Kategoria III, 7 lipca 2009, 22:49

[Liga]

1. Rozważmy całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)(x-a)^2 dx}\). Otóż:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} f(x)(x-a)^2 dx = \int_{0}^{1} x^2 f(x) dx - \int_{0}^{1} 2axf(x) dx \int_{0}^{1} a^2f(x)dx = a^2 - 2a^2 + a^2 = 0}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ f(x)(x-a)^2 \ge 0}\), a całka z tego się zeruje zatem
\(\displaystyle{ f(x)(x-a)^2=0}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\).
Sprzeczność, gdy \(\displaystyle{ x \neq a}\) (bo \(\displaystyle{ f(x)>0}\))
Zatem nie istnieje funkcja o zadanych własnościach.

2. Modulo 10 zachodzą następujące kongruencje:
\(\displaystyle{ 23^n \equiv 3^n}\)
\(\displaystyle{ 3^{4k+1} \equiv 3}\)
\(\displaystyle{ 3^{4k+3} \equiv 7}\)
Zaś modulo 4 zachodzi:
\(\displaystyle{ 23^{23^{23}} \equiv (-1)^{{23^{23}}} \equiv -1}\)
(bo \(\displaystyle{ {23^{23}}}\) jest nieparzyste)
Zatem ostatecznie (modulo 10):
\(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}} \equiv 3^{23^{23^{23}}} \equiv 3^3 \equiv 7}\)

Zatem ostatnią cyfrą danej liczby w zapisie dziesiętnym jest 7.

3. Niech \(\displaystyle{ v = [v_1, ..., v_n] \neq \vec{0}}\) będzie wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\), zaś \(\displaystyle{ \lambda}\) odpowiednią wartością własną.
Weźmy takie \(\displaystyle{ k \in \{1, ... ,n\}}\), że \(\displaystyle{ |v_k| = sup \{ |v_i| \}_{i=1}^{n}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ Av = [\sum_{j=1}^{n} a_{1j}v_1, ... ,\sum_{j=1}^{n} a_{nj}v_n]}\)
\(\displaystyle{ Av = \lambda v}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ |\lambda v_k| = |\sum_{j=1}^{n} a_{kj}v_j | \le \sum_{j=1}^{n} a_{kj}|v_j| \le (\sum_{j=1}^{n} a_{kj}) |v_k|= |v_k|}\).
\(\displaystyle{ v_k \neq 0}\), więc \(\displaystyle{ |\lambda| \le 1}\) c. b. d. o.

4. Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie rzędem \(\displaystyle{ a}\), czyli \(\displaystyle{ ma = 0}\) - element neutralny grupy.
\(\displaystyle{ n,m}\) są względnie pierwsze, więc dla pewnych\(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{Z}}\) zachodzi \(\displaystyle{ pn + qm = 1}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ a = (pn + qm)a = pna = n(pa)}\)
\(\displaystyle{ pa}\) jest szukanym rozwiązaniem, co wskazuje że ono istnieje

5. Odpowiedź jest twierdząca.
Niech na kostce \(\displaystyle{ A}\)
będą liczby 18,13,11,9,4,2;
na \(\displaystyle{ B}\) będą 17,15,10,8,6,1;
na \(\displaystyle{ C}\) będą 16,14,12,7,5,3;
Wtedy \(\displaystyle{ P(A>B)=P(B>C)=P(C>A) = \frac{19}{36} > \frac{1}{2}}\)

[lukasz1804]

Oceny:
zadanie 1.: 6
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 6
zadanie 4.: 6
zadanie 5.: 6

Zadania rozwiązane wzorcowo, jedynie w zadaniu 2. można wymagać bardziej precyzyjnego wyjaśnienia.

[scyth]

OK