Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:57

[Liga]

zad.1
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y^6+y^3+2x^2= \sqrt{xy-x^2y^2}\\
4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+2(x-y)^2} \\
x,y \in R
\end{cases}
\\
xy-x^2y^2=xy(1-xy)>0\\
xy(1-xy)>0\\
xy>\frac{0}{1-xy} \qquad \Rightarrow xy>0\\
1-xy>\frac{0}{xy}\\
1-xy>0 \qquad \Rightarrow 1>xy \\
\Rightarrow 0<xy<1\\
0<y< \frac{1}{x} \\
\begin{cases}
0<y\\
0< \frac{1}{x}
\end{cases} \Rightarrow x,y \in R_{+}
\\
2x^2>0\\
\sqrt{1+2(x-y)^2}>0\\
2x^2+ \sqrt{1+2(x-y)^2}>0\\
\Rightarrow 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2}>0}\)

zad.2
A-pierwszy stop
B-drugi stop
C-trzeci stop
m-miedź
c-cynk
a-ilość A wzięta do uzyskania C
b-ilość B wzięta do uzyskania C

\(\displaystyle{ A=m+2c\\
B=3m+5c\\
C=a(m+2c)+b(3m+5c)=5m+9c\\
\\
\begin{cases}
am+3bm=5m\\
2ac+5bc=9c
\end{cases}
\\
\begin{cases}
m(a+3b)=5m\\
c(2a+5b)=9c
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a+3b=5\\
2a+5b=9
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a=5-3b\\
2a+5b=9
\end{cases}
\\
2(5-3b)+5b=9
10-6b+5b=9\\
\begin{cases}
b=1\\
a=5-3b\\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a=2\\
b=1
\end{cases}
\\
\Rightarrow a:b=2:1}\)

zad.3
\(\displaystyle{ \begin{cases}
u_{1}=1\\
u_{n+1}=2u_{n}+7 \Leftrightarrow n \ge 1 \wedge n \in N
\end{cases}
\\
\begin{cases}
u_{1}=1=a_{1}\\
u_{2}=2u_{1}+7=2 \cdot 1+7=9=a_{2}\\
u_{3}=2u_{2}+7=2 \cdot 9+7=25=a_{3}\\
u_{4}=2u_{3}+7=2 \cdot 25+7=57=a_{4}\\
u_{5}=2u_{4}+7=2 \cdot 57+7=121=a_{5}\\
u_{6}=2u_{5}+7=2 \cdot 121+7=249=a_{6}
\end{cases}
\\
\begin{cases}
a_{1}=1\\
a_{2}=9=2+7=2^1+7 \cdot 1=2^1+7(2^1-1)\\
a_{3}=25=4+21=2^2+7 \cdot 3=2^2+7(2^2-1)\\
a_{4}=57=8+49=2^3 +7 \cdot 7=2^3 +7(2^3-1)\\
a_{5}=121=16+105=2^4+7 \cdot 15=2^4+7(2^4-1)\\
a_{6}=249=32+217=2^5+7\cdot 31=2^5+7(2^5-1)\\
\end{cases}
\\
\Rightarrow
\begin{cases}
a_{1}=1\\
a_{n}=2^{n-1}+7(2^{n-1}-1)
\end{cases}
\\
a_{60}=2^{60-1}+7(2^{60-1}-1)= 4611686018427390000\\
a_{61}=2^{61-1}+7(2^{61-1}-1)= 9223372036854780000
\\
\begin{cases}
u_{1}=1=a_{1}\\
u_{2}=9=a_{2}\\
u_{3}=25=a_{3}\\
u_{4}=57=a_{4}\\
u_{5}=121=a_{5}\\
u_{6}=249=a_{6}\\\
…\\
u_{60}=2u_{59}+7=2 \cdot 2305843009213690000= 4611686018427390000=a_{60}\\
u_{61}=2u_{60}+7=2 \cdot 4611686018427390000=9223372036854770000 \neq a_{61}
\end{cases}
\\
\Rightarrow
a_{n}=u_{n} \Leftrightarrow n \in <1;60> \wedge n\in N\\
\\
\begin{cases}
u_{n}=2^{n-1}+7(2^{n-1}-1)\\
u_{n} <9001\\
n \in N
\end{cases}
\\
2^{n-1}+7 \cdot 2^{n-1}-7<9001\\
2^{n-1}(7+1)<9008\\
2^{n-1} \cdot 8<9008\\
2^{n-1}<1126\\
2^{n-1}<2^{10}+102\\
\Rightarrow
n-1 \le 10\\
n \le 11}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) 11 jest największą liczbą naturalną, dla której zachodzi ta nierównosć

zad.4
a)
\(\displaystyle{ k}\) - dziedzina funkcji
\(\displaystyle{ n}\) - zbiór wartości funkcji
\(\displaystyle{ P(A)}\) - prawdopodobieństwo zdarzenia

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\mathbf{\Omega}}}}\) - ilość ciągów (funkcji) różnowartościowych
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\mathbf{A}}}}\) - zdarzenia sprzyjające-ilość ciągów (funkcji) rosnących

\(\displaystyle{ k=25\\
n=31
\\
\overline{\overline{\mathbf{\Omega}}} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ...\cdot (n-k+1) = {n \choose k}\cdot k!\\
\overline{\overline{\mathbf{\Omega}}} = {31 \choose 25}\cdot 25!}\\
\overline{\overline{\mathbf{A}}} = {n \choose k}\\
\overline{\overline{\mathbf{A}}} = {31 \choose 25}\\
P(\mathbf{A}) = \frac{\overline{\overline{\mathbf{A}}}}{\overline{\overline{\mathbf{\Omega}}}} = \frac{{31 \choose 25}}{{31 \choose 25}\cdot 25!} = \frac{1}{25!} = \frac{1}{120}}\)

c)
\(\displaystyle{ \left| \Omega \right| _{n}^{k}}\) - ilość wszystkich funkcji
\(\displaystyle{ C _{n}^{2}}\) - ilość kombinacji dwuelementowych ze zbioru \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ W _{k}^{2}}\) - ilość funkcji o dwuelementowym zbiorze wartości
\(\displaystyle{ P(CW)}\) - prawdopodobieństwo zdarzenia

\(\displaystyle{ \left| \Omega \right| _{n}^{k} =n^k\\
\left| \Omega \right| _{25}^{31} =31^{25}\\
C _{n}^{2}=C _{31}^{2}= \frac{31!}{2!29!} = \frac{29! \cdot 30 \cdot 31}{2}=465 \\
W _{2}^{k}=W _{2}^{25}=2^{25}\\
\\
P(CW)= \frac{C _{31}^{2} \cdot W _{2}^{25}}{\left| \Omega \right| _{25}^{31}} = \frac{465 \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\)

zad.5
\(\displaystyle{ f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x\\
x:= \frac{1}{x}\\
\\
\begin{cases}
f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x\\
f(\frac{1}{x})+4f(x)=3(\frac{1}{x})
\end{cases}
\\
\begin{cases}
f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x\\
4f(\frac{1}{x})+16f(x)=\frac{12}{x}
\end{cases}
\\
\\
\\
\begin{array}{lll}
4f(\frac{1}{x})+16f(x)=\frac{12}{x} & &\\
\underline{- [4f(\frac{1}{x})+ f(x)=3x]} & &\\\
\qquad 15f(x)=-3x+\frac{12}{x} \\
\end{array} \Rightarrow f(x)=-0,2x+\frac{0,8}{x}}\)

[Sylwek]

Oceny:

Zadanie 1 - 0
Zadanie 2 - 0
Zadanie 3 - 2
Zadanie 4 - 0
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1 - Brak przyczynków do rozwiązania.

Zadanie 2 - Rozwiązanie błędne, niewłaściwie zinterpretowano stosunki masowe.

Zadanie 3 - Brak próby/wskazania metody dowiedzenia w ogólnym przypadku równości zadeklarowanej słowami "widać, że" (bądź dokładniejszego opisania).

Zadanie 4 - Błędy merytoryczne i obliczeniowe w obu rozwiązywanych podpunktach.

[lukasz1804]

Zgadzam się z ocenami zadań.