Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Post autor: Liga »

Ad. 3.
Zróbmy podstawienie :
\(\displaystyle{ x=bc}\)
\(\displaystyle{ y= a(a+b+c)}\)
\(\displaystyle{ x,y\in R_{+}}\)
Zauważmy, że lewa strona po pomnożeniu ma postać \(\displaystyle{ L=(a+b)(a+c)=a ^{2}+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc=x+y}\)
Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną: \(\displaystyle{ L=a(a+b+c)+bc=x+y \ge 2 \sqrt{xy}=2 \sqrt{bc \cdot a(a+b+c)}=2 \sqrt{abc(a+b+c)}=P}\)

c.b.d.o.

Ad. 4.
Załóżmy, że takie 2000 liczb istnieje. Oznaczmy je przez \(\displaystyle{ k, k+1, k+2, ..., k+1999}\)
\(\displaystyle{ k \in C}\)
Suma tych liczb to \(\displaystyle{ S=k+k+1+k+2+...+k+1999=1000(k+k+1999)=2 ^{3} \cdot 5 ^{3}(2k+1999)}\)
W rozkładzie na czynniki pierwsze kwadratu liczby całkowitej każda liczba pierwsza występuje w potędze o parzystym wykładniku. Stąd wynika, że liczba \(\displaystyle{ 2k+1999=2(k+999)+1}\) musi być podzielna przez 2. Jest to niemożliwe, ponieważ wyrażenie w nawiasie jest całkowite- otrzymujemy sprzeczność. Nie istnieje zatem 2000 kolejnych liczb całkowitych, których suma jest kwadratem liczby całkowitej.

c.n.d.

Ad. 5.
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2}=y ^{2} \\ (x-k) ^{2}+y ^{2}=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2}=y ^{2} \\ (x-k) ^{2}+y ^{2}=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x ^{2}-2kx+k ^{2}-1=0 \\ x ^{2}=y ^{2}\end{cases}}\)
Rozpatrzmy równanie kwadratowe:\(\displaystyle{ 2x ^{2}-2kx+k ^{2}-1=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4k ^{2}-8(k ^{2}-1)=8-4k ^{2}=4(2-k ^{2})}\)

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{2k-2 \sqrt{2-k ^{2}} }{4}= \frac{k- \sqrt{2-k ^{2} } }{2}}\)

\(\displaystyle{ x _{2}= \frac{k+ \sqrt{2-k ^{2} } }{2}}\)

Aby układ równań posiadał dokładnie 3 pary rozwiązań jedno z rozwiązań powyższego równania kwadratowego musi być równe 0, a jednocześnie drugie musi być różne od zera.

1. \(\displaystyle{ x_{1}= 0 \Rightarrow \frac{k- \sqrt{2-k ^{2} } }{2}=0 \Rightarrow k= \sqrt{2-k ^{2} } \Rightarrow k ^{2}=2-k ^{2} \Rightarrow k=1}\) ponieważ \(\displaystyle{ k \ge 0}\)

2. \(\displaystyle{ x _{2}=0 \Rightarrow \frac{k+ \sqrt{2-k ^{2} } }{2}=0 \Rightarrow -k= \sqrt{2-k ^{2}} \Rightarrow k ^{2}=2-k ^{2} \Rightarrow k=-1}\), ponieważ \(\displaystyle{ k<0}\)

Na koniec należy sprawdzić, czy dla takich wartości parametru k rozwiązaniem układu rzeczywiście są trzy pary liczb.
1. \(\displaystyle{ k=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ^{2}=y ^{2} \\ (x-1) ^{2}+x ^{2}=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2x(x-1)+1=1 \\ x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x ^{2}=y ^{2}\\2x(x-1)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \vee \begin{cases}x=1\\ y=1 \end{cases}\vee \begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}\)

2.\(\displaystyle{ k=-1}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+1) ^{2}+x ^{2}=1\\x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x(x+1)+1=1\\x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x ^{2}=y ^{2}\\ 2x(x+1)=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \vee \begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases} \vee \begin{cases}x=-1\\y=-1 \end{cases}}\)
Odpowiedź: Podany układ ma trzy pary rozwiązań, gdy \(\displaystyle{ k \in \{\ -1, 1\}\}\).
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Post autor: Sylwek »

Oceny:

Zadanie 1. - brak
Zadanie 2. - brak
Zadanie 3. - 6
Zadanie 4. - 6
Zadanie 5. - 6

--

Komentarze:

Zadanie 5. - siłowe i bardzo brzydkie rozwiązanie, niemniej poprawnie. Pamiętaj o szczegółach (podlega to pod mało istotne usterki) typu wyznaczenie dziedziny, gdy używasz w równaniu czegoś typu: \(\displaystyle{ \sqrt{2-k^2}}\).
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Post autor: scyth »

jak dla mnie OK
ODPOWIEDZ