Kategoria III, 4 lipca 2009, 23:55

[Liga]

1) Przeliczam i wychodzi, że takich funkcji być nie może - w nierówności Cauchy'ego-Schwarza ( dla \(\displaystyle{ L^2}\):
\(\displaystyle{ (u,v) \leq ||u|| \cdot ||v||}\)
dla iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ (u,v) = \int_{0}^{1}uv}\) po wstawieniu \(\displaystyle{ u = \sqrt{f}, v = x \sqrt{f}}\) dostajemy równość: \(\displaystyle{ (u,v) = \int_{0}^{1} xf(x) dx = a}\), oraz \(\displaystyle{ ||u|| = \sqrt{\int_{0}^{1} f dx} = 1, ||v|| = \sqrt{\int_{0}^{1} x^2 f(x) dx} = a}\) z założeń zadania. Ale równość w nierówności CS zachodzi tylko, gdy wektory są liniowo zależne, co oznaczałoby \(\displaystyle{ x \sqrt{f(x)} = q \sqrt{f(x)}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ q}\) rzeczywistego. To z kolei oznacza, że wszędzie, gdzie nie zachodzi \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), musi być \(\displaystyle{ x = q}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\)może więc mieć wartość niezerową tylko w jednym punkcie, a skoro jest ciągła, to nawet to jej nie przysługuje - jest stale równa zero. A to z kolei łamie pierwszą z równości zadania.

2) Ponieważ \(\displaystyle{ 3^4 = 81}\) oraz \(\displaystyle{ 3^3 = 27}\), więc \(\displaystyle{ 3^{4k+3}}\) (a zatem również \(\displaystyle{ 23^{4k+3}}\)) będzie zawsze kończyło się na na \(\displaystyle{ 7}\). Z kolei \(\displaystyle{ 23^2}\) daje resztę 1 z dzielenia przez 4, a samo 23 resztę 3, więc 23 podniesione do nieparzystej potęgi (w szczególności, \(\displaystyle{ 23^{23^{23}}}}\)) na pewno jest postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\). Podsumowując, \(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}}}}\) kończy się na 7.
Kongruencje, hmmm. Tak, było coś takiego.

3) \(\displaystyle{ ||A v|| \leq ||A|| \cdot ||v||}\) dla dowolnej indukowanej normy macierzowej ( w szczególności dla normy \(\displaystyle{ || \cdot ||_{\infty}}\). A tak się składa, że ta akurat norma macierzy, to maksimum z sum wyrazów w jej wierszach (no, z modułami, ale tu wyrazy są nieujemne). Czyli \(\displaystyle{ ||A|| = 1}\), skąd \(\displaystyle{ ||A v|| \leq ||v||}\) i nie może być \(\displaystyle{ Av = \alpha v}\) dla \(\displaystyle{ |\alpha| >1}\).
Można to też przeliczyć na palcach (weźmy największy na moduł element wektora \(\displaystyle{ v}\)...), ale chyba nie ma po co.

4) Czy założenie, że grupa jest skończona, przydaje się do czegoś? A założenie, że jest abelowa?
Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie rzędem \(\displaystyle{ a}\). Skoro \(\displaystyle{ nwd(n,r)=1}\), istnieją takie \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) całkowite, że \(\displaystyle{ kn + lr = 1}\). Szukanym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x = a^k}\): \(\displaystyle{ x^n = a^{kn} = a^{kn + lr} = a}\). Fakt, że \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) mogą się okazać ujemne, nikogo raczej nie powinien wzruszać, działania są i tak dobrze zdefiniowane.

5) [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Nontransitive_dice.]Nontransitive dice.[/url] Dość znane...

[lukasz1804]

Oceny:
zadanie 1.: 6
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 6
zadanie 4.: 5
zadanie 5.: 0

Zadanie 4.

Czy założenie, że grupa jest skończona, przydaje się do czegoś? A założenie, że jest abelowa?
Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie rzędem \(\displaystyle{ a}\). Skoro \(\displaystyle{ nwd(n,r)=1}\) (...)

Jeśli grupa jest skończona, to rząd każdego jej elementu jest skończony. W przeciwnym przypadku nie byłoby sensu mówić o tym, że rząd \(\displaystyle{ r}\) elementu \(\displaystyle{ a}\) jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ n}\). Tę niepewność zawodnika oceniam na 5 punktów.

Zadanie 5.

Dość znane...

Opieranie się wyłącznie na literaturze bądź stronach internetowych nie można uznać za rozwiązanie zadania.

[scyth]

Za taką odpowiedź (podobną) w lidze matematyka.pl luka dostał połowę punktów, dlatego proponuję 2 pkt.

[Sylwek]

Tę niepewność zawodnika oceniam na 5 punktów.

Nie wiem o co chodzi w zadaniu, ale pomimo niepewności zdaje się, że dobrze wykorzystał wszelkie założenia (pomimo, że może o tym nie wiedział) i doprowadził do tezy, czyli powinna być szóstka.