Kategoria II, 10 lipca 2009, 15:54

[Liga]

ZADANIE II.1

Jedyne niepełne zadanie z mojej strony.
(1a) Sprawdzenie dla x=0 -> sprzeczność, bo z równania wychodzi y=0 (NIE, bo nierówność wychodzi \(\displaystyle{ 0,5 \ge 1}\)) lub y=-1 wówczas w nierówności wychodzi \(\displaystyle{ -0,5 \ge \sqrt{2}}\)
(1b) Sprawdzenie dla y=0 -> sprzeczność, bo z równania wychodzi \(\displaystyle{ 2x^2 = 0}\), czyli x=0 (patrz 1a)
Zatem wniosek1: x\(\displaystyle{ \neq}\) 0 i y\(\displaystyle{ \neq}\) 0

(2) Prawa strona równania
(2a) założenie: \(\displaystyle{ xy(1-xy) \ge 0}\) korzystając z podstawienia xy=t i rozwiązania prostej nierówności kwadratowej otrzymujemy: \(\displaystyle{ 0<xy \le 1}\) -> na wykresie będzie to obszar w ćwiartce I i III pomiędzy osiami i hiperbolą (y=1/x ; z krzywą ale bez osi)
(2b) nawiązując do paraboli t(1-t) z (2a) maximum istnieje dla t=0,5 a wartość w wierzchołku wynosi 0,25. To prowadzi do wniosku iż cała prawa strona równania z zad.1 ma maksymalną wartość \(\displaystyle{ \sqrt{0,25}=0,5}\) , stąd wniosek \(\displaystyle{ y^6 + y^3 +2x^2 \le 0,5}\)
wniosek2: Z (a2) wynika, że x i y są tego samego znaku

(3) Lewa strona nierówności
(3a) Ponieważ prawa strona nierówności jest większa od 1 (równa 1 tylko dla x=0 i y=0 a to wykluczyliśmy), to
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+0,5>1}\) czyli
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3>0,5}\) czyli
\(\displaystyle{ y^3(4x+1)>0,5}\) czyli aby iloczyn był dodatni, a x i y mają być tego samego znaku to dla y<0 , \(\displaystyle{ x < -0,25}\)
(3b) Zatem jak złożymy nierówność z przedostatniej linijki z nierównością z (2b) otrzymamy:
\(\displaystyle{ y^6 + y^3 +2x^2 \le 0,5<4xy^3+y^3}\)
\(\displaystyle{ y^6 +2x^2<4xy^3}\) - dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\)
\(\displaystyle{ \left({\frac{y^3}{x}} \right) ^2 +2<4\frac{y^3}{x}}\) stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ k=\frac{y^3}{x}}\) , k oczywiście różne od zera.
Powstaje prosta nierówność kwadratowa \(\displaystyle{ k^2-4k+2<0}\)
Pomijając oczywistą część dochodzę do rozwiązania:
\(\displaystyle{ 2-\sqrt{2}< \frac{y^3}{x} < 2+\sqrt{2}}\) Małe przekształcenie i:
Dla x>0
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(2-\sqrt{2})x}< y <\sqrt[3]{(2+\sqrt{2})x}}\)
Dla x<0
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{(2+\sqrt{2})x}< y <\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})x}}\)
Obszar będzie dosyć mały, jeśli powyższe nierówności (rozszerzający się "pasek") nałożymy na obszar z (2a) Powstaną dwa obszary (trójkąty krzywoliniowe) o środku symetrii w (0,0) a następnie z wyciętym obszarem w ćwiartce III zgodnie z wnioskiem (3a)
Moim zdaniem nic więcej nie da się wycisnąć z tego :///
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.2
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ S_{1}}\) - stop nr 1 (Stosunek miedzi do cynku 1:2)
\(\displaystyle{ x_{1}}\) - ilość miedzi w stopie nr 1
\(\displaystyle{ y_{1}}\) - ilość cynku w stopie nr 1
\(\displaystyle{ S_{2}}\) - stop nr 2 (Stosunek miedzi do cynku 3:5)
\(\displaystyle{ x_{2}}\) - ilość miedzi w stopie nr 2
\(\displaystyle{ y_{2}}\) - ilość cynku w stopie nr 2
Zakładam że wszystkie parametry są dodatnie inaczej zadanie jest pozbawione sensu.
Z danych wynika że:
(1) \(\displaystyle{ S_{1} = x_{1} + y_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ S_{2} = x_{2} + y_{2}}\)
(2) \(\displaystyle{ \frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x_{2}}{y_{2}}=\frac{3}{5}}\)

Z (1) i (2) wynika że (dla oszczędzenia czasu sobie i sprawdzającym pominę elementarne przekształcenia i obliczenia):
(3) \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{1}{3}S_{1}}\) ; \(\displaystyle{ y_{1}=\frac{2}{3}S_{1}}\) ; \(\displaystyle{ x_{2}=\frac{3}{8}S_{2}}\) ; \(\displaystyle{ y_{2}=\frac{5}{8}S_{2}}\)

Niech \(\displaystyle{ S_{3}}\) oznacza końcowy stop (Stosunek miedzi do cynku 5:9). Analogicznie pozostałe oznaczenia wyglądają tak: \(\displaystyle{ x_{3}}\) - ilość miedzi w końcowym stopie. \(\displaystyle{ y_{3}}\) - ilość cynku w końcowym stopie.
Wówczas:
(4) \(\displaystyle{ S_{3} = x_{3} + y_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x_{3}}{y_{3}}=\frac{5}{9}}\) stąd też (znów przez analogię) \(\displaystyle{ x_{3}=\frac{5}{14}S_{3}}\) ; \(\displaystyle{ y_{3}=\frac{9}{14}S_{3}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ S_{3}}\) powstał z połączenia \(\displaystyle{ S_{1}}\) i \(\displaystyle{ S_{2}}\) to:
(5a) \(\displaystyle{ S_{3}=S_{1}+S_{2}}\)
Podobnie ma się rzecz z poszczególnymi składnikami tego końcowego stopu:
(5b) \(\displaystyle{ x_{3}=x_{1}+x_{2}}\)
(5c) \(\displaystyle{ y_{3}=y_{1}+y_{2}}\)

Ustalenia z (3) i (4) podstawiamy do (5b) i (5c) otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{5}{14}S_{3}=\frac{1}{3}S_{1}+\frac{3}{8}S_{2}\\ \frac{9}{14}S_{3}=\frac{2}{3}S_{1}+\frac{5}{8}S_{2} \end{cases}}\)
Można oczywiście podłożyć jeszcze (5a) po lewej stronie, ale i tak chcę rozwiązać metodą przeciwnych współczynników względem lewej strony, więc to bez znaczenia.
Pierwszą linijkę układu mnożę obustronnie razy \(\displaystyle{ -\frac{9}{5}}\) i dodaję stronami:
\(\displaystyle{ 0 = -\frac{3}{5}S_{1} + \frac{2}{3}S_{1} - \frac{27}{40}S_{2} + \frac{5}{8}S_{2}}\)
Finiszujemy:
\(\displaystyle{ \frac{27 -25}{40}S_{2} = \frac{10-9}{15}S_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{20}S_{2} = \frac{1}{15}S_{1}}\)
i końcowe rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{4}}\)
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.3

Oznaczmy jako \(\displaystyle{ u_n = \alpha^n}\)
Wówczas
Podstawiamy do wzoru rekurencyjnego:
\(\displaystyle{ \alpha^{n+1} = 2\alpha^{n} + 7}\)
oraz tworzymy analogiczny wzór o jeden krok wcześniejszy
\(\displaystyle{ \alpha^{n} = 2\alpha^{n-1} + 7}\)
Drugi mnożymy obustronnie przez (-1) i dodajemy stronami do siebie:
\(\displaystyle{ \alpha^{n+1} - \alpha^{n} = 2\alpha^{n} - 2\alpha^{n-1} + 7 - 7}\)
\(\displaystyle{ \alpha^{n+1} - 3\alpha^{n} + 2\alpha^{n-1} = 0}\)
Dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ \alpha^{n-1}}\) i otrzymujemy równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ \alpha^{2} - 3\alpha + 2 = 0}\)
Mam nadzieje że szanowne Jury wierzy mi na słowo, iż potrafię rozwiązać równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ \alpha_{1}=1 ; \alpha_{2}=2}\)
Ponieważ we wzorze rekurencyjnym nie mamy uwikłanego n, zatem wzór ciągu wygląda tak: \(\displaystyle{ u_n = a\alpha^n + b}\)
Wiemy że: \(\displaystyle{ u_1 = 1}\) oraz \(\displaystyle{ u_2 = 9}\) ; Podstawienie \(\displaystyle{ \alpha = 1}\) doprowadza do sprzeczności (1=a+b ; 9=a+b) i odrzucamy to rozwiązanie.
Rozpatrujemy \(\displaystyle{ \alpha = 2}\) -> \(\displaystyle{ u_n = a2^n + b}\) Stąd: 1 = 2a + b oraz 9 = 4a + b. Rozwiązaniem tego prostego układu równań jest a=4 i b=-7
Czyli wzór ciągu wygląda tak: \(\displaystyle{ u_n = 2^{n+2} - 7}\)

Druga część zadania to Wyznacz największą liczbę naturalną n, dla której zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ u_n}\) <9001
\(\displaystyle{ 2^{n+2} - 7 < 9001 \Leftrightarrow 2^{n+2} < 9008 \Leftrightarrow n+2 < \log_2{9008} \Leftrightarrow n+2 < 13,137}\) (w przybliżeniu)
tak więc największą liczbą naturalną spełniającą tę nierówność jest n=11
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.4
Niech \(\displaystyle{ \left| X \right|}\) oznacza liczność zbioru X
Dla wszystkich 3 podpunktów \(\displaystyle{ \left| \omega \right|={31}^{25}}\)

Zad. 4.1
Mój tok rozumowania:
wypisuję elementy wartości funkcji w kolejności rosnącej, a pod spodem już czekają argumenty (również rosnąco) na przypisanie im wartości.
\(\displaystyle{ Y : 1-2-3-4-5-6-7-...-29-30-31}\)
---------------------------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ X : 1-2-3-4-5-6-7-...-23-24-25}\)

Ponieważ w zbiorze Y jest 31 elementów to 6 trzeba wykreślić, pozostałe przypisać zgodnie z uszeregowaniem rosnącym. Czyli trzeba wybrać 6 z 31 do wykreślenia. Można to zrobić na \(\displaystyle{ {31 \choose 6}}\) sposobów.
Czyli \(\displaystyle{ \left| A \right|={31 \choose 6}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{\left| A \right|}{\left| \omega \right|}}\)

Zad. 4.2
Nie ma ograniczenia co do monotoniczności, okresowości, etc.
Dla jednego z argumentów, wartość MUSI wynosić 10. Tak więc istnieje przynajmniej 1 para \(\displaystyle{ (x_i ,10)}\) dla i=1,2,3,...,25
Ilość takich przypadków policzymy z dopełnienia. Ilość przypadków w których maksymalna wartość może wynosić 9 obliczymy z wariacji z powtórzeniami: \(\displaystyle{ 9^{25}}\). A ilość par w których maksimum wartości może wynieść 10 to: \(\displaystyle{ {10}^{25}}\).
Zatem interesująca nas wartość to: \(\displaystyle{ \left| B \right|={10}^{25} - 9^{25}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{\left| B \right|}{\left| \omega \right|}}\)

Zad. 4.3
Najpierw trzeba wybrać dwie wartości spośród 31 czyli \(\displaystyle{ {31 \choose 2}}\) takich par. Dla każdej pary wartości możliwych ich przypisań do argumentów jest \(\displaystyle{ 2^{25}}\), ale trzeba odjąć 2 przypadki funkcji stałych.
\(\displaystyle{ \left| C \right|={31 \choose 2} \cdot (2^{25} - 2) = 930 \cdot (2^{24} - 1)}\)
\(\displaystyle{ P(C) = \frac{\left| C \right|}{\left| \omega \right|}}\)
-------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------
ZADANIE II.5
Skoro f(x) + 4f(1/x) = 3x to f(1/x) + 4f(x) = 3/x:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(x) + 4f( \frac{1}{x}) = 3x \\ f(\frac{1}{x}) + 4f(x) = \frac{3}{x}\end{cases}}\)

Drugie równanie mnożymy raz (-4) i dodajemy stronami. Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ f(x) + 4f( \frac{1}{x}) - 4f(\frac{1}{x}) - 16f(x) = 3x - \frac{12}{x}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ -15f(x) = \frac{3x^2 - 12}{x}}\)
Zatem ostatecznie:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{4 - x^2}{5x}}\)

[Sylwek]

Oceny:

Zadanie 1 - 0
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 2
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1: Z tego rozumowania nic nie wynika.

Zadanie 3: Zbyt zawiłe rozumowanie. Najpierw zakładasz: \(\displaystyle{ u_n=\alpha^n}\), kilka linijek niżej: \(\displaystyle{ u_n=a\alpha^n +b}\). Rozumiem, że chciałeś rozwiązać rekurencję (powstałą przez odjęcie stronami dwóch równań) układając równanie charakterystyczne, ale bardzo nieprecyzyjnie to zapisałeś.

Zadanie 4: Bardzo ładnie opisane.

[lukasz1804]

Przychylam się do zaproponowanych ocen i komentarzy.