków z \(\displaystyle{ X}\) ? Odpowiedz uzasadnić

4. Z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) zakreślono cyrklem łuk \(\displaystyle{ BD}\).
Wykaż, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) tego łuku, jeśli \(\displaystyle{ Q}\) jest jego rzutem prostokątnym na przekątna \(\displaystyle{ BD}\), zaś \(\displaystyle{ R}\) jego rzutem prostokątnym na \(\displaystyle{ BC}\) i wreszcie \(\displaystyle{ S}\) jego rzutem prostokątnym na \(\displaystyle{ CD}\), to \(\displaystyle{ |PQ|^2=|PR|*|PS|}\)

5. Nie używając tablic, wykazać że:
\(\displaystyle{ tg (\frac{\pi}{16}) < \frac{1}{5}}\)

PS. Najlatwiejsze ad 5 i ad 4 (podobienstwo trojkatow BPQ i DPS oraz BPR i DPQ), troche trudniejsze chyba ad 2

[scyth]

To jeszcze ja kilka zadań dla studentów, prostsze niż na rozgrzewce.

1.
Niech wektor losowy \(\displaystyle{ (X, Y, Z)}\) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)= \begin{cases} \frac{1 - \sin x \sin y \sin z}{8 \pi^3} & 0 \le x,y,z \le 2 \pi \\ 0 & \text{w p. p.} \end{cases}}\)
Wykaż, że zmienne brzegowe są parami niezależne, ale nie są niezależne.

2.
Niech wektor losowy \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \pi^{-1} & x^2+y^2 \le 1 \\ 0 & \text{w p. p.} \end{cases}}\)
Wykaż, że zmienne brzegowe są nieskorelowane, ale nie są niezależne.

3.
Niech \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dwumianowy o parametrach \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \ , p \in (0,1)}\). Wykaż, że nie istnieje nieobciążony estymator \(\displaystyle{ p^{-1}}\).

4.
Niech będzie dana \(\displaystyle{ n}\)-elementowa próbka z rozkładu \(\displaystyle{ N (\mu , 1)}\) o nieznanym parametrze \(\displaystyle{ \mu}\). Zamiast próbki zapisywane jest jedynie, czy wylosowany element jest większy czy mniejszy od zera. Znajdź estymator największego prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \mu}\).

[Sylwek]

Myślę, że zamiast zad2 ode mnie, można dać tą geometrię nr 4 Molu (nie ma co przesadzać z trudnością dla gim), czyli:

gimnazjum:
- 2 @gim od Mola
- 1 @LO od Mola
- 4 @geometria od Mola
- 1,3 ode mnie

liceum:
- 5,6 ode mnie
- 2,3@LO od Mola
- 4 od Luka

a studia to się dogadajcie

[luka52]

1 i 2 od scytha jak dla mnie za proste - tzn. takie typowo rachunkowe.
3 i 4 już ciekawsze :].

[Jan Kraszewski]

Zostałem poproszony o zadania, więc coś podrzucam. To są moje pierwsze skojarzenia, czyli zapożyczenia, nad własnymi musiałbym trochę popracować (może mi się uda).

1. Czy istnieje zbiór \(\displaystyle{ A}\) taki, że \(\displaystyle{ A\times A\subseteq A}\)?
(raczej klasyczne i może być znane)

2. Niech \(\displaystyle{ (G,+)}\) będzie grupą abelową i niech \(\displaystyle{ \mathcal{I} \subseteq P(G)}\) będzie właściwym, jednorodnym ideałem podzbiorów \(\displaystyle{ G}\), niezmienniczym na działania grupowe
(czyli:
a) \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\forall B \subseteq A)B\in \mathcal{I}}\)
b) \(\displaystyle{ (\forall A,B\in\mathcal{I} )A\cup B\in\mathcal{I}}\)
c) \(\displaystyle{ G\notin\mathcal{I}}\)
d) \(\displaystyle{ (\forall g\in G)\{g\}\in\mathcal{I}}\)
e) \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\forall g\in G)A+g=\{a+g:a\in A\}\in\mathcal{I}}\)
f) \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )-A=\{-a:a\in A\}\in\mathcal{I}}\)
)

Udowodnić, że nie istnieje \(\displaystyle{ D\in\mathcal{I}}\) taki, że \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\exists g\in G)A \subseteq D+g}\).
(to jest jeden moich z ulubionych dowodów, w wersji podanej wyżej pochodzi od prof. J. Cichonia, ale wcześniej różni znani matematycy w trudzie pokazywali różne szczególne przypadki...)

Zadanie dodatkowe do 2.: Pokazać, że bez założenia f) twierdzenie nie jest prawdziwe.

Oczywiście (niestety) jak bardzo pogrzebać, to rozwiązania są w sieci.

JK

[scyth]

Ponieważ ma być tylko jeden etap trwający 4-5 tygodni, to jeszcze może takie trudniejsze dla studentów:
Niech \(\displaystyle{ (X_{i1}, \ldots , X_{in_i}), \ i \in \left\{ 1, 2\right\}}\) będą dwoma niezależnymi próbkami losowymi z rozkładów \(\displaystyle{ N\left( \mu_i, \sigma^2 \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n_i \ge 2}\) oraz parametry \(\displaystyle{ \mu_i}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma}\) są nieznane. Dla hipotezy o współczynniku istotności \(\displaystyle{ \alpha}\):
\(\displaystyle{ H_0: \ \mu_1=\mu_2 \\
H_1: \ \mu_1 \ne \mu_2}\)
Wersja 1:
znajdź najmocniejszy estymator jednostajnie nieobciążony.
Wersja 2:
wykaż, że najmocniejszym estymatorem jednostajnie nieobciążonym jest
\(\displaystyle{ t(X) = \frac{\frac{\bar{X_2} - \bar{X_1}}{\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}}{\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}}}\)
oraz znajdź moc tego testu.

[luka52]

mol_ksiazkowy, user raportuje:

Kategoria Licealista, zadanie 3.
Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą naturalną i \(\displaystyle{ c_1, \ldots, c_n}\) będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Dla permutacji \(\displaystyle{ a=(a_1, \ldots, a_n)}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, n \}}\) określa się \(\displaystyle{ S(a)=\sum_{i=1}^{n} c_i a_i}\). Wykazać, że istnieją permutacje \(\displaystyle{ a \neq b}\) takie, że \(\displaystyle{ n!}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ S(a)-S(b)}\).

Dla \(\displaystyle{ n=2, c_1=1, c_2=0}\) teza nie zachodzi. Czy \(\displaystyle{ n}\) powinno być nieparzyste?

[Sylwek]

Konkurs dobiegł końca?