Kategoria II, 4 lipca 2009, 21:25

[Liga]

2.
Oznaczmy ilość pierwszego stopu przez \(\displaystyle{ x}\) natomiast drugiego przez \(\displaystyle{ y}\). Stop końcowy waży \(\displaystyle{ x+y}\). Ponieważ znamy stosunek metali w 2 stopach możemy zapisać równości
(sumujemy ilość danego metalu w stopie i przyrównujemy do ilości metalu w stopie ostatecznym)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{1}{3} x+ \frac{3}{8} y= \frac{5}{14} (x+y) \\
\frac{2}{3} x+ \frac{5}{8} y= \frac{9}{14} (x+y)\end{cases}}\)
Mnożymy pierwsze przez \(\displaystyle{ -2}\), dodajemy i po prostych przekształceniach dostajemy że
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{21}{28}}\)

3.
Wykorzystując r. charakterystyczne najpierw obliczamy jawną postać ciągu. Wiemy że \(\displaystyle{ u_n}\) ma postać \(\displaystyle{ u_n=Ax^n+B}\) gdzie natychmiast \(\displaystyle{ x=2}\) ze wzoru rekurencyjnego. Obliczamy \(\displaystyle{ u_2}\) które równe jest \(\displaystyle{ 9}\), a następnie układamy układ równań w celu obliczenia współczynników A i B.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1=2A+B \\ 9=4A+B \end{cases}}\)
skąd
\(\displaystyle{ A=4 \wedge B=-7}\)
a więc jawna postać naszego ciągu to
\(\displaystyle{ u_n=4 \cdot 2^n-7}\)
podstawiamy do nierówności
\(\displaystyle{ 4 \cdot 2^n-7<9001 \\
4\cdot 2^n<9008 \\
2^n< 2252 \\
n< log_{2}2252}\)
ale \(\displaystyle{ 2^{11}<2252<2^{12}}\)
więc największe \(\displaystyle{ n}\) spełniające nierówność to \(\displaystyle{ n=11}\)

4.
oznaczmy \(\displaystyle{ f: A_1 \mapsto B_1}\)
Wszystkich funkcji jest \(\displaystyle{ |\Omega|=31^{25}}\) (każdemu elementowi z dziedziny przyporządkujemy jedną z 31 liczb).

a) Wybieramy 25 liczb ze zboru \(\displaystyle{ B_1}\) którym możemy w jednoznaczny sposób przypisać liczby ze zbioru \(\displaystyle{ A_1}\). Najmniejszej jedynkę, drugiej dwójkę, ... największej 25. Możliwości takich wyborów jest
\(\displaystyle{ |A|={31 \choose 25} \\
P(A)= \frac{{31 \choose 25} }{31^{25}}}\)

b) Każdej liczbie ze zbioru \(\displaystyle{ A_1}\) przyporządkowujemy jedną z liczby \(\displaystyle{ \{1,2,3...,10\}}\). Jest to kombinacja z powtórzeniami więc
\(\displaystyle{ |B|= {10+25-1 \choose 25} \\
P(B)= \frac{ {34 \choose 25} }{31^{25}}}\)

c)
Wybieramy najpierw dwa element z zbioru \(\displaystyle{ B_1}\) na \(\displaystyle{ {31 \choose 2}}\) sposobów. Następnie każdej liczbie ze zbioru \(\displaystyle{ A_1}\) przyporządkowujemy jedną z tych liczb a więc
\(\displaystyle{ |C|= {31 \choose 2} \cdot 2^{25}\\
P(C)= \frac{{31 \choose 2} \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\)

5.
Podstawmy \(\displaystyle{ x= \frac{1}{t}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{t}) +4f(t)= \frac{3}{t}}\)
zapisując to znów z wykorzystaniem x'a mamy
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{x}) +4f(x)= \frac{3}{x}}\)
z czego wyznaczamy
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{x}) = \frac{3}{x} -4f(x)}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})}\) do pierwotnego równania i dostajemy
\(\displaystyle{ f(x)+ \frac{12}{x} -16f(x)=3x}\)
skąd po prostych przekształceniach
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{5} \left( \frac{4}{x} +x \right)}\)

[Sylwek]

Oceny:

Zadanie 1 - brak
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 6
Zadanie 4 - 0
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 4:
b) Po pierwsze to nie jest kombinacja, tylko jak coś wariacja z powtórzeniami (bo możemy kilka razy wybrać tą samą wartość). Po drugie złe podejście do zadania - Ty zliczyłbyś (jakbyś użył wariacji z powtórzeniami) ilość wszystkich funkcji, których maksimum należy do zbioru {1,2,...,10}.

c) Zapomniałeś o tym, że nie może być to funkcja stała.

Zadanie 5: W ostatniej linijce zamieniłeś w jednym miejscu + na -. Sprawdzenie pokazałoby Ci, że coś jest nie tak. Jest to mało istotna usterka, ale na przyszłość staraj się uważać.

[lukasz1804]

Zgadzam się z oceną zadań.