Kategoria II, 9 lipca 2009, 17:22

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria II, 9 lipca 2009, 17:22

Post autor: Liga »

Zadanie I
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\
4xy^{3}+y^{3}+\frac{1}{2} \ge 2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \end{cases}}\)

Dodaję teraz prawą stronę równania do lewej strony nierównosci, a lewą równania do prawej nierówności.
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^{2}y^{2}}+4xy^{3}+y^{3}+\frac{1}{2} \ge 2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}+y^{6}+y^{3}+2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^{2}y^{2}}+\frac{1}{2} \ge y^{6}+4x^{2}-4xy^{3}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\) (*)
Oszacuję teraz lewą stronę z góry:
Obliczam maksyalną wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^{2}}}\).
Kładę \(\displaystyle{ z=xy}\) i otrzymuję funkcję kwadratową pod pierwiastkiem.
Obliczam największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(z)=-z^{2}+z}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-1}{-4}=0,25}\)
Mam zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^{2}}=\sqrt{z-z^{2}} \le \sqrt{0,25}=0,5}\)
Wstawiamy do (*):
\(\displaystyle{ 1 \ge \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\)
Teraz szacuję prawą stronę:
\(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2} \ge 0}\) (równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=0}\))**
\(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\) (równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=0}\))**
Co razem daje:
\(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\)
Przy czym równośc zachodzi dla (**)
Mam teraz w połączeniu z (*):
\(\displaystyle{ 1 \ge \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\)
Sprawdzam przypadek \(\displaystyle{ x=y=0}\), ale nie spełnia od początkowej nierówności, zatem mam teraz:
\(\displaystyle{ 1 \ge \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} > 1}\), czyli:
\(\displaystyle{ 1>1}\). Sprzeczność, zatem żadną liczba rzeczywista nie spełnia tego układu.

Odp.: Żadna para liczb rzeczywistych nie spełnia podanych warunków.


Zadanie II
Stosunek stopu miedzi i cynku 1:2 oznacza, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) tego stopu to miedź a \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) to cynk.
Podobnie zamieniam 3:5 i 5:9 na:
\(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) tego stopu to miedź a \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) to cynk.
\(\displaystyle{ \frac{5}{14}}\) tego stopu to miedź a \(\displaystyle{ \frac{9}{14}}\) to cynk.
Oznaczam sobie masę pierwszego stopu za x a drugiego za y.
Wiem, że suma miedzi w pierwzym i drugim stopie musi być równa ilości miedzi w stopie finalnym.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y=\frac{5}{14}(x+y)}\)
Nie ma sensu rozpatrywać cynku, gdyż jeśli będzie zgadzała się miedż to zawsze resztę będzie stanowić cynk.
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y=\frac{5}{14}x+\frac{5}{14}y}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{8}y-\frac{5}{14}y=\frac{5}{14}x-\frac{1}{3}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{21-20}{56}y=\frac{15-14}{42}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{56}y=\frac{1}{42}x}\) Obie strony mnoże przez 14.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}y=\frac{1}{3}x}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{3}{4}y}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{3}{4}}\)

Odp.: Stop pierwszy i drugi należy wziąć w stosunku 3:4


Zadanie III
Wezmę pod uwagę jakąś liczbę z tego ciągu.
Mam:
\(\displaystyle{ u_{n}=2u_{n-1}+7=2(2u_{n-2}+7)+7=2^{2}u_{n-2}+(2+1) \cdot 7=
2^{2}(2u_{n-3}+7)+(2+1) \cdot 7=2^{3}u_{n-3}+(4+2+1) \cdot 7}\)

Zauważam, że liczba przy \(\displaystyle{ u_{n-k}}\) zmienią się razy dwa przy zwiększaniu się n.W sumie gdy dojdę do \(\displaystyle{ u_{1}}\) będzie n-1 dwójek.
Współczynnik przy 7 (tj. 1+2+4+8+......) zwiększa sie o kolejne potęgi dwójki tworząc ciąg geometryczny.
Potęg dwójki jest n-1.Obliczam sumę tego ciągu:
\(\displaystyle{ S=1 \cdot \frac{1-2^{n-1}}{1-2}=2^{n-1}-1}\)
Otrzymuję ostatecznie:
\(\displaystyle{ u_{n}=2^{n-1}u_{1}+(2^{n-1}-1) \cdot 7=2^{n-1}+7\cdot 2^{n-1}-7=8 \cdot 2^{n-1}-7=2^{n+2}-7}\)
Udowadniam indukcyjnie powyższy wzór:
Sprawdzenie indukcyjne:
Dla n=1:
\(\displaystyle{ u_{1}=2^{3}-7=1}\) Zgadza się.
Założenie indukcyjne dla jakiegoś n=k:
\(\displaystyle{ u_{k}=2^{n+2}-7}\)
Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ u_{k+1}=2^{n+3}-7}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ u_{k+1}=2u^{k}+7=2(2^{n+2}-7)+7=2^{n+3}-14+7=2^{n+3}-7}\)
c.k.d.
Mamy daną nierówność:
\(\displaystyle{ u_{n}<9001}\)
\(\displaystyle{ 2^{n+2}-7<9001}\)
\(\displaystyle{ 2^{n+2}<9008}\) Dzielę przez 16.
\(\displaystyle{ 2^{n-2}<563}\)
Szacuje teraz:
\(\displaystyle{ 2^{9}=512<563<1024=2^{10}}\)
Zatem musi być, skoro n ma być naturalne:
\(\displaystyle{ 2^{n-2}=2^{9}}\)
Porównuję wykładniki:
\(\displaystyle{ n-2=9}\)
\(\displaystyle{ n=11}\)
Odp. Największą liczbą naturalną dla jakiej zachodzi ww. nierówność to n=11.


Zadanie IV
Najpierw obliczam ile jest funkcji.
Pierwszy element pierwszego zbiorru mogę przedstawić na 31 różnych sposób, drugi element na 31 sposobów,.......,25 element też na 31 różnych sposobów. Razem:
\(\displaystyle{ 31^{25}}\) sposobów.(*)

a)
Najpierw sprawdźy ile będzie funkcji różnowartościowych.
Pierwszy element na 31 różnych sposobów, drugi na 30,....,25 na 7 różnych sposobów. Razem:
\(\displaystyle{ 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot .... \cdot 7= \frac{31!}{6!}}\)
Funkcji różnowartościowych o wartościach {1,2,3,....,25} jest tyle co permutacji zbioru 25 elementowego, czyli 25!. Ale tylko jeden jest rosnący tj.1,2,3,4,...25.
Mam zatem:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{31!}{6!}}{25!}=\frac{31!}{25!\cdot 6!}=\frrac{31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{720}=736281}\)
Korzystając z (*):
Szukane prawdopodobieństwo to:
\(\displaystyle{ P=\frac{736281}{31^{25}}}\)
Odp.rawdopodobieństwo wylosowania funkcji rosnącej to \(\displaystyle{ P=\frac{736281}{31^{25}}}\).

b)
Aby największą wartościa było 10 trzeba ograniczyć przeciwdziedzinę do zbioru \(\displaystyle{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}}\).
Wszystkich funkcji z tym zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ 10^{25}}\), ale aby największą wartością była 10 musi od tej suy odjąć te funkcje, w których 10 nie występuje, w tym celu bierzemy zbiór wartości \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}\) Takich funkcji jest \(\displaystyle{ 9^{25}}\).
Razem mamy takich funkcji \(\displaystyle{ 10^{25}-9^{25}}\)
Biorąc (*) mamy szukane prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P=\frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
Odp.Prawdopodobieństwo wylosowania funkcji, w ktorych największą wartościa jest 10 jest \(\displaystyle{ P=\frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\).

c)
Zbiorów dwueleentowych ze zbioru 31 elementowego jest dokładnie:
\(\displaystyle{ {31 \choose 2}=\frac{31!}{29! \cdot 2!}=465}\)
Na każdy dwuelementowy zbiór przypada \(\displaystyle{ 2^{25}}\) kobinacji.
Ostatecznie funkcji o dwuelementowym zbiorze wartosći jest:
\(\displaystyle{ 465 \cdot 2^{25}}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania to:
\(\displaystyle{ P=\frac{465 \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\)
Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania to: \(\displaystyle{ P=\frac{465 \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\)



Zadanie V
Mam dane:
\(\displaystyle{ f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x}\)
Teraz kładę sobie \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{x}}\) i otrzymuję:
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x}}\)
Ostatecznie mam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x} \end{cases}}\)
Drugie razy -4.
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ -4f(\frac{1}{x})-16f(x)=\frac{-12}{x} \end{cases}}\)
Dodaję stronami:
\(\displaystyle{ -15f(x)=3x+\frac{-12}{x}}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{4}{5x}-\frac{1}{5}x}\)
Odp.:Szukaną funkcją jest \(\displaystyle{ f(x)=\frac{4}{5x}-\frac{1}{5}x}\).
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Kategoria II, 9 lipca 2009, 17:22

Post autor: Sylwek »

Oceny:

Zadanie 1 - 2
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 2
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1:
Teraz szacuję prawą stronę:
\(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2} \ge 0}\) (równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=0}\))**
\(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\) (równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=0}\))**
Równości zachodzą nie tylko w podanych przez Ciebie przypadkach. W ten sposób gubisz wszystkie (możliwe) rozwiązania. Dwójka za dobre szacowanie nierównościami, można to uznać za pół zadania. Niestety łatwiejsze pół nie dostało szansy powodzenia.

Zadanie 4: "Na każdy dwuelementowy zbiór przypada \(\displaystyle{ 2^{25}}\) kombinacji." - tak, ale zapomniałeś odjąć dwóch funkcji stałych.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Kategoria II, 9 lipca 2009, 17:22

Post autor: lukasz1804 »

Zgadzam się z ocenami zadań.
ODPOWIEDZ