Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

Post autor: Liga »

zad. 1. - co nie co
musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ xy-(xy)^2 \ge 0}\) skąd wynika, że \(\displaystyle{ 1 \ge xy \ge 0}\). (łatwo zauwazyc ze nie moze byc \(\displaystyle{ xy=0}\)) ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2}}\). zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy-(xy)^2}=y^6+y^2+2x^2}\)
i
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2+1}\)
dodając powyzsze nierówności stronami dostajemy
\(\displaystyle{ 4xy^3 \ge y^6+4x^2}\)
ale stosujac nierownosc miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna mamy
\(\displaystyle{ y^6+4x^2 \ge 4|xy^3|=4xy^3}\)
wobec tego musi zachodzic rownosc \(\displaystyle{ 2|x|=|y^3|}\) ktora wobec \(\displaystyle{ xy > 0}\) daje nam \(\displaystyle{ x= \frac{y^3}{2}}\). podstawiajac te zaleznosc do danych w tresci zadania: rownosci i nierownosci, po banalnych przeksztalceniach dostaniemy:
\(\displaystyle{ (y+1)(9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2)=9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4) \ge 0}\)
jesli \(\displaystyle{ y=-1}\) to \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2}}\)-ta para nie spelnia danego ukladu. załóżmy wiec ze istnieje liczba \(\displaystyle{ y \neq -1}\) dla ktorej istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie ze para \(\displaystyle{ (x,y)}\) spelnia ten uklad.
wtedy
\(\displaystyle{ 0 \le y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4)=y^3( y(9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2)-y^5+5y^3+4)= y^3(-y^5+5y^3+4)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge xy= \frac{y^4}{2}}\) wiec \(\displaystyle{ y\in <- \sqrt{2}; \sqrt{2}>}\). w tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ f(y)=-y^5+5y^3+4}\) jest rosnaca i tu pomysłów brak...

zad. 2.
wezmy jedna jednostke pierwszego stopu i \(\displaystyle{ n}\) jednostek drugiego stopu. w pierwszej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jednostek cyny. w drugiej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) jednostek cyny.
aby spelniona byla postulowana zaleznosc musi zachodzic rownosc
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3}+ \frac{3}{8}n }{ \frac{2}{3}+ \frac{5}{8}n }= \frac{5}{9}}\). po elementarnych przeksztalceniach dostaniemy \(\displaystyle{ n= \frac{4}{3}}\) wiec stopy nalezy wziac w stosunku \(\displaystyle{ 3:4}\)

zad. 3.
\(\displaystyle{ u_1=1}\)
\(\displaystyle{ u_2=5}\)
\(\displaystyle{ u_3=25}\)
\(\displaystyle{ u_4=57}\)
\(\displaystyle{ u_5=121}\)
\(\displaystyle{ u_6=249}\)
\(\displaystyle{ u_7=505}\)
\(\displaystyle{ u_8=1017}\)
\(\displaystyle{ u_9=2041}\)
\(\displaystyle{ u_10=4089}\)
\(\displaystyle{ u_11=8185}\)
\(\displaystyle{ u_12=16377}\)
ciag jest rosnacy wiec szukana wartość \(\displaystyle{ n=11}\)

zad. 4.
a)
funkcja rosnaca jest roznowartosciowa, wiec 25 roznych wartosci ktore ona przyjmuje jednoznacznie ja wyznacza. wobec tego szukane prawdopodobienstwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {31 \choose 25} }{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}}\)
b)
istnieje \(\displaystyle{ {25 \choose k}9^{25-k}}\) funkcji ktore maksimum \(\displaystyle{ =10}\) przyjmuja dla \(\displaystyle{ k}\) argumentow.
korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k}9^{25-k}=9^{25}(\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k}9^{-k}-1)=9^{25}(( \frac{1}{9}+1)^{25}-1)=10^{25}-9^{25}}\)
tak wiec
\(\displaystyle{ P= \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c)
dwie wartosci mozna wybrac na \(\displaystyle{ {31 \choose 2}=465}\) sposobow. funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez wstazanie argumentow dla ktorych przyjmuje ona mniejsza wartosc (z tych dwoch), co mozna zrobic na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} =2^{25}-2}\) sposoby. wobec tego
\(\displaystyle{ P= \frac{465(2^{25}-2)}{31^{25}}}\)
zad. 5.
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x}}\)
wstawiajac \(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x}\). mnozac stronami pierwsza rownosc przez 4 i odejmujac od niej druga rownosc dostajemy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4}{5x}- \frac{x}{5}}\). łatwo sprawdzic ze funkac ta spelnia warunki zadania.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

Post autor: Sylwek »

Oceny:

Zadanie 1 - 2
Zadanie 2 - 6
Zadanie 3 - 2
Zadanie 4 - 6
Zadanie 5 - 6

--

Komentarze:

Zadanie 1: Nierówności typu: \(\displaystyle{ \sqrt{t-t^2} \le \frac{1}{2}}\) należy uzasadnić. Należało zauważyć, że równości zachodzą we wszystkich trzech dowiedzionych przez Ciebie nierównościach, co praktycznie zakończyłoby zadanie. Dwójka za dobre szacowanie nierównościami, można to uznać za pół zadania. Niestety łatwiejsze pół nie dostało szansy powodzenia. P.S. Para \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{1}{2},-1)}\) spełnia ten układ.

Zadanie 3: Błąd rachunkowy przy wyliczaniu \(\displaystyle{ u_2}\), ale potem poprawiony. Skoro już robisz siłowo, postaraj się o dokładność. Powinieneś więc udowodnić, że rzeczywiście jest to ciąg rosnący - a nie tylko stwierdzić fakt. Jest to rzecz banalna do zauważenia, ale dość istotna jeśli chodzi o poprawne dojście do wyniku. Nie zapominaj, że komisje na olimpiadach i konkursach bardzo lubią się czepiać brutalnych rozwiązań
Ostatnio zmieniony 14 lip 2009, o 21:08 przez Sylwek, łącznie zmieniany 5 razy.
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

Post autor: luka52 »

Nie chce się za bardzo wtrącać w kompetencje sprawdzających, ale co do zadania 3 to wydaje mi się, że skoro ktoś już rozwiązuje to zadanie siłowo, to mógłby się postarać i udowodnić, że rzeczywiście jest to ciąg rosnący - a nie tylko stwierdzić fakt. Być może jest to rzecz banalna do zauważenia, ale dość istotna jeśli chodzi o poprawne dojście do wyniku. Dlatego proponuję w tym przypadku 2pkt. za to zadanie.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

Post autor: Sylwek »

OK, zgadzam się. Niech weryfikujący napiszą, jeśli gdzieś jeszcze popełniłem taki błąd.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

Post autor: lukasz1804 »

Zgadzam się z zaproponowanymi ocenami zadań 2-5.
Jeśli chodzi o zadanie 1. to należy zwrócić uwagę na fragmenty:
ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2}}\). (...)

jesli \(\displaystyle{ y=-1}\) to \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2}}\)-ta para nie spelnia danego ukladu. (...)

i tu pomysłów brak...
W pierwszym brak wnioskowania prowadzącego do otrzymanej nierówności, w drugim - wyraźna pomyłka (choć być może jest ona wynikiem nieuwagi), wreszcie w trzecim - zasadnicza uwaga: dowód faktu, że nie istnieje inna para liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) będąca rozwiązaniem układu, jest niedokończony.

Pozostaje zatem tylko uznać zadanie za niezaliczone.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47

Post autor: Sylwek »

Zadanie 1 - Proponowałbym jednak zostać przy dwójce. Oczywiście duża nieuwaga i zbytnie uznawanie faktów za "oczywiste". Niemniej dojście do równości: \(\displaystyle{ x=\frac{y^3}{2}}\) znacznie upraszcza zadanie i chyba można je uznać za połowę. Na pewno ocena za zadanie 3 pokaże tej osobie, że trzeba być uważnym i rozpisywać swoje kroki.

Zadanie 3 - Niech będzie dwójka. Być może to surowa ocena, ale za nawet niewielkie pomyłki w "przeliczaniu" analitycznym geometrii na OM punkty są obcinane praktycznie do 0, więc...

OK?
ODPOWIEDZ